沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题22 数据的集中趋势与离散程度（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题22 数据的集中趋势与离散程度（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共50页。

©知识点一：算数平均数
算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。
公式：平均数==
【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。
◎考点1：求一组数据的平均数
例．（2021·广东清远·二模）有一组数据：2，4，5，6，8，这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
练习1．（2022·浙江宁波·模拟预测）一组数据3、4、4、5，若添加一个数4后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
练习2．（2021·江苏苏州·九年级期中）在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A．7小时B．7.5小时C．8小时D．9小时
练习3．（2021·全国·九年级课时练习）一组数据的平均数是，则另一组数据的平均数是（ ）
A．B．C．D．
◎考点2：已知平均数，求未知数据的值
例．（2021·全国·九年级单元测试）已知一组数据85，80，x，90的平均数是85，那么x等于（ ）
A．80B．85C．90D．95
练习1．（2021·陕西西安·八年级期末）在1，3，5，7中再添加一个数使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
练习2．（2021·河北秦皇岛·九年级期中）如果数据2，3，x，4的平均数是3，那么x等于（ ）．
A．2B．3C．3.5D．4
练习3．（2021·江苏·沭阳县怀文中学二模）已知一组数据，，，的平均数是，那么等于（ ）
A．B．C．D．
◎考点3：已知一组数据的平均数，求另一组数据的平均数
例．（2021·全国·九年级课时练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是（ ）
A．2B．3C．5D．
练习1．（2021·福建泉州·八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为（ ）
A．7B．9C．21D．23
练习2．（2021·浙江·八年级期末）已知一组数据的平均数为3，则数据的平均数是（ ）
A．3B．5C．6D．7
练习3．（2021·全国·八年级专题练习）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是（ ）
A．8B．6C．4D．2
◎考点4：利用平均数做决策
例．（2022·山东潍坊·八年级期末）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是，，，，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
练习1．（2021·湖北武汉·八年级期末）某蔬菜基地从种植的甲、乙、丙、丁四个品种的蔬菜中各采摘了50棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如下表所示：
这四个蔬菜品种中，既高产又稳定的品种是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
练习2．（2021·河北张家口·八年级期末）在我区举行的课堂比赛中，位评委给某位选手的评分不完全相同．若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则以下四个统计量中一定不会发生变化的是（ ）
A．平均分B．众数C．中位数D．方差
练习3．（2021·北京东城·八年级期末）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位平均成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
©知识点二：加权平均数
加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数。
◎考点5：已知加权平均数，求未知数据的值
例．（2019·广西南宁·八年级期末）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外锻炼占20%，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占40%．小乐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85，则小彤这学期的体育成绩为是（ ）
A．85B．89C．90D．95
练习1．（2019·安徽宿州·二模）为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100个节约用水模范户，8月份节约用水的情况如表：
那么，8月份这100户平均节约用水的吨数为(精确到0.01t)( )A．1.15tB．1.20tC．1.05tD．1.00t
练习2．（2018·全国·九年级期末）下表中，若平均数为2，则x等于（ ）.
