沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题16 平行四边形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题16 平行四边形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共67页。

©知识点一：平行四边形的性质
1,平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
2,平行四边形的面积公式：面积=底×高
3,平行四边形对边平行且相等；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC
4,平行四边形对角相等、邻角互补；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）
5,平行四边形对角线互相平分；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC=AC,BO=OD=BD
6,平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
7,平行线的性质：
1、平行线间的距离都相等；
2、两条平行线间的任何平行线段都相等；
3、等底等高的平行四边形面积相等。
◎考点1：利用性质求解
例．（2021·安徽·日照港中学八年级阶段练习）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（ ）
A．8cmB．16cmC．24cmD．32cm
练习1．（2022·河南·郑州中学九年级期末）如图，点P是边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知面积为24，那么的面积为（ ）
A．12B．3C．6D．4
练习2．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
练习3．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12B．9C．8D．6
◎考点2：利用性质证明
例．（2021·陕西·西安市曲江第一中学九年级期中）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
练习1．（2020·上海市文来中学八年级期中）平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（ ）．
A．2对B．3对C．4对D．5对
练习2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．AO＝COB．AD∥BCC．AD＝BCD．∠DAC＝∠ACD
练习3．（2022·全国·八年级）已知平行四边形ABCD中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．B．C．D．平分
◎考点3：性质的其它应用
例．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（ ）对面积相等的平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
练习1．（2021·广西来宾·八年级期中）如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．（2021·湖北襄阳·模拟预测）下列四边形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
练习3．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝ODB．AB＝BCC．AC⊥BDD．∠ABD＝∠CBD
©知识点二：平行四边形的判定
平行四边形的判定定理（基础）：
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
◎考点4：平行四边形的判断
例．（2021·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AD∥BC C．AB∥CD，AD=BCD．AD∥BC，AD=BC
练习1．（2022·山东泰安·八年级期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对角分别相等D．一组对边平行且相等
练习2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等B．对角线互相平分C．两组对角分别相等D．一组对边平行，另一组对边相等
练习3．（2021·湖北宜昌·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO C．AC=2AO，BD=2BOD．AO=BO，CO=DO
◎考点5：添加条件成为平行四边形
例．（2022·全国·八年级课前预习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
练习1．（2021·安徽省六安皋城中学九年级期中）如图，在四边形中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．（2021·广西钦州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝BCB．AC＝BDC．∠A＝∠CD．∠A＝∠B
练习3．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）在四边形中，，若四边形是平行四边形，则还需要满足（ ）
A． B． C．D．
◎考点6：数图形中平行四边形的个数
例．（2021·全国·八年级课时练习）如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．11个
练习1．（2021·重庆·八年级期末）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）
A．39B．40C．41D．42
练习2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A．4B．5C．3D．6
练习3．（2018·全国·八年级期末）已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B为顶点的网格平行四边形的个数为( )
A．6B．8C．10D．12
◎考点7：求与已知三点组成平行四边形的个数
例．（2021·全国·八年级课时练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．无数
练习1．（2021·上海浦东新·八年级期中）已知点、点、点，以点A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
练习2．（2022·全国·八年级）已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
练习3．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点为 O（0，0）、A（1，2）、B（4，0），则顶点C的坐标是 （ ）
A．（-3，2）B．（5，2）C．（-4，2）D．（3，-2）
◎考点8：平行四边形的证明
例．（2021·全国·八年级课时练习）点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种．
A．3B．4C．5D．6
练习1．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．正方形
