湖南省衡阳市衡东县草市中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡东县草市中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题（每小题3分，共18分)，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先算出cs30°的值，再乘2即可
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查求特殊角度的三角函数，注意题干中还要乘2，勿遗漏.
2. 一元二次方程经过配方后，可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法解方程，正确运用配方的基本要领解答即可．
【详解】，
，
，
，
故选C．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】二次函数的顶点坐标为．您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3元/份 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数解析式的顶点，掌握相关知识是解题关键．
4. 若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】∵△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，
∴=（)2=．
故选:D．
【点睛】考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 方程没有实数根B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程有两个不相等的实数根D. 以上答案都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的根的判别式判断即可．
熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【小问1详解】
∵方程，，
∴，
∴方程没有实数根，
故选A．
6. 如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为，与x轴正半轴的夹角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过作轴于由 可得 再利用勾股定理求解 结合 从而可得答案．
【详解】解：如图，过作轴于




故选：
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标含义，锐角三角函数的应用，掌握构造直角三角形求解锐角三角函数是解题的关键．
7. 一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，
因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，
蚂蚁停在阴影部分的概率是：．
故选A．
【点睛】本题考查求几何概率．
8. 下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是（ ）
A. y=﹣2xB. y=3x﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：A．在y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴y的值随x的值增大而减小；
B．在y=3x﹣1中，k=3＞0，∴y的值随x的值增大而增大；
C．在中，k=1＞0，∴y的值随x的值增大而减小；
D．二次函数，当x＜0时，y的值随x的值增大而减小；
当x＞0时，y的值随x的值增大而增大．
故选B．
考点：反比例函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；二次函数的性质．
9. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1B. y=﹣2（x+1）2+3
C. y=﹣2（x﹣1）2+1D. y=﹣2（x﹣1）2+3
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后
所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，利用数形结合思想解题是关键．
10. 某校初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1640份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）．
A. B.
C. x（x+1）=1640D. x（x-1）=1640
【答案】D
【解析】
【分析】可设全班有x名同学，则每人写（x-1）份留言，共写x（x-1）份留言，进而可列出方程即可．
【详解】解：设全班有x名同学，则每人写（x-1）份留言，
根据题意得：x（x-1）=1640，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性，即考虑解的取舍．
11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cs A＝，那么tan B＝( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用锐角三角函数的定义求解．
【详解】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，cs A＝，
∴设a=4x，则c=5x，b=3x,
∴tan B=
故选D.
【点睛】考查了锐角三角函数的定义，解题关键是通过设参数的方法，再利用锐角三角函数的定义求三角函数值．
12. 点P1(﹣2，y1)，P2(2，y2)，P3(6，y3)均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y2＞y3＞y1B. y2＞y1＝y3C. y1＝y3＞y2D. y2＞y1＞y3
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴A（﹣2，y1）关于对称轴对称点为（4，y1），
∵2＜4＜6，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分)
13. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据结合，即可得出的值．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练运用比例的性质解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记比例的基本性质是关键．
14. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是______米．
【答案】
【解析】
【分析】由河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，根据坡比的定义可得BC：AC=1：，继而求得答案．
【详解】∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，
∴BC：AC=1：，∵堤高BC=5米，
∴坝底AC=5米．
故答案为5．
【点睛】此题考查了坡度坡角问题．注意根据题意得到BC：AC=1：是关键．
15. 已知抛物线经过点(－3，0)和(1，0)，则该抛物线的对称轴是_____．
【答案】直线x=－1.
【解析】
【分析】由条件知：点(－3，0)和(1，0)关于抛物线的对称轴对称，据此求出即可.
【详解】解：∵抛物线经过x轴上的点(－3，0)和(1，0)，∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
故抛物线的对称轴为：直线；
故答案为直线x=－1.
【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，若抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点必关于抛物线的对称轴对称，这是解题的关键.
