浙江省宁波市江北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省宁波市江北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。

2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．
3．答题时，请将试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
试 题 卷 Ⅰ
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 若，则的值为（ ）
A B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，先由题意得到，再代入分式化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
2. 在下列几何体中，主视图与左视图均是圆形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【详解】、球的主视图和左视图均为全等的圆，符合题意；
、长方体的主视图和左视图为矩形，不符合题意；
、圆锥的主视图和左视图均为三角形，不符合题意；
、圆柱的主视图和左视图均为长方形，不符合题意；
故选：．
3. 下列成语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A. 水涨船高B. 守株待兔C. 瓜熟蒂落D. 水中捞月
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，一般地必然事件的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键．
【详解】解：、水涨船高是必然事件，故不符合题意；
、守株待兔是随机事件，故不符合题意；
、瓜熟蒂落是必然事件，故不符合题意；
、水中捞月是不可能事件，故符合题意；
故选：．
4. 抛物线的顶点坐标( )
A. (-4，1)B. (-4，-1)C. (4，-1)D. (4，1)
【答案】D
【解析】
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，即可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴其顶点坐标为(4，1)，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质．掌握二次函数，其顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x=h是解题关键．
5. 如图，在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，正切、余弦值，由，设，则，通过定理求得，然后利用即可求解，解题的关键在于求出三边的数量关系．
【详解】解：在中，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
故选：．
6. 如图，等腰内接于，顶角，是的直径，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，三角形内角和定理；
连接，首先求出，然后根据圆周角定理及其推论求出和，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数．
【详解】解：连接，
∵等腰内接于，顶角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系；
过C作于D，利用勾股定理求出，根据三角形的面积求出，然后结合圆与直线的位置关系得出答案．
【详解】解：过C作于D，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵与直线相交，
∴半径r的值或取值范围为，
故选：C．
8. 慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式．
【详解】解：由题意得：，
故选：．
9. 如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连结并延长交于点，过点作于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，勾股定理，由三角形重心的性质得到 ，，由勾股定理得，证明，由相似三角形的性质得到即可求出，再证，即可求解，解题的关键是正确理解重心及熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用．
【详解】过作于，

∵为此三角形的重心，
∴，，
∵，，，
∴由勾股定理得，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10. 在平面直角坐标系xOy中，点，都在抛物线上，且，．若存在，满足，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据抛物线可知的对称轴为直线，开口向下；由，得，根据存在，满足，，知，，即可得解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵存在，满足，
∴点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，m的取值范围是．
故选：B．
试 题 卷 Ⅱ
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为______（写出一个即可）．
【答案】4（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵的半径为2，点在外，
∴，
∴的长可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）．
12. 一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面圆的半径母线求解即可．
【详解】解：该圆锥的侧面积．
故答案：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式．
13. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种除颜色外完全相同的球若干个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图．当摸球的次数足够多时，请估计摸到白球的概率是_（精确到0.1）．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查由频率估计概率，根据“摸到白球”的频率折线统计图，得出摸到白球的频率，即可估计出概率．
【详解】解：由“摸到白球”的频率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.5，
∴当摸球的次数足够多时，请估计摸到白球的概率是，
故答案为：．
14. 以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程：
已知：如图，及外一点．
作法：连结，作线段的垂直平分线交于点；
以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点；
作直线，．
说明：连结．
∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°．
∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．

【答案】 ①. ； ②. 切线； ③. ．
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】连接，

∵为的直径，
∴，
∵为半径，
∴为的切线，
同理为的切线，
∴，
故答案为：；切线；．
15. 如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为_____．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
分两种情况，当时推出，代入有关数据得到，当时，推出，代入有关数据求出，即可得到的值为或3．
【详解】解：∵为的中点，，
当时，
当时，
∴值为或3．
故答案为：或3．
16. 如图，一组抛物线满足二次函数表达式，它们与一个半径为的圆的重叠部分面积为，则该圆圆心的纵坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质以，三角函数及扇形面积公式，把二次配方成顶点式，确定顶点坐标为，进而确定抛物线扫过的面积为上方，再利用重叠部分面积为列出关于的等式求出，再确定点的纵坐标即可，解题的关键是列出关于重叠部分面积的等式．
【详解】由二次函数表达式 ，化为顶点式，
∴抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，且开口向上，
∴抛物线扫过的面积为上方，如图所示，
∵抛物线与圆重合面积为 ，即
，
即，
解得，
∴到的距离，
∴点纵坐标为：，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查锐角三角函数混合运算，将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可，解题的关键是熟练掌握特殊三角函数值的运算．
【详解】解：原式，
，
．
18. “迎新春山地马拉松”赛事需要学生志愿者．某中学准备派出3名男生和2名女生加入志愿者团队，其中有男生小明和女生小慧．
（1）若要从这5人中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率是多少？
（2）若要从男生与女生中各随机选取一人回学校作经验分享，则恰好选到小明和小慧的概率是多少？试用画树状图或列表法分析与表示．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键；
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到小明和小慧的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，选到男生的概率是；
【小问2详解】
将另外2名男生分别记为，将另外1名女生记为，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选到小明和小慧的结果有1种，
∴恰好选到小明和小慧的概率为．
19. 在方格图中，仅利用无刻度的直尺和格点，按要求完成下列作图：
（1）在图中作线段的中点．
（2）在图中作圆弧的中点．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析．
【解析】
【分析】（）根据网格特征即可求解；
（）连接，根据网格作垂线的方法，过中点作垂线，根据垂径定理即可，
此题考查了无刻度的直尺作图和格点特征，解题的关键是正确掌握无刻度的直尺作图的方法和正确理解格点特征．
【小问1详解】
如图，根据网格特点，
∴点即为所求；
【小问2详解】
如图，连接，根据网格作垂线的方法，过中点作垂线即可，
根据垂径定理定理可得是圆弧的中点，
∴点即为所求．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．