A．0B．1C．2D．3
练习3．（2015·湖北黄石·八年级期末）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%、面试按60%计算加权平均数作为总分成绩，小华笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小华的总成绩是（）
A．87分B．87.5分C．88分D．89分
◎考点6：利用加权平均数做决策
例．（2021·江苏·九年级专题练习）某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示，若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，那么从成绩看，应该录取（ ）
A．甲B．乙C．丙D．任意一人都可
练习1．（2021·福建·中考真题）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
练习2．（2021·河南焦作·一模）为了丰富学生的课余生活，光明中学举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：若唱功、音乐常识、综合知识按的比例计算总成绩，排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是（ ）
A．王军、张乐、李鹏B．李鹏、王军、张乐C．王军、李鹏、张乐D．李鹏、张乐、王军
练习3．（2021·广东深圳·八年级期末）学校推荐一名同学参加龙华区初中英语演讲比赛，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了听说测试和笔试，他们的成绩如下表，听说成绩、笔试成绩按的比例确定各人的测试成绩．
根据四人的测试成绩，学校将推荐（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
©知识点三：中位数
中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。
确定中位数的一般步骤：
第1步：排序，由大到小或由小到大。
第2步：确定是奇个数据（）或偶个数据（）。
第3步：如果是奇个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数，中位数是中间两个数据的平均数。
◎考点7：求中位数
例．（2022年安徽省宿州市九年级中考一模数学试卷）某校为丰富学生课余活动，开展了一次“校园书法绘画”比赛，共有20名学生入围，他们的决赛成绩如下表：
则入围学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．96.5分，96分B．96分，96分C．96.5分，97分D．96分，97分
练习1．（2021·海南三亚·八年级期末）对于一组数据-1，-1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是 1B．众数是-1C．中位数是 0.5D．方差是 3.5
练习2．（2021·浙江工业大学附属实验学校三模）8名学生的鞋码（单位：原米）由小到大是21，22，22，22，23，23，24，25，则这组数据的众数和中位数是（ ）
A．23，22B．23，22.5C．22，22D．22，22.5
练习3．（2022·广西贵港·一模）已知一组数据：2，5，4，5，8，则这组数据中的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4B．4，5C．5，5D．5，8
◎考点8：已知一组数据的中位数，求未知数据的值
例．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）从小到大的一组数据－1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．2，4B．2，3C．1，4D．1，3
练习1．（2021·江苏南京·二模）某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续 5 天在该软件上聊天，下面是这 5天日聊天记录条数的统计量，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（ ）
A．中位数为 110 条，极差为 20 条B．中位数为 110 条，众数为 112 条
C．中位数为 106 条，平均数为 102 条D．平均数为 110 条，方差为 10 条2
练习2．（2021·广东深圳·一模）若一组数据，3，2，6，5，3，4的中位数是3，那么的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
练习3．（2020·浙江杭州·模拟预测）下表为某班成绩的分布表，已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值为（ ）．
A．0B．15C．45D．75
◎考点9：运用中位数做决策
例．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）我校举办了“平安校园”知识竞赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
练习1．（2022·全国·八年级课前预习）在演讲比赛中，你想知道自己在所有选手中处于什么水平，应该关心的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数
练习2．（2022·黑龙江佳木斯·九年级期末）在春季运动会中，有9名学生参加100米比赛，并且他们的最终成绩各不相同，若一名学生想知道自己能否进入前5名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
练习3．（2021·江苏南京·九年级期中）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ）
A．平均数B．加权平均数C．众数D．中位数
©知识点四：众数
众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。
众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。
平均数、中位数、众数的区别：
