初中数学北师大版八年级下册4 角平分线优秀备课ppt课件

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从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
2、在《生活中的轴对称》这一章中，我们通过折纸，得到了角平分线的什么性质呢？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处4００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE.
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2, OP＝OP∴△PDO≌△PEO ( AAS ).∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
∵点P在∠AOB 平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.
练习1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(　　)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.
在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．求证：OP平分∠AOB.
角平分线的判定定理定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，∴点P在∠AOB 的平分线上.
温馨提示：角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径；角平分线的逆定理是证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一.
练习2．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上都不对
例1:如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,点D在BC上,AD＝10, DE丄AB,DF丄AC ,垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长.
证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F, 且DE＝DF，∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
练习3：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB=∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中， ∵∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE=DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.
1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
2．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　)A．M B．N C．P D．Q
3.已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。 求证：BD＋DE ＝AC
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
4.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=
1.用尺规作角平分线2.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.3.角平分线的判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
基础作业教材第30页习题1.9第2题能力作业教材第30页习题1.9第3、4题