（1）求m值以及二次函数的解析式．
（2）根据图象，直接写出当时x的取值范围．
（3）若将二次函数向上平移t个单位长度后，得到的图象与x轴没有交点，求t的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的基本性质和二次函数与一元二次方程的关系．
（1）根据待定系数法求解；
（2）即一次函数图象在抛物线上方，观察图象即可求解；
（3）将二次函数向上平移t个单位长度后得：，与x轴无交点即方程无实数根，即可求解．
【小问1详解】
解：把代入，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数；
【小问2详解】
由图象得：当时x取值范围为；
【小问3详解】
将二次函数向上平移t个单位长度后得：，
与x轴无交点即方程无实数根，
由题意得：，
解得；．
21. 如图1，是的直径，M是上一点．过点B作的垂线交射线于点C． 取的中点N，连结．
（1）求证：是的切线．
（2）如图2，连结，，若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
（1）连接，，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据三角形中位线定理得到，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，
∵是的直径，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
设，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴．
22. 第十九届亚运会开幕式的数字人点火仪式，以其独特的创意和极致的科技感让人印象深刻．图1，图2分别是数字人奔跑的实物图与数学抽象图．有一些信息如下：步宽平行于水平面，，，，，，，，请根据以上信息，求数字人步宽的长度．（参考数据：，，，结果精确到个位．）
【答案】数字人步宽的长度为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角函数的定义．过C、B、D作的垂线交于点G，J，K，过点C、D作的垂线，交于点H、I，解直角三角形得出，，，，最后求出结果即可．
【详解】解：过C、B、D作的垂线交于点G，J，K，过点C、D作的垂线，交于点H、I，如图所示：
则，
四边形为矩形，为矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
答：数字人步宽长度为．
23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，D为上一点，，．求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，交于点F．若， ．求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（1）的条件下，若，M，N分别是，的中点，请直接写出周长的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定定理解答即可；
（2）连接，利用全等三角形的判定与性质得到，过F作于点M，过F作于点N，设，则，利用正方形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；
（3）在上截取交于点H，利用直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的性质和三角形的中位线定理解答即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过F作于点M，过F作于点N，
∴，，，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴；
（3）在上截取交于点H，如图，
∵，M为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
由（2）知：，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵M是中点，
∴，
∴，
即，
∴M是中点，
∵N是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，N为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，正方形的判定与性质，特殊角的三角函数值，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．
24. 如图，四边形内接于，连结，交于点，点是上一点，连结，交于点，且满足．
（1）求证：；
（2）若点是，
求证：；
若，时，求的值．
（3）如图，当点是的中点时，若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；综上可知的值为或；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（）点是的中点，得出，，根据角度和差得到，即可求解；
延长交于点，连接，证明得到，，，则，求出，由有，从而求出，最后根据，得到，即可求解；
（）过作，交于点，由则，设，求出即可；
本题考查了圆周角定理，三角函数，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【小问1详解】
∵，，
∴；
【小问2详解】
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
延长交于点，连接，连接交于点，
由得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
设，，则，
∴，则，
∴，
∵在中，，
设的对边为，则，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，由，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
由，，
∴，解得，，
∴或，
综上可知的值为或；
【小问3详解】
过作，交于点，
同理，
∴，
∵点是的中点，
则设，
∴，即，整理得，
解得：（舍去），，
∴．小明
小慧
（小明，小慧）
（，小慧）
（，小慧）
（小明，）
（，）
（，