1、平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,在现实生活中较为常用.但它受极端值的影响较大。
2、 当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势。但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义。
3.中位数只需很少的计算,不受极端值的影响,这在有些情况下是一个优点。
例．（2021·山东淄博·一模）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（ ）
A．3，4，0.4B．4，0.4，4C．4，4，0.4D．4，3，0.4
练习1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知一组正整数1、2、3、、的平均数为2，且众数是唯一的，则的值为（ ）
A．1B．3C．4D．9
练习2．（2021·山东青岛·八年级单元测试）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
练习3．（2021·河南周口·八年级期末）在建党100周年来临之际，为了弘扬红色经典文化，西华县教体局举办了红色经典诵读比赛，记分员根据比赛中七位评委所给的某参赛单位的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
©知识点五：方差
◎考点10：求方差
例．（浙江省绍兴市2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：183，190，188，190，194．现用一名身高为185cm的队员换下场上一名身高为190cm的队员，与换人之前相比，场上队员身高的（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变大，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变小，方差变大
练习1．（2022·山东枣庄·一模）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为100，120，140，130，120，120，110．关于这组数据，下列结论错误的是（ ）．
A．众数是120B．平均数是120
C．中位数是120D．方差是
练习2．（2021·四川凉山·八年级期末）已知一组数据的平均数是2，方差是1，那么另一组数据的平均数和方差分别是（ ）
A．0 B．6 3C．4 9D．4 1
练习3．（2022·贵州遵义·九年级期末）为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池活动，随机抽取其中40名学生进行调查，这40名学生收集的废旧电池数量统计如下：
对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是30B．平均数是60C．中位数是20D．方差是0
◎考点11：已知方差判断未知数据的值
例．（2021·全国·九年级专题练习）已知一组数据的平均数是4，方差是6，则，的平均数和方差分别为（ ）
A．4和6B．16和6C．4和22D．16和54
练习1．（2021·河南南阳·八年级期末）已知数据A：1，2，3，；数据B：3，4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差小，则的值可能是（ ）
A．5 B．4 C．2 D．0
练习2．（2021·河北唐山·二模）已知数据划x1、x2、x3、……、x100是福建某企业普通职工的2020年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入x101，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（ ）
A．b一定增大，c可能增大B．b可能不变，c一定增大
C．b一定不变，c一定增大D．b可能增大，c可能不变
练习3．（2021·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）．
A．方差越大，数据波动越小
B．两直线平行，同旁内角相等
C．长为3cm，3cm，5cm的三条线段可以构成一个三角形
D．学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学为样本
◎考点12：根据方差判断稳定性
例．（2021·河南濮阳·模拟预测）油田某中学利用假期对油田周边四个农贸市场某月份每天的青菜价格进行调查，他们计算出了青菜价格的平均值和方差如表：
那么该月份青菜价格最稳定的市场是（ ）A．胜利市场B．百姓量贩C．茂名路市场D．庆西市场
练习1．（2022·四川·成都市树德实验中学八年级开学考试）如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
练习2．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于任意两个内角的和
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据的平均数都是3，S甲2＝0.8，S乙2＝1.4，则乙组数据较稳定
练习3．（2022·湖南邵阳·九年级期末）王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山，各栽种了100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了四棵杨梅树上的杨梅，每棵的产量如图所示，由统计图提供的信息可知，杨梅产量较稳定的是（ ）
A．甲山B．乙山C．一样D．无法确定
◎考点13：根据方差做决策
例．（2021·河南·模拟预测）选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：
如果选拔一名学生去参赛，应派（ ）去．A．甲B．乙C．丙D．丁
练习1．（2021·山西运城·八年级期末）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
练习2．（2022·湖南常德·九年级期末）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
练习3．（2022·山东济南·八年级期末）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
