沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题08 一元二次方程章末素养评估卷-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题08 一元二次方程章末素养评估卷-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·广西柳州·九年级期末）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．(本题4分)（2021·广东阳江·二模）若方程x2-4x+c=0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c=﹣3B．c=3C．c=5D．c=0
3．(本题4分)（2022·四川绵阳·九年级期末）用配方法解关于x的一元二次方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．(本题4分)（2021·山东滨州·一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定
5．(本题4分)（2022·河南三门峡·九年级期末）一元二次方程的一个根为2，则p的值以及另一个根为（ ）
A．1，－1B．1，1C．－1，－1D．－1，1
6．(本题4分)（2021·山东枣庄·一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
7．(本题4分)（2022·江苏江苏·九年级期末）根据关于x的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是1，十分位是1B．解的整数部分是1，十分位是2
C．解的整数部分是1，十分位是3D．解的整数部分是1，十分位是4
8．(本题4分)（2021·广东茂名·九年级阶段练习）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定
9．(本题4分)（2022·广东广州·九年级期末）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）
A．4B．﹣1或4C．0或4D．1或4
10．(本题4分)（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级开学考试）将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
B． C．D．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2020·福建省福州屏东中学九年级期中）一元二次方程的一个根是4，则a的值是___．
12．(本题5分)（2022·福建莆田·九年级期末）等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______．
13．(本题5分)（2021·上海市民办扬波中学八年级期中）已知a是实数，且，那么的值为______．
14．(本题5分)（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期末）某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的方程是_____．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2022·湖北湖北·九年级期末）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
(本题8分)（2021·北京·九年级专题练习）已知是方程的一个根，求代数式的值．
17．(本题8分)（2022·湖北湖北·九年级期末）己知：关于关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根是另一根的2倍，求k的值．
18．(本题8分)（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：不论k为何实数，方程总有实数根；
(2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求k的值．
19．(本题10分)（2022·海南海口·九年级期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份的营业额达到1815万元．求：
(1)该商场2月份的营业额；
(2)该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
20．(本题10分)（2022·江苏扬州·九年级期末）定义一种新的运算方式：（其中，n为正整数），例如，．
(1)若，求的值；
(2)记，当时，求的取值范围．
21．(本题12分)（2021·天津·九年级期中）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃一边AB的长为xm，如要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长是多少？
22．(本题12分)（2022·重庆巴南·九年级期末）“创文工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创建全国文明城区工作已进入关键阶段. 我区某校拟整修学校食堂，现需在某地砖供应商处购买大小相同，材质不同的A、B两种型号的防滑地砖共600块，且计划采购地砖的费用不超过32000元，已知A型号地砖的售价是每块80元，B型号地砖的售价是每块40元．
(1)最多能购买A型号地砖多少块？
(2)为了支持我区创文工作，该地砖供应商将A型号地砖的售价降低，B型号地砖的售价降低10%．由于该地砖供应商降低了售价，该校实际购买时，A型号地砖的购买量在（1）中A型号地砖的最大购买量的基础上增加了，B型号地砖的购买量相应减少，这样，该校购买的600块A、B两种型号的防滑地砖的总费用比原计划的最高费用还节省了10%，求的值．
23．(本题14分)（2022·江西·新余四中九年级期末）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是____________；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
(3)【拓展提升】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的解为，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．
x
0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2＋px＋q
－2.75
－1
－0.59
－0.16
0.29
0.76
专题08 一元二次方程章末素养评估卷
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·广西柳州·九年级期末）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据形如的方程为一元二次方程，进而可进行求解．
【详解】
解：A、不是一元二次方程，故符合题意；
B、C、D都为一元二次方程，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．(本题4分)（2021·广东阳江·二模）若方程x2-4x+c=0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c=﹣3B．c=3C．c=5D．c=0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意将x=3代入原方程，求出c的值即可．
【详解】
当x=3时，32-4×3+c=0，
解得c=3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，直接代入是解决此类问题的常用方法．
3．(本题4分)（2022·四川绵阳·九年级期末）用配方法解关于x的一元二次方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．
【详解】
解：∵x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1，
则x2-2x+1=1+1，即（x-1）2=2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
4．(本题4分)（2021·山东滨州·一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算判别式，再配方得到=（k﹣4）2+4，然后根据非负数的性质得到＞0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【详解】
解：∵ =（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）
=k2﹣4k+4+16﹣4k
=k2﹣8k+20
=k2﹣8k+16+4
=（k﹣4）2+4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，判断出（k﹣4）2+4＞0是解题的关键．
5．(本题4分)（2022·河南三门峡·九年级期末）一元二次方程的一个根为2，则p的值以及另一个根为（ ）
A．1，－1B．1，1C．－1，－1D．－1，1
【答案】C
【解析】
【分析】
先设方程的另一个根为，再由根与系数的关系得出关于、p的方程组，求解即可得到答案．
【详解】
设方程的另一个根为，
由题意得 解得
p的值以及另一个根分别为－1，1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即设一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．(本题4分)（2021·山东枣庄·一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】B
【解析】
【分析】
本题分两种情形讨论：当k=0时，判断此时方程是否有根；当k≠0时，根据判断判别式列出不等式求解即可.