练习2．（2021·广东·广州市培正中学八年级期中）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，连接DE、EF、FD，可组成（ ）个平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
练习3．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
◎考点9：全等三角形拼平行四边形问题
例．（2020·浙江杭州·八年级阶段练习）用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤
练习1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
练习2．（2012·浙江·八年级阶段练习）在下列图形中，沿着虚线将矩形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是 ( )
A．B．C．D．
练习3．（2020·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级期中）如图，某校区内有甲、乙两块大小一样的长方形地块，地块长30m，宽25m，现要在长方形地块内分别修筑如图所示的两条平行四边形小路(图中阴影部分)，余下的部分绿化．现已知ABCD1m，EFGH1m，记甲、乙地块的绿化面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1S2D．无法确定
©知识点三：平行四边形的判定与性质的综合
◎考点10：利用判定与性质求解
例．（2022·江西萍乡·九年级期末）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
练习1．（2021·四川达州·八年级期末）如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．10B．12C．15D．20
练习2．（2022·全国·八年级）如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ）
A．2秒B．2秒或3秒C．2秒或4秒D．4秒
练习3．（2021·江苏·苏州市吴中区天成实验学校八年级阶段练习）如图，在等腰梯形中， ，梯形的周长等于，则等于（ ）
A．B．C．D．
◎考点11：利用判定与性质证明
例．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．四边形EGFH是平行四边形 C．D．
练习1．（2021·广东揭阳·九年级期中）如图，，其中，，，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（ ）．
A．四边形BECF为平行四边形B．当时，四边形BECF为矩形
C．当时，四边形BECF为菱形D．四边形BECF不可能为正方形
练习2．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC+∠BCD＝180°B．∠ABC＝∠ADC
C．AB＝CDD．AB＝BC
练习3．（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．B．C．D．
◎考点12：性质和判定的实际应用

例．（2021·山东潍坊·八年级期末）和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（垂直于）B．（不平行）
C．（垂直于）D．（平行）
练习1．（2020·河南·郑州枫杨外国语学校九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE=CB，连续AE．下列结论①AE=2OE；②；③四边形ADBE为平行四边形；④中，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
练习2．（2019·河南漯河·八年级期中）如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2019·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
©知识点四：三角形的中位线
◎考点13：与三角形中位线有关的求解问题
例．（2022·四川成都·九年级期末）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
练习1．（2022·陕西师大附中九年级期末）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是边的中点，若，则的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
练习2．（2022·江西·新余市第一中学八年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且AC＝8，BD＝6，则OE等于（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
练习3．（2022·山东·东营市实验中学模拟预测）如图，已知中，，是的中位线，，，则（ ）
A．B．C．D．
◎考点14：中位线与三角形的面积问题
例．（2021·广东深圳·七年级期中）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2
A．1B．1.5C．2D．3
练习1．（2020·河北·石家庄二十三中七年级期末）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则四边形AFDG的面积是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
练习2．（2021·山东济南·一模）如图，中，，，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的面积是的面积的2倍
C．D．四边形是平行四边形
练习3．（2020·浙江·八年级期中）如图所示，在中，是边上任一点，分别是的中点，连结，若的面积为6，则的面积为（ ）
A．32B．48C．64D．72
◎考点15：中位线有关的证明
三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
几何描述：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,DE=BC
例．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，点，，分别是三边的中点，且，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
练习1．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC=10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长是（ ）
A．18B．16C．14D．12
练习2．（2022·广东·兴宁市实验学校九年级期末）若正方形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
练习3．（2022·广东省深圳市沙湾实验学校九年级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（ ）
A．AD＋BC＞2EFB．AD＋BC≥2EFC．AD＋BC＜2EFD．AD＋BC≤2EF
◎考点16：与中位线有关的实际应用
例．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ）
A．12mB．10mC．9mD．8m