甲
乙
丙
丁
1.2
2
2
1.8
S2
1.7
1.8
2.1
1.9
甲
乙
丙
丁
平均数
80
85
85
80
方差
42
45
54
59
每户节水量(单位：吨)
1
1.2
1.5
节水户数
52
30
18
应试者
计算机
语言
商品知识
甲
60
70
80
乙
80
70
60
丙
70
80
60
项目
作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
测试项目
测试成绩
王军
李鹏
张乐
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
85
90
100
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩
（百分制）
听说成绩
86
92
90
83
笔试
89
83
83
92
成绩（分）
94
95
96
97
98
99
人数
1
3
6
5
3
2
成绩（分）
20
30
40
50
60
70
90
100
人数
2
3
5
x
6
y
3
4
月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
平均数
中位数
众数
方差
9.2
9.3
9.4
0.5
废旧电池数（节）
20
30
40
50
60
人数（人）
8
11
10
6
5
农贸市场
胜利市场
百姓量贩
茂名路市场
庆西市场
青菜平均价格（元/斤）
1.2
1.3
1.2
1.2
方差S2
7.5
4.0
1.5
3.1
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.8
9.8
9.8
9.8
方差
0.85
0.72
0.88
0.76
甲
乙
丙
丁

12″33
10″26
10″26
15″29
S2
1.1
1.1
1.3
1.6
甲
乙
丙
丁
平均数
7
8
8
7
方差
l
1.5
1
1.8
甲
乙
丙
丁
平均分
90
95
95
90
方差
50
42
50
42
甲
乙
丙
丁
6
7
7
6
s2
1
1.1
1
1.6
专题22 数据的集中趋势与离散程度(知识点考点串编)
【思维导图】
©知识点一：算数平均数
算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。
公式：平均数==
【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。
◎考点1：求一组数据的平均数
例．（2021·广东清远·二模）有一组数据：2，4，5，6，8，这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
把五个数相加再除以5得平均数．
【详解】
解：平均数是，
故选：C．
【点睛】
本题考查平均数的求法，掌握方法是关键．
练习1．（2022·浙江宁波·模拟预测）一组数据3、4、4、5，若添加一个数4后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出原数据与新数据的平均数、中位数、众数与方差，然后进行比较即可得出结果．
【详解】
解：原数据3，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为，
新数据3，4，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为，
综合可得：平均数、中位数、众数均未发生变化，方差发生变化，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查求数据的平均数、中位数、众数与方差，熟练掌握各个统计量的求法是解题关键．
练习2．（2021·江苏苏州·九年级期中）在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A．7小时B．7.5小时C．8小时D．9小时
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数的定义列式计算即可求解．
【详解】
解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7=8（小时）．
故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
练习3．（2021·全国·九年级课时练习）一组数据的平均数是，则另一组数据的平均数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数的性质及计算公式直接求解可得.
【详解】
解：∵数据的平均数是，
∴数据的平均数是.
故选：C.
【点睛】
本题考查一组数据的平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数性质的合理运用．
◎考点2：已知平均数，求未知数据的值
例．（2021·全国·九年级单元测试）已知一组数据85，80，x，90的平均数是85，那么x等于（ ）
A．80B．85C．90D．95
【答案】B
【解析】
【分析】
由平均数的公式建立关于x的方程，求解即可．
【详解】
解：由题意得：（85+x+80+90）÷4=85
解得：x=85．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平均数，应用了平均数的计算公式建立方程求解．
练习1．（2021·陕西西安·八年级期末）在1，3，5，7中再添加一个数使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均数的公式求出数据1，3，5，7的平均数，根据题意可知添加的一个数据是平均数，从而求解．
【详解】
解：原数据的平均数为=4，
所以添加的数为4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
练习2．（2021·河北秦皇岛·九年级期中）如果数据2，3，x，4的平均数是3，那么x等于（ ）．
A．2B．3C．3.5D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由数据2，3，x，4的平均数是3，可得方程：再解方程可得答案.
【详解】
解： 数据2，3，x，4的平均数是3，


故选：
【点睛】
本题考查的是平均数的含义，掌握利用平均数的含义列方程求解某个数据的值是解题的关键.