【详解】
解：当k=0时，方程为-6x+9=0，此时方程的解为 ，符合题意；
当k≠0时，∵关于的方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
又k≠0，
∴ 且k≠0，
综上所述，当时，关于的方程有实数根.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，以及分类讨论数学思想，进行分类讨论是解题的关键.
7．(本题4分)（2022·江苏江苏·九年级期末）根据关于x的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是1，十分位是1B．解的整数部分是1，十分位是2
C．解的整数部分是1，十分位是3D．解的整数部分是1，十分位是4
【答案】B
【解析】
【分析】
仔细看表，可知x2+px+q的值-0.16和0.29最接近于0，再看对应的x的值即可得．
【详解】
解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.2而小于1.3．
所以解的整数部分是1，十分位是2．
故选：B．
【点睛】
本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．
8．(本题4分)（2021·广东茂名·九年级阶段练习）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】
解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：C．
【点睛】
本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
9．(本题4分)（2022·广东广州·九年级期末）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）
A．4B．﹣1或4C．0或4D．1或4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用新运算把方程x⊗k＝0（k为实数）化为，把x＝2代入求解即可．
【详解】
解：∵a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，
∴关于x的方程x⊗k＝0（k为实数）化为，
∵x＝2是这个方程的一个根，
∴4-4k+k2-k=0，解得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于k的方程．
10．(本题4分)（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级开学考试）将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【详解】
解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：(30-2x)÷2=15-x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15(15-x)x=600
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2020·福建省福州屏东中学九年级期中）一元二次方程的一个根是4，则a的值是___．
【答案】16
【解析】
【分析】
方程的根满足方程，代入求解．
【详解】
解：把代入方程得：，
解得．
故答案为：16
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，理解根满足方程的等式关系是解题关键．
12．(本题5分)（2022·福建莆田·九年级期末）等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
先利用因式分解法解方程，再根据三角形的三边关系得出底和腰，进而求周长；
【详解】
解：，
（x－4）（x－1）=0，
x1=4，x2=1，
∵1＋1=2＜4，不符合三角形的三边关系，
∴等腰三角形的底为1，腰是4，
周长=1＋4＋4=9，
故答案为：9
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法：因式分解法即利用因式分解求方程的解，这种方法简便易用是解一元二次方程最常用的方法；也考查了三角形的三边关系．
13．(本题5分)（2021·上海市民办扬波中学八年级期中）已知a是实数，且，那么的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
设，即原方程为，解之得：，．分类讨论当时和当时，利用根的判别式舍去不合题意的x的值即可．
【详解】
解：设，
则可变形为，
解方程：，
得：，．
经检验或2是原方程的根．
∵a为实数，
当时，，即，
∵，
∴方程无解，舍去；
当时，，即
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意．
∴的值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查解分式方程，一元二次方程根的判别式．利用换元法是解题的关键．
14．(本题5分)（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期末）某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的方程是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设2007年的国内生产总值（GDP）为1，根据2009年的国内生产总值的两种不同的表述方式列出方程即可．
【详解】
解：设2007年的国内生产总值（GDP）为1，
∵2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，
∴2008年的国内生产总值（GDP）为1×（1+12%），
∵今年比2008年增长7%，
∴2009年国内生产总值为1×（1+12%）×（1+7%），
若这两年GDP年平均增长率为x%，则2009年国内生产总值为1×（1+x%）2，
∴可列方程为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了平均增长率问题，正确理解增长率是解题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2022·湖北湖北·九年级期末）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）运用配方法求解即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
(1)
解：（1）
，
，
∴，．
(2)
解：（2）
，
或 ，
∴，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，解一元二次方程的一般方法有：直接开方法，因式分解法，配方法，公式法，结合题目特点选择合适的方法即可．
16．(本题8分)（2021·北京·九年级专题练习）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】7
【解析】
【分析】
由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】
解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键．