练习1．（2021·贵州毕节·八年级期末）东东家有一块等腰三角形的空地，如图，已知，分别是边，的中点，量得米，米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米B．24米C．27米D．32米
练习2．（2021·浙江·临海市外国语学校八年级期中）如图，为测量池塘的宽度（A、B两点之间的距离），在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A、B间的距离是（ ）
A．10米B．20米C．30米D．40米
练习3．（2021·广东深圳·八年级期末）图1是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为2cm，用剪刀沿一直角边和斜边的中点连线（图中虚线）剪开后，拼成如图2的四边形，则该四边形的周长为（ ）
A．6cmB．4cmC．（4+2）cmD．（4+）cm
专题16 平行四边形（知识点考点串编）
【思维导图】
©知识点一：平行四边形的性质
1,平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
2,平行四边形的面积公式：面积=底×高
3,平行四边形对边平行且相等；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC
4,平行四边形对角相等、邻角互补；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）
5,平行四边形对角线互相平分；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC=AC,BO=OD=BD
6,平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
7,平行线的性质：
1、平行线间的距离都相等；
2、两条平行线间的任何平行线段都相等；
3、等底等高的平行四边形面积相等。
◎考点1：利用性质求解
例．（2021·安徽·日照港中学八年级阶段练习）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（ ）
A．8cmB．16cmC．24cmD．32cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AO＝COAC，BO＝DOBD，求得BO+COACBD（AC+BD），根据三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝COAC，BO＝DOBD，
∴BO+COACBD（AC+BD），
∵△BOC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，
∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm），
∴AC+BD＝2×8＝16（cm），
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形的周长公式，能够熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
练习1．（2022·河南·郑州中学九年级期末）如图，点P是边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知面积为24，那么的面积为（ ）
A．12B．3C．6D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得,根据三角形中位线的性质可得，进而可得根据相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】
解：
E，F分别是BP，CP的中点，
故选B
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，求得是解题的关键．
练习2．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=18°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
练习3．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12B．9C．8D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的周长为14，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
◎考点2：利用性质证明
例．（2021·陕西·西安市曲江第一中学九年级期中）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，又FD=2，
∴BC=AD=AF+FD=5，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
练习1．（2020·上海市文来中学八年级期中）平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（ ）．
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和平行四边形的性质进行推理证明即可．
【详解】
如图：
，，，，
∴共4对全等三角形，
∵平行四边形ABCD，
∴，，
∴在和中，
∴（SAS），
同理，
∵平行四边形ABCD，
∴，，
∴在和中，
∴（SSS），
同理，
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质和全等三角形的判定定理进行推理证明．
练习2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．AO＝COB．AD∥BCC．AD＝BCD．∠DAC＝∠ACD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，故A正确；
∴，故B正确；
∴AD＝BC，故C正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
练习3．（2022·全国·八年级）已知平行四边形ABCD中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．B．C．D．平分
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理和菱形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
◎考点3：性质的其它应用
例．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（ ）对面积相等的平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BGP的面积等于EBP的面积，三角形HPD的面积等于三角形PDF的面积，从而可得到AEPH的面积等于GCFP的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个．
【详解】
解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线，
∴△ABD的面积等于△BCD的面积，
同理△BGP的面积等于△EBP的面积，△PFD的面积等于△HPD的面积，
∵△BCD的面积减去△BGP的面积和△PDF的面积等于平行四边形PGCF的面积，△ABD的面积减去△EBP和△HPD的面积等于平行四边形AEPH的面积．
∴▱PGCF的面积等于▱AEPH的面积．
∴同时加上平行四边形PFDH和BGPE，
可以得出▱AEFD面积和▱HGCD面积相等，▱ABGH和▱BCFE面积相等．
所以有3对面积相等的平行四边形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质.
