浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的周长比是
A．B．C．D．
2．（3分）在中，，则等于
A．B．C．D．
3．（3分）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．从一个只装有红球的袋子里摸出白球
C．三角形两边之和大于第三边
D．明天会下雨
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一点A（﹣3，4），以原点为圆心，5为半径作⊙O，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40°B．80°C．140°D．160°
6．（3分）如图，在纸片中，，．将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是
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7．（3分）如图，中，，，射线平分，交边于点，过，作射线的垂线，垂足分别是点，，将的面积设为，那么的面积是
A．B．C．D．
8．（3分）如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为
A．B．C．D．
9．（3分）已知抛物线，是常数，，过点，，，若，则的取值范围是
A．B．C．或D．
10．（3分）如图，是的直径，点，在上，且，绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，当时，的大小不可能为
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题每小题4分，共24分）
11．（4分）已知，则的值为 ．
12．（4分）抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为 ．
13．（4分）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 ．
14．（4分）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ．
15．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则 ．
16．（4分）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
18．（6分）中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分．
（1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是 ．
（2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率．
19．（6分）如图，在中，，点、、、在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
20．（8分）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的处．
（1）求处距离辽宁舰有多远；
（2）求处距离辽宁舰有多远（结果精确到．（参考数据：，，；，，
21．（8分）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（10分）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留
23．（10分）已知二次函数，点，与，都在该函数的图象上，且．
（1）求函数图象的顶点；
（2）若点，与，与直线的距离恒相等，求的值；
（3）若，求的最小值．
24．（12分）如图，已知正方形的边长为12，点是射线上一点（点不与点、重合），过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，如果，求的正切值．
（3）当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的周长比是
A．B．C．D．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：两个相似三角形对应边的比为，
它们的周长比是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
2．（3分）在中，，则等于
A．B．C．D．
【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．
【解答】解：在中，，则．
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．
3．（3分）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．从一个只装有红球的袋子里摸出白球
C．三角形两边之和大于第三边
D．明天会下雨
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故A错误；
B、从一个只装有红球的袋子里摸出白球是不可能事件，故B正确；
C、三角形两边之和大于第三边是必然事件，故C错误；
D、明天会下雨是随机事件，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一点A（﹣3，4），以原点为圆心，5为半径作⊙O，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定
【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
【解答】解：∵点A（﹣3，4）到圆心O的距离OA＝＝5，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故选：C．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40°B．80°C．140°D．160°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠A＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（3分）如图，在纸片中，，．将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是
A．①②B．②④C．③④D．①③
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：如图，
图①中，，，所以和相似；
图②中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；
图③中，，，所以和相似；
图④中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．
7．（3分）如图，中，，，射线平分，交边于点，过，作射线的垂线，垂足分别是点，，将的面积设为，那么的面积是
A．B．C．D．
【分析】由角平分线的性质得到，由三角形面积公式推出，由，得到，而的面积，即可求出的面积．
【解答】解：过作于，于，
平分，
，
的面积，的面积，
，
，
，，
，
，
的面积，
的面积．
故选：．
【点评】本题考查角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质，三角形的面积公式推出，由，推出．
8．（3分）如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为
A．B．C．D．
【分析】根据旋转的定义得到点以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：点以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，
，，，，
点翻滚到位置时共走过的路径长．
故选：．
【点评】本题考查了轨迹，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质．
9．（3分）已知抛物线，是常数，，过点，，，若，则的取值范围是
A．B．C．或D．
【分析】根据所给点的坐标，结合抛物线的对称性即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将代入抛物线解析式得，
，
所以抛物线经过点．
又因为点在抛物线上，
则点和点关于抛物线的对称轴对称．
同理可得，，两点关于抛物线的对称轴对称，
所以，
则．
又因为，
所以，
解得．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，巧妙利用抛物线的对称性是解题的关键．
10．（3分）如图，是的直径，点，在上，且，绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，当时，的大小不可能为
A．B．C．D．
【分析】根据绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，，分三种情况画图进行计算即可．
【解答】解：