练习3．（2021·江苏·沭阳县怀文中学二模）已知一组数据，，，的平均数是，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由平均数的公式建立关于x的方程，求解即可．
【详解】
解：由题意得：（85+x+80+90）÷4=85
解得：x=85．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平均数，应用了平均数的计算公式建立方程求解．
◎考点3：已知一组数据的平均数，求另一组数据的平均数
例．（2021·全国·九年级课时练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是（ ）
A．2B．3C．5D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数据a，b，c的平均数为5可知（a+b+c）=5，据此可得出（a-2+b-2+c-2）的值即可．
【详解】
∵数据a，b，c的平均数为5，
∴，
∴，
数据的平均数是3．
故选择B．
【点睛】
本题考查平均数，熟记平均数计算公式是解题的关键．
练习1．（2021·福建泉州·八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为（ ）
A．7B．9C．21D．23
【答案】D
【解析】
【分析】
平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．
【详解】
解：∵一组数据x1，x2，x3的平均数为7，
∴x1+x2+x3=7×3=21，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为：
（3x1+2+3x2+2+3x3+2）
=[3（x1+x2+x3）+6]
=23，
故选：D．
【点睛】
此题考查平均数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．
练习2．（2021·浙江·八年级期末）已知一组数据的平均数为3，则数据的平均数是（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
据平均数的性质知，要求x1+2，x2+2，x3+2的平均数，只要把数x1，x2，x3的和表示出即可．
【详解】
解：∵x1，x2，x3，的平均数是3，
∴x1+x2+x3=3×3=9，
∴x1+2，x2+2，x3+2的平均数是：
（x1+2，x2+2，x3+2）÷3
=（9+6）÷3
=5．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是算术平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．
练习3．（2021·全国·八年级专题练习）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求数据x1，x2…，xn的平均数，再根据数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数求出=3+2即可．
【详解】
解：∵一组数据x1，x2…，xn的平均数＝2，
∴=，
∴数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数＝（3x1+2+3x2+2+…+3xn+2），
＝[3（x1+x2+…+xn）+2n]，
＝3×（x1+x2+…+xn）+2，
=3+2，
＝3×2+2，
＝8，
故选：A．
【点睛】
本题考查数据和倍分与合的数据平均数，掌握计算平均数的技巧是解题关键．
◎考点4：利用平均数做决策
例．（2022·山东潍坊·八年级期末）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是，，，，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】
【分析】
结合题意，根据平均数和方差的性质，基于甲、乙、丙、丁四人射箭成绩平均数相同的情况下，方差最小的对应成绩最稳定，即可得到答案．
【详解】
根据题意，甲、乙、丙、丁四人射箭成绩的平均数都是8.9环，且丁的方差最小
∴射箭成绩最稳定的是丁
故选：D．
【点睛】
本题考查了方差、平均数的知识；解题的关键是熟练掌握平均数、方差的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解．
练习1．（2021·湖北武汉·八年级期末）某蔬菜基地从种植的甲、乙、丙、丁四个品种的蔬菜中各采摘了50棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如下表所示：
这四个蔬菜品种中，既高产又稳定的品种是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平均产量，选择高产品种，再根据方差选择产量稳定的品种．
【详解】
解：∵1.2＜1.8＜2＝2，
∴从产量的平均数看，乙、丙两个品种的平均产量较高，
∵1.8＜2.1，
∴乙丙两品种，乙产量比较稳定．
综上，乙品种高产又稳定．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，掌握平均数和方差的意义是解决本题的关键．
练习2．（2021·河北张家口·八年级期末）在我区举行的课堂比赛中，位评委给某位选手的评分不完全相同．若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则以下四个统计量中一定不会发生变化的是（ ）
A．平均分B．众数C．中位数D．方差
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数的定义即可解答．
【详解】
解：先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，中位数是位于中间位置或中间两数的平均数．
练习3．（2021·北京东城·八年级期末）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位平均成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均数和方差的意义求解即可．
【详解】
由表格可知，乙同学的平均数最高，且方差较小，
故应选乙同学．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平均数和方差的意义，解题的关键是熟记平均数和方差的意义．
©知识点二：加权平均数
加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数。
◎考点5：已知加权平均数，求未知数据的值
例．（2019·广西南宁·八年级期末）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外锻炼占20%，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占40%．小乐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85，则小彤这学期的体育成绩为是（ ）
A．85B．89C．90D．95
【答案】B
【解析】
【分析】
根据加权平均数的定义即可求解.
【详解】
由题意得小彤这学期的体育成绩为是20%×95+40%×90+40%×95=89，
故选B.
【点睛】
此题主要考查加权平均数的求解，解题的关键是熟知加权平均数的定义.