练习1．（2021·广西来宾·八年级期中）如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】
∵在中，
∴，，∵AD//BC，∴，无法得出∠1=∠3，
∴A，B，C正确，D错误，
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，对角线互相平分，是解题的关键．
练习2．（2021·湖北襄阳·模拟预测）下列四边形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】
A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
B、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，平行四边形和特殊平行四边形的性质，掌握以上知识点是解决问题的关键．
练习3．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝ODB．AB＝BCC．AC⊥BDD．∠ABD＝∠CBD
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
【详解】
解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
©知识点二：平行四边形的判定
平行四边形的判定定理（基础）：
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
◎考点4：平行四边形的判断
例．（2021·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AD∥BC C．AB∥CD，AD=BCD．AD∥BC，AD=BC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】
解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
练习1．（2022·山东泰安·八年级期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对角分别相等D．一组对边平行且相等
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】
解：A、两组对边分别相等是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项符合题意．
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；
D、一组对边平行且相等是平行四边形；故本选不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定．注意熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．
练习2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等B．对角线互相平分C．两组对角分别相等D．一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
【详解】
解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
练习3．（2021·湖北宜昌·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO C．AC=2AO，BD=2BOD．AO=BO，CO=DO
【答案】D
【解析】
【分析】
A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断；
B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；
D. 条件不足无法判断；
【详解】
∠DAC=∠BCA
，
四边形是平行四边形，
故A选项正确，不符合题意；
∠ABO=∠CDO
又 AB=CD，
四边形是平行四边形，
故B选项正确，不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO
四边形是平行四边形，
故C选项正确，不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
◎考点5：添加条件成为平行四边形
例．（2022·全国·八年级课前预习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BCD．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【解析】
略
练习1．（2021·安徽省六安皋城中学九年级期中）如图，在四边形中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行线的性质得，再由，得，证出，即可得出结论．
【详解】
解：一定能判定四边形是平行四边形的是，理由如下：
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，证明出．
练习2．（2021·广西钦州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝BCB．AC＝BDC．∠A＝∠CD．∠A＝∠B
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.
【详解】
∵ABCD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，
故ADBC，
则四边形ABCD是平行四边形.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
练习3．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）在四边形中，，若四边形是平行四边形，则还需要满足（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四边形已经具备一组对边平行，确定再加上另一组对边平行即可．
【详解】
解：在四边形中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，难度不大．
◎考点6：数图形中平行四边形的个数
例．（2021·全国·八年级课时练习）如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．11个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的定义即可求解．
【详解】
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、
GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，
共9个，
故选：C．
【点睛】
本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
练习1．（2021·重庆·八年级期末）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】B
【解析】
【分析】
观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得结果．
【详解】
解：观察图形的变化可知：
第①个图形中一共有10个平行四边形，
第②个图形中一共有14个平行四边形，
第③个图形中一共有19个平行四边形，
第④个图形中一共有25个平行四边形，
第⑤个图形中一共有32个平行四边形，
则第⑥个图形中平行四边形的个数为40．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
练习2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A．4B．5C．3D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得．
【详解】
解：如图，
图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF，
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
练习3．（2018·全国·八年级期末）已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B为顶点的网格平行四边形的个数为( )
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解析】
【详解】
分析: 根据平行四边形的定义:两组对边平行的四边形是平行四边形,显然图中以A、B为顶点的网格平行四边形的个数为12个，分以AB为边和以AB为对角线两种思路求解.
详解: 如图所示,根据平行四边形的定义,则以AB为边的网格平行四边形有6个,以AB为对角线的网格平行四边形有6个,则共有12个.
故选D.
点睛: 本题考查了平行四边形的判定,此题要能够根据平行四边形的定义,分别以AB为边或对角线找到所有的平行四边形.
◎考点7：求与已知三点组成平行四边形的个数
例．（2021·全国·八年级课时练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．无数
【答案】C
【解析】
【分析】
分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解.
【详解】
如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形.
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线.
练习1．（2021·上海浦东新·八年级期中）已知点、点、点，以点A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据平行四边形的边的性质知，对边相等．可以知道另一个顶点的坐标可以为：（1，﹣1）或（－3，1）或（3，1），∴不在第三象限．故选C．
考点：1．坐标与图形性质；2．平行四边形的性质．
练习2．（2022·全国·八年级）已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：
由已知条件可知，顺次连接A、B、C三点可得△ABC，在分别以AB、BC和AC为对角线各作出一个以点A、B、C为顶点的平行四边形，如下图，由此即可得到本题答案了.
详解：
∵点A、B、C不在同一条直线上时，
∴顺次连接A、B、C三点可得△ABC，
∴分别以AB、BC和AC为对角线各作出一个以点A、B、C为顶点的平行四边形，如下图所示：
∴当A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有3个.