16. 二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+7的最大值为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（3，7），也就是当x=3时，函数有最大值7．
【详解】∵y=﹣2（x﹣3）2+7，∴此函数的顶点坐标是（3，7），即当x=3时，函数有最大值7．
故答案为7．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
17. 如图，在中，，D是边的中点，于点D，交于点E，若，则的长是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出．再证，可得，即可求解．
【详解】解： D是边的中点，
．
中，，，
．
，
，
又，
，
，
．
故答案为：4．
18. 已知二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论：
①；②；③；④．其中正确的结论有______________（填序号）．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断①；根据与x轴交点个数判断②；根据对称轴位置判断③；根据对应的y值判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，与y轴交点位于y轴的正半轴，
，，
对称轴为直线，，
，
，故①错误；
抛物线与x轴有两个交点，
有两个不相等的实数根，
，故②正确；
，
，
，故③错误；
时对应点在x轴下方，
，故④正确；
综上可知，正确的有②④，
故答案为：②④．
三、解答题 （共66分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的计算，熟练掌握公式和函数值是解题的关键．
【详解】
．
20. 先化简再求值,其中a=+1.
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再进行二次根式的运算即可.
【详解】解：原式=
=，
当时，原式=.
【点睛】掌握分式和二次根式化简方法.
21. 已知抛物线y＝x2＋4x﹣5；
（1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．
【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）；（2）与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣5）
【解析】
【分析】（1）将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）令x＝0求出相应的y的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2＋4x﹣5＝（x＋2）2﹣9，
∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）；
（2）∵抛物线y＝x2＋4x﹣5＝（x＋5）（x﹣1），
∴当x＝0时，y＝﹣5，
当y＝0时，x＝﹣5或x＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22. 如图所示，甲乙两人在玩转盘游戏时，把两个转盘分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，转动两个转盘，停止后，指针指到某一数字（指到边界记右边的数字）．
（1）请用树状图或列表法列出所有数字之和可能的结果；
（2）求“指针所指数字之和大于6”的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键．
(1) 利用画树状图法计算即可．
(2) 利用公式计算即可．
【小问1详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，数字之和有3、4、4、5、5、5、6、6、6、7、7、8有12种等可能性．
【小问2详解】
和大于6的可能性一共有3种等可能性，故概率为．
23. 如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，
∴，
∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即EF2=（8-EF）2+42，
解得：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．
24. 让每一个孩子在家门口就能“上好学”，衡东某中学依山而建．校门A处，有一斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角，离B点米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角，的延长线交校门处的水平面于D点，米．
（1）求斜坡的坡度．
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）17米
【解析】
【分析】（1）过B作于G，则四边形是矩形，求得米，然后根据勾股定理求得，即可求得斜坡的坡度．
（2）解得出，解得出，根据列出方程，解方程求出，进而得到的长．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡比的概念，特殊角的函数值，锐角三角函数的定义是解题的关键.
【小问1详解】
如图，过B作于G，则四边形矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
∴的坡度．
答：斜坡的坡度为．
【小问2详解】
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵米，
∴，
解得：．
∴米．
答：的长为17米．
25. 已知：如图，在中，，，，点P从A点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为．设运动时间为．解答下列问题：
（1）当t何值时，？
（2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）时，；（2）存在，当时，；（3）存在，当t等于2或或时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）在中，由勾股定理得：，再根据得出即，求解即可；
（2）作于点D，由，，得，
所以，即，求得：，面积为，
根据，则，即：，整理得：，求解即可；
（3）需要进行分类讨论：当时，；当时，作于点D，先证明，所以，即，根据，得出，求解即可；当时，作于点E，证明，所以，即，解得，再根据，，解得．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：
∵
∴即，解得；
（2）作于点D，
∵，，
∴，
所以，即，
解得：，
所以，是面积，
∵，则，
即：，整理得：，解得，
∴当时，；
（3）当时，，
∴；
当时，
作于点D，
∵，
∴
所以，即
∵，
，
解得；
当时，
作于点E，
∵，
∴，
所以，即，
，
∵，
，
解得；
所以，当t等于2或或时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，利用分类讨论的思想进行求解．
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【解析】
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，
．
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y=−；
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．
=AB•OC+QP•BF+QP•OF．
=×4×3+ (−x2+3x)×3．
=− (x−)2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．