练习1．（2019·安徽宿州·二模）为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100个节约用水模范户，8月份节约用水的情况如表：
那么，8月份这100户平均节约用水的吨数为(精确到0.01t)( )A．1.15tB．1.20tC．1.05tD．1.00t
【答案】A
【解析】
【分析】
平均节约用水的吨数等于所有的户节约用水的总和除以户数．
【详解】
100户平均节约用水的吨数＝(52×1+30×1.2+18×1.5)÷100＝1.15t．
故选A．
【点睛】
本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
练习2．（2018·全国·九年级期末）下表中，若平均数为2，则x等于（ ）.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均数的求法列式求解即可.
【详解】
由题意得
，
解之得
x=1.
经检验，x=1符合题意.
故选B.
【点睛】
本题重点考查了算加权平均数的计算公式，希望同学们要牢记公式，并能够灵活运用.加权平均数：（其中w1、w2、……、wn分别为x1、x2、……、xn出现的次数）. 数据的权能反映数据的相对“重要程度”，对于同样的一组数据，若权重不同，则加权平均数很可能是不同的.
练习3．（2015·湖北黄石·八年级期末）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%、面试按60%计算加权平均数作为总分成绩，小华笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小华的总成绩是（）
A．87分B．87.5分C．88分D．89分
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：∵笔试按40%、面试按60%，∴总成绩是（90×40%+85×60%）=87分，
故选A．
考点： 加权平均数．
◎考点6：利用加权平均数做决策
例．（2021·江苏·九年级专题练习）某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示，若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，那么从成绩看，应该录取（ ）
A．甲B．乙C．丙D．任意一人都可
【答案】A
【解析】
【分析】
分别按照2，3，5的赋权计算甲，乙，丙的平均数，再录取最高分即可.
【详解】
解：根据题意，甲的最终成绩为（分，
乙的最终成绩为（分，
丙的最终成绩为（分，
所以应该录取甲，
故选：．
【点睛】
本题考查的是加权平均数的含义与计算，理解赋权2，3，5的含义是解题的关键.
练习1．（2021·福建·中考真题）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
利用加权平均数计算总成绩,比较判断即可
【详解】
根据题意,得:
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93；
丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88；
故选B
【点睛】
本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
练习2．（2021·河南焦作·一模）为了丰富学生的课余生活，光明中学举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：若唱功、音乐常识、综合知识按的比例计算总成绩，排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是（ ）
A．王军、张乐、李鹏B．李鹏、王军、张乐C．王军、李鹏、张乐D．李鹏、张乐、王军
【答案】B
【解析】
【分析】
根据加权平均数的计算公式分别求出三人的成绩，比较即可求解．
【详解】
解：王军的成绩为；
李鹏的成绩为；
张乐的成绩为．
93＞91.3＞88，
∴冠军、亚军、季军分别是李鹏、王军、张乐．
故选：B
【点睛】
本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．
练习3．（2021·广东深圳·八年级期末）学校推荐一名同学参加龙华区初中英语演讲比赛，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了听说测试和笔试，他们的成绩如下表，听说成绩、笔试成绩按的比例确定各人的测试成绩．
根据四人的测试成绩，学校将推荐（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出甲，乙，丙，丁的平均分，即可得到答案．
【详解】
甲的平均成绩=（86×6+89×4）÷10=87.2
乙的平均成绩=（92×6+83×4）÷10=88.4
丙的平均成绩=（90×6+83×4）÷10=87.2
丁的平均成绩=（83×6+92×4）÷10=86.6
∵乙的平均分最高，
∴学校将推荐乙，
故选B
【点睛】
本题主要考查加权平均分，熟练掌握加权平均分公式，是解题的关键．
©知识点三：中位数
中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。
确定中位数的一般步骤：
第1步：排序，由大到小或由小到大。
第2步：确定是奇个数据（）或偶个数据（）。
第3步：如果是奇个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数，中位数是中间两个数据的平均数。
◎考点7：求中位数
例．（2022年安徽省宿州市九年级中考一模数学试卷）某校为丰富学生课余活动，开展了一次“校园书法绘画”比赛，共有20名学生入围，他们的决赛成绩如下表：
则入围学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．96.5分，96分B．96分，96分C．96.5分，97分D．96分，97分