17．(本题8分)（2022·湖北湖北·九年级期末）己知：关于关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根是另一根的2倍，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k的值0或3
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据2倍关系，分类讨论列方程解之即可．
(1)
证明：在方程中，
∵

∴程总有两个实数根
(2)
解：∵，
∴，．
∵方程的一根是另一根的2倍，
∴或．
解得或．
∴k的值0或3．
【点睛】
本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：．
18．(本题8分)（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：不论k为何实数，方程总有实数根；
(2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得，进而即可得到结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，结合，可得关于k的方程，进而解方程即可求解．
(1)
∵
，
∵，
∴，
∴无论取何值，该方程总有实数根；
(2)
根据题意得：，，
，
即
即
解得
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握的根满足，，是解题的关键．
19．(本题10分)（2022·海南海口·九年级期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份的营业额达到1815万元．求：
(1)该商场2月份的营业额；
(2)该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
【答案】(1)1500元
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出算式即可求解；
（2）根据题意，设出未知数，再列出方程求解即可．
(1)
解：（元）
答：该商场2月份的营业额为1500元．
(2)
解：设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为．
，（舍去）
答：该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为．
【点睛】
本题主要考查了增长率问题，熟练掌握列方程解应用题是解答此题的关键．
20．(本题10分)（2022·江苏扬州·九年级期末）定义一种新的运算方式：（其中，n为正整数），例如，．
(1)若，求的值；
(2)记，当时，求的取值范围．
【答案】(1)n=10；
(2)n≥18且n是正整数．
【解析】
【分析】
（1）根据新定义式结合，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n值，再根据n≥2且n是正整数，即可确定n值；
（2）根据新定义式结合≥153，即可得出关于n的不等式组，解之即可得出n的取值范围，再根据n≥2且n是正整数，即可确定n的取值范围．
(1)
解：∵=45；，
∴n2-n-90=（n+9）（n-10）=0，
解得：n=10或n=-9，
∵n≥2，且n是正整数，
∴n=10．
(2)
解：∵=y，y≥153，
∴n2-n-306=（n+17）（n-18）≥0，
或，
解得： n≥18或n≤-17
∵n≥2，且n是正整数，
∴n≥18且n是正整数．
【点睛】
本题考查新定义组合计算，解一元二次方程，解不等式组，掌握新定义组合计算，解一元二次方程，解一元二次不等式是解题关键．
21．(本题12分)（2021·天津·九年级期中）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃一边AB的长为xm，如要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长是多少？
【答案】
【解析】
【分析】
设的长为m，则平行于墙的一边长为：m，该花圃的面积为：，令该面积等于63，求出符合题意的的值，即是所求的长．
【详解】
解：设该花圃的一边的长为m，则与相邻的边的长为m，
由题意得：，
即：，
解得：，
当m时，平行于墙的一边长为：，不合题意舍去；
当m时，平行于墙的一边长为：，符合题意，
所以，的长是．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．
22．(本题12分)（2022·重庆巴南·九年级期末）“创文工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创建全国文明城区工作已进入关键阶段. 我区某校拟整修学校食堂，现需在某地砖供应商处购买大小相同，材质不同的A、B两种型号的防滑地砖共600块，且计划采购地砖的费用不超过32000元，已知A型号地砖的售价是每块80元，B型号地砖的售价是每块40元．
(1)最多能购买A型号地砖多少块？
(2)为了支持我区创文工作，该地砖供应商将A型号地砖的售价降低，B型号地砖的售价降低10%．由于该地砖供应商降低了售价，该校实际购买时，A型号地砖的购买量在（1）中A型号地砖的最大购买量的基础上增加了，B型号地砖的购买量相应减少，这样，该校购买的600块A、B两种型号的防滑地砖的总费用比原计划的最高费用还节省了10%，求的值．
【答案】(1)200块
(2)25
【解析】
【分析】
（1）设购买型号地砖块，根据“采购地砖的费用不超过3200元”列不等式求解即可；
（2）根据“两种地砖的总费用为28800元”列方程求解即可．
(1)
解：设购买型号地砖块，
由题意得80，
解得，
答：最多能购买型号地砖200块；
(2)
由题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
答：的值为25．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式及一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的不等或等量关系，这是列不等式和方程的依据，难度不大．
23．(本题14分)（2022·江西·新余四中九年级期末）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是____________；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
(3)【拓展提升】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的解为，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．
【答案】(1)
(2)是，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据“友好”方程的定义求解即可；
（2）将代入得，将代入中，判断的值是否为0，若是，则是的一个解，否则就不是；
（3）由题意知， 既是的解，又是的解，有，，可得，进行求解即可．
(1)
解：由题意知的“友好”方程为
故答案为：．
(2)
解：是．
证明：由题意知的“友好”方程为
∵是的一个解
∴
将代入得
∵
∴
∴是的一个解．
(3)
解：由题意知， 既是的解，又是的解
∴，
即
解得
∴a，c之向的数量关系为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．
x
0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2＋px＋q
－2.75
－1
－0.59
－0.16
0.29
0.76