故选C.
点睛：知道以三角形的每一条边为一条对角线都可以画出一个以该三角形的三个顶点为顶点的平行四边形，是解答本题的关键.
练习3．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点为 O（0，0）、A（1，2）、B（4，0），则顶点C的坐标是 （ ）
A．（-3，2）B．（5，2）C．（-4，2）D．（3，-2）
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：在平面直角坐标系中，平行四边形OABC，所以C点应该在第四象限，根据第四象限点坐标的特点（横坐标为正，纵坐标为负），所以该选D；
根据平行四边形的性质，OA=BC，OA∥BC，∵点O（0，0）、A（1，2）、B（4，0），∴由平移的性质可得顶点C的坐标是（3，-2）；
故选：D
考点：平行四边形
点评：本题考查平行四边形，考生解答本题需要掌握平行四边形的性质，根据平行四边形的性质来求出点的坐标
◎考点8：平行四边形的证明
例．（2021·全国·八年级课时练习）点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）种．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
平行四边形与边相关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上判定方法对条件逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：如图，
选取（1），（2），
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（1），（3），
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（2），（4），
由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
选取（3），（4），
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，
故选：
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定方法是解题的关键.
练习1．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形．
【详解】
解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析证明是解题的关键．
练习2．（2021·广东·广州市培正中学八年级期中）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，连接DE、EF、FD，可组成（ ）个平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质得到、、、，再根据平行四边形的判定条件，即可求解．
【详解】
解：已知点D、F、E分别是△ABC的边AB、CA的中点，
∴且，且
∴四边形、四边形和四边形为平行四边形，
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握中位线的性质以及平行四边形的判定是解题的关键．
练习3．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行逐一判定即可．
【详解】
解：A．t＝2时，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；
B．t＝3时，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；
C．t＝4时，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APCQ，不符合题意．
D．t＝5时，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法．
◎考点9：全等三角形拼平行四边形问题
例．（2020·浙江杭州·八年级阶段练习）用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形、正方形、矩形、平行四边形、等腰三角形的性质判断．
【详解】
解：由于菱形和正方形中都四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的含角的直角三角形不能拼成菱形和正方形；
矩形，平行四边形，等腰三角形可以拼成．如图：
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的拼接图形的特点．以及特殊四边形的性质．
练习1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得．
【详解】
以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键．
练习2．（2012·浙江·八年级阶段练习）在下列图形中，沿着虚线将矩形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
第一个图形只能拼成特殊的平行四边形矩形；
第二个图形能拼成平行四边形，矩形，三角形；
第三个图形能拼成平行四边形和梯形；
第四个图形按不同的相等的边重合可得到平行四边形，又能拼成三角形和梯形．
故选D．
练习3．（2020·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级期中）如图，某校区内有甲、乙两块大小一样的长方形地块，地块长30m，宽25m，现要在长方形地块内分别修筑如图所示的两条平行四边形小路(图中阴影部分)，余下的部分绿化．现已知ABCD1m，EFGH1m，记甲、乙地块的绿化面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1S2D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图片，我们可以看到绿化面积就是长方形的面积减去阴影部分的面积，分别求出两个长方形中阴影部分的面积，就可以得出答案．
【详解】
解：由题意可知：两个图中左右方向的平行四边形小路的面积都是：30×1=30（m²），
两个图中上下方向的平行四边形小路的面积都是：25×1=25（m²），
图甲中的重叠部分是1×1=1（m²），
，
如图，分别做PR∥CD、NS∥CD交QD于R、S，过点N做NO⊥PR于O，
则，四边形RSNS是平行西边形，
PR=NS=CD=1m，NO＜GH，GH=1m，
在平行四边形PQMN中，PQ∥MN，
，
易证，
，
，
，
，
；
故答案为：C．
【点睛】
本题考查的是面积的问题，这里需要注意添加平行辅助线，计算阴影部分的面积，尤其是S2的面积计算中，要仔细．
©知识点三：平行四边形的判定与性质的综合
◎考点10：利用判定与性质求解
例．（2022·江西萍乡·九年级期末）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【详解】
解： 菱形ABCD，

在Rt△BCO中， 即可得BD=8，

∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
BE=BC+CE=10，

∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=DE•BD=24．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