连接，
①如图1，绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，
设，
，
，
，
，
，
解得．
的大小为；
②如图2，
设，
，
，
，
，
在中，
，
解得，
；
③如图3，
设，
，
，
，
，
，
解得，
．
综上：的大小为：、、．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情况讨论．
二、填空题（本题有6小题每小题4分，共24分）
11．（4分）已知，则的值为 ．
【分析】依据比例的性质，即可得到，代入分式化简求值即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
12．（4分）抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为 ．
【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
13．（4分）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 ．
【分析】根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点是的黄金分割点，且，
所以，
又因为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及黄金比是解题的关键．
14．（4分）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 或 ．
【分析】由二次函数的部分图象过，得方程的根是，即可得方程的根满足，故方程的根是．
【解答】解：由二次函数的图象过，，
得方程的根是或1，
故方程的根满足或1，
故方程的根是或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是正确应用整体思想．
15．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则 ．
【分析】连接，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出：，由结合可得出，设等边三角形的边长为，则，，利用勾股定理可得出的长，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：连接，如图所示：
在中，，，
，
同理得：．
又，
．
设等边三角形的边长为，则，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律等知识；构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
16．（4分）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则 ．
【分析】连接并延长交于点，首先证明四边形为平行四边形，，再证明四边形为矩形，用勾股定理计算出，由折叠图形性质、平行线性质及角平分线性质定理可得，最后证明，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：如图所示，连接并延长交于点，
，
，
又由折叠性质可得，，
，
，
，
四边形为平行四边形，，
，，
又，
，
又，
四边形为矩形．
，
，
由折叠性质可得，
又，
．
又，为的角平分线，
，
由，
，
，
设，，则，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、轴对称、勾股定理、角平分线性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键点．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
【解答】解：
．
【点评】本题主要考查了特殊三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（6分）中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分．
（1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是 ．
（2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》中随机抽取一本，
抽取的恰好是《红楼梦》的概率是，
故答案为：；
（2）把《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，分别记为、、、，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，即、，
抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19．（6分）如图，在中，，点、、、在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【分析】（1）由可得到，则，即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
，
．
；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等．
20．（8分）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的处．
（1）求处距离辽宁舰有多远；
（2）求处距离辽宁舰有多远（结果精确到．（参考数据：，，；，，
【分析】（1）在中，，代入计算即可．
（2）在中，，代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，，，
在中，．
处距离辽宁舰约有．
（2）在中，，，
．
处距离辽宁舰约有．
【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．（8分）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：是的中点，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设，则，
，，
，
在中，，即，
解得：（负值舍去），
，
．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键．
22．（10分）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留
【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可．
【解答】（1）证明：是的切线，理由：
连接，
与相切于点，
，
在和中，
，，，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，，
．
【点评】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，掌握切线的性质和判定方法，扇形面积的计算方法以及等腰三角形的性质是正确解答的关键．
23．（10分）已知二次函数，点，与，都在该函数的图象上，且．
（1）求函数图象的顶点；
（2）若点，与，与直线的距离恒相等，求的值；
（3）若，求的最小值．
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求解；
（2）根据题意，列出方程，化简后将代入即可求解；
（3）根据题意，由（1）（2）可得，在直线的左侧，在直线的右侧或重合在直线上，根据二次函数的增减性即可求解．
【解答】解（1）二次函数，
函数图象的顶点为．
（2）点，与，与直线的距离恒相等，
，
，
化简得，
又，，
．
故的值为1．
（3），
由（1）（2）可得，在直线的左侧，在直线的右侧或重合在直线上，
，
随的增大而减小，
当时，的最小值为．
故时，的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数的性质及二次函数上点的坐标特征．
24．（12分）如图，已知正方形的边长为12，点是射线上一点（点不与点、重合），过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，如果，求的正切值．
（3）当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式．
【分析】（1）根据正方形的性质得，，根据同角的与角相等得，利用即可得；
（2）根据全等三角形、相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义进行计算即可；
（3）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
解得或，
经检验，，都是原方程的根，
或，
在中，
或，
的正切值为或；
（3）如图，
由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/22 23:57:15；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：26025303