练习1．（2021·四川达州·八年级期末）如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．10B．12C．15D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，可得OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，四边形OEBF是平行四边形，则AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，由此可以推出OE+OF=5，再由四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）进行求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，
∴OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，BC//EO，
∴四边形OEBF是平行四边形，AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，
∵四边形OEBF的周长为10，
∴OE+BE+BF+OF=10，
∴OE+OF=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）=20，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
练习2．（2022·全国·八年级）如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ）
A．2秒B．2秒或3秒C．2秒或4秒D．4秒
【答案】B
【解析】
【分析】
构成平行四边形有两种情况，情况一：PD=QC；情况二：AP=BQ
【详解】
设点、运动的时间为秒，依题意得，
，，，，
①当时，四边形是平行四边形，即，解得．
②当时，四边形是平行四边形，即，解得．
所以当直线将四边形截出一个平行四边形时，点运动了2秒或3秒，
故选B．
【点睛】
本题考查梯形上动点构成平行四边形的问题，注意分情况讨论是解题关键．
练习3．（2021·江苏·苏州市吴中区天成实验学校八年级阶段练习）如图，在等腰梯形中， ，梯形的周长等于，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由DE//AB，可得∠B=∠DEC=60°，又DE//AB，AD//BE，则四边形ADEB为平行四边形，所以DE=AB，而AB=AD=DC，那么△DEC为等边三角形，然后根据等腰梯形的周长求解.
【详解】
DE//AB
∠B=∠DEC=60°
DE// AB，AD// BE
四边形ADEB为平行四边形
AD= BE
AB=AD=DC
△DEC为等边三角形
DE=DC=EC
梯形ABCD的周长是20cm
AB+ AD+ DC+ EC+ BE=5CD=20cm
CD=4cm
DE=4cm
故选C
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，额等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
◎考点11：利用判定与性质证明
例．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．四边形EGFH是平行四边形 C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接EF交BD于O，易证四边形EGFH是平行四边形，然后证明是否得出选项．
【详解】
解：连接EF交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E、F分别是AD、BC边的中点，
∴DE=BF=BC，∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，
∴△EDO≌△FBO，
∴EO=FO，DO=BO，
∵BG=DH，
∴OH=OG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GF=EH，EG=HF，故选项A、B、C正确；
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，故选项D不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△EDO≌△FBO是解题的关键．
练习1．（2021·广东揭阳·九年级期中）如图，，其中，，，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（ ）．
A．四边形BECF为平行四边形B．当时，四边形BECF为矩形
C．当时，四边形BECF为菱形D．四边形BECF不可能为正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】
解：∵，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD，
∴∠CEM=∠BFM，
∵M为BC中点，
∴CM=BM，
∴△CEM≌△BFM，
∴CE=BF，
∵AC∥BD，
∴四边形BECF为平行四边形，故A选项正确，不符合题意；
当时，若BE⊥AC，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴CE≠BF，
∴当时，四边形BECF不是矩形，故B选项错误，符合题意；
∵BF=2.5，四边形BECF是平行四边形，
∴CE=BF= 2.5，
∴AE=AC-CE= 2.5，
∴E为AC中点，
∴BE=CE，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴当BF= 2.5时，四边形BECF为菱形，故C选项正确，不符合题意；
当BF=2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形，故D选项正确，符合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定；根据全等三角形的判定证得△BMF≌△CME，进而证得四边形BECF为平行四边形是解决问题的关键．
练习2．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC+∠BCD＝180°B．∠ABC＝∠ADC
C．AB＝CDD．AB＝BC
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得，，则四边形是平行四边形，得，，，由此即可得出结论．
【详解】
解：四边形是用两张对边平行的纸条交叉叠放在一起而组成的图形，
，，
四边形是平行四边形，
，，，故选项、、不符合题意；
而平行四边形中AB和BC不一定相等，故选项符合题意，
故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
练习3．（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；
∵BE=DF
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意；
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌CDF（SAS），
∴AE=CF，BE=DF，
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形，故D不符合题意；
由AE=CF，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形AECF是平行四边形，故B符合题意，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
◎考点12：性质和判定的实际应用

例．（2021·山东潍坊·八年级期末）和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（垂直于）B．（不平行）
C．（垂直于）D．（平行）
【答案】D
【解析】
【分析】
过点作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出、、即可．
【详解】
根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线（或直线），只要最短即可，
即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽，连接交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求．
易得四边形是平行四边形，则，即．
故选：．
【点睛】
本题考查了最短路线问题，垂线段最短，三角形的三边关系定理的应用，关键是如何找出、点的位置．
练习1．（2020·河南·郑州枫杨外国语学校九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE=CB，连续AE．下列结论①AE=2OE；②；③四边形ADBE为平行四边形；④中，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．
【详解】
解：四边形是菱形，
，，，
又，
，
四边形是平行四边形，故③正确，
，
，故①正确；
四边形是平行四边形，四边形是菱形，
，，
，即，故②正确；
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，故④正确；
故选：．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．
练习2．（2019·河南漯河·八年级期中）如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
练习3．（2019·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【详解】
①正确，∵DE=BF，即DF=BE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠DFC=∠BEA=90°，
又∵AB=CD，∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），
∴CF=AE；
②正确，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AE，
由①可知，FC=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE=OF，
③正确，∵Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
综上，故选D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，解题关键是得出Rt△DFC≌Rt△BEA．
©知识点四：三角形的中位线
◎考点13：与三角形中位线有关的求解问题
例．（2022·四川成都·九年级期末）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知是的中位线，则有，根据正方形的周长求边长，进而可求的长．
【详解】
解：由题意知是的中位线
∴
∵正方形ABCD的周长为8
∴
∴
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，中位线的性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质．
练习1．（2022·陕西师大附中九年级期末）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是边的中点，若，则的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可得OA=OC，根据点 E 是 AB的中点，可得OE为BC边上的中位线，进而可得BC长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵E是AB的中点，
∴OE是△BCD中BC边上的中位线，
∴BC=2EO，
∵EO=3，
∴BC=6，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质，以及三角形中位线的性质，掌握菱形的性质，以及三角形中位线的性质是解题关键．
练习2．（2022·江西·新余市第一中学八年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且AC＝8，BD＝6，则OE等于（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO=，OD=，
在Rt△AOD中，AD=，
又∵点E是边AB的中点，O为BD中点，
∴OE＝．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=AB是解题关键．
练习3．（2022·山东·东营市实验中学模拟预测）如图，已知中，，是的中位线，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在中利用勾股定理即可求出AC的长，再根据三角形中位线的性质，即可求出DE的长．
【详解】
解：在中，，
是的中位线，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理和三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键．
◎考点14：中位线与三角形的面积问题
例．（2021·广东深圳·七年级期中）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积．
【详解】
，为的中点，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
故选B
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
练习1．（2020·河北·石家庄二十三中七年级期末）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则四边形AFDG的面积是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中线的性质，可得的面积=的面积的面积的面积的面积，的面积=的面积，相加可得结果．
【详解】
解：点，，，分别是，，，的中点，
是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
的面积=的面积的面积的面积的面积，
同理可得的面积=的面积，
∴四边形AFDG的面积==6，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
练习2．（2021·山东济南·一模）如图，中，，，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的面积是的面积的2倍
C．D．四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质与判定及三角形中位线可直接进行排除选项．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵点、、、分别是、、、的中点，
∴，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，故D选项正确；
∴，不一定成立，故A、C选项错误；
∴的面积是的面积的4倍，故B选项错误；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键．
练习3．（2020·浙江·八年级期中）如图所示，在中，是边上任一点，分别是的中点，连结，若的面积为6，则的面积为（ ）
A．32B．48C．64D．72
【答案】B【解析】【分析】
过点F作FH⊥BC于点H，交GE于点M，由题意易得，，进而可得，然后可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点F作FH⊥BC于点H，交GE于点M，如图所示：
∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
故选B．【点睛】本题主要考查三角形中位线及三角形的中线，熟练掌握三角形中位线及三角形的中线是解题的关键．
◎考点15：中位线有关的证明
三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
几何描述：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,DE=BC
例．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，点，，分别是三边的中点，且，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，连接，由题意知是的中位线，证明，有，进而可求的长．
【详解】
解：如图，连接
由题意知是的中位线
∴
∴
在和中
∵
∴
∴
∴cm
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质，三角形全等．解题的关键在于对知识熟练掌握．
练习1．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC=10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长是（ ）
A．18B．16C．14D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=10，
∴EF=AC=×10=5，
∵DF=1，
∴DE=DF+EF=6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
练习2．（2022·广东·兴宁市实验学校九年级期末）若正方形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图形，连接，先根据正方形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得，同样的方法可得，然后根据正方形的判定即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接，
四边形是正方形，
，
点分别是的中点，
，
，
同理可得：，
四边形是正方形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
练习3．（2022·广东省深圳市沙湾实验学校九年级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（ ）
A．AD＋BC＞2EFB．AD＋BC≥2EFC．AD＋BC＜2EFD．AD＋BC≤2EF
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出，，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．
【详解】
解：如图，连接AC，取AC的中点G，连接EG，GF，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是和的中位线，
∴，，
在中，由三角形三边关系得，
即，
∴，
当时，点E、F、G在同一条直线上，
∴，
∴四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是：．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查三角形中位线的性质定理，三角形三边关系，线段间的数量关系等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
◎考点16：与中位线有关的实际应用
例．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ）
A．12mB．10mC．9mD．8m
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，解答即可．
【详解】
解：∵点A、点B分别是CD、DE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB=DE=8(m)，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
练习1．（2021·贵州毕节·八年级期末）东东家有一块等腰三角形的空地，如图，已知，分别是边，的中点，量得米，米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米B．24米C．27米D．32米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可．
【详解】
解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝AC＝12米，BC＝10米，
∴EF＝BC＝5（米），BE＝AB＝6（米），CF＝AB＝6（米），
∴需要篱笆的长＝5＋6＋6＋10＝27（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
练习2．（2021·浙江·临海市外国语学校八年级期中）如图，为测量池塘的宽度（A、B两点之间的距离），在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A、B间的距离是（ ）
A．10米B．20米C．30米D．40米
【答案】D
【解析】
【分析】
有已知条件可得为三角形的中位线，根据中位线定理即可求得．
【详解】
D、E是OA、OB的中点,
,
,
．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．
练习3．（2021·广东深圳·八年级期末）图1是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为2cm，用剪刀沿一直角边和斜边的中点连线（图中虚线）剪开后，拼成如图2的四边形，则该四边形的周长为（ ）
A．6cmB．4cmC．（4+2）cmD．（4+）cm
【答案】C
【解析】
【分析】
计算剪开前△ADE的各边的长度，即可求得拼成的四边形的周长．
【详解】
如图所示：
由题意可得：在图1中，BC＝AC＝2cm，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝DE＝BC＝1cm，
∵△ABC等腰直角三角形，且直角边的长度为2cm，
∴由勾股定理得：（cm），
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝（cm），
∵在图2中，AC＝1cm，
∴四边形的周长为：AB+BD+DE+AE＝AC+BC+BD+DE+AE＝1+2++1+＝（4+2）cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查图形的割补，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形中位线定理的应用是关键．