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义，将成绩按照从小到大排列即可得到中位数，众数的话，看成绩对应人数最多的成绩即可．
【详解】
解：将数据从小到大排列后，第10个数96和第11个数97的平均数96.5为该组数据的中位数，得96分的人数最多．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．众数即为出现最多的那个数目．
练习1．（2021·海南三亚·八年级期末）对于一组数据-1，-1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是 1B．众数是-1C．中位数是 0.5D．方差是 3.5
【答案】D
【解析】
【分析】
将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
【详解】
将这组数据重新排列为-1、-1、2、4，
所以这组数据的平均数为，中位数为=0.5，众数为-1，
方差为，
故选 D．
【点睛】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
练习2．（2021·浙江工业大学附属实验学校三模）8名学生的鞋码（单位：原米）由小到大是21，22，22，22，23，23，24，25，则这组数据的众数和中位数是（ ）
A．23，22B．23，22.5C．22，22D．22，22.5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的概念求解即可．
【详解】
解：数据按从小到大的顺序排列为21，22，22，22，23，23，24，25，
所以中位数是＝22.5；
数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．
故选：D．
【点睛】
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
练习3．（2022·广西贵港·一模）已知一组数据：2，5，4，5，8，则这组数据中的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4B．4，5C．5，5D．5，8
【答案】C
【解析】
【分析】
先将这组数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数和众数的定义，即可求解．
【详解】
解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，4，5，5，8，
则中位数为5，众数为5．
故选C．
【点睛】
本题考查了中位数和众数．解题的关键在于明确将一组数据按从大到小（或从小到大）的顺序排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数就是这组数据的平均数；一组数据中出现次数最多的数就是这组数据的众数．
◎考点8：已知一组数据的中位数，求未知数据的值
例．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）从小到大的一组数据－1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．2，4B．2，3C．1，4D．1，3
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义和平均数的公式，即可求出这组数据的众数和平均数．
【详解】
解：∵一组数据－1，1，2，x，6，8的中位数为2，
∴x＝2×2－2＝2，
2出现的次数最多，故这组数据的众数是2，
这组数据的平均数是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了众数，平均数及中位数，解题的关键是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
练习1．（2021·江苏南京·二模）某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续 5 天在该软件上聊天，下面是这 5天日聊天记录条数的统计量，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（ ）
A．中位数为 110 条，极差为 20 条B．中位数为 110 条，众数为 112 条
C．中位数为 106 条，平均数为 102 条D．平均数为 110 条，方差为 10 条2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各个选项中所给出的统计量对数据进行估计与假设，若能够推断出这组数据中每个数据都不低于100，则满足题意．
【详解】
A、中位数为100条，极差为20，则一定有聊天记录小于条的天数，故A说法错误；
B、众数为112条，中位数为110，则数据中必有110,112,112，那么可能出现有1天或者2天聊天条数低于，但是不能确定这两天的聊天记录都高于，故B说法错误；
C、中位数为106，平均数为102，只可保证5日聊天总条数大于500，并不能保证每一天都大于100，故C说法错误；
D、选项中，设5个数分别为、、、、
则
若、、、、中有一个数小于等于100，
则，
因为，所以、、、、均大于100；
故选：D．
【点睛】
本题考查对数据的统计与分析，解题关键是掌握中位数，众数，极差，平均数，方差的概念．
练习2．（2021·广东深圳·一模）若一组数据，3，2，6，5，3，4的中位数是3，那么的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中位数的定义分析即可．
【详解】
将该组除以外的数据从小到大排列得到：2，3，3，4，5，6，
其中，中位数为，
若加入一个数后，中位数为3，
则应满足，
∴的值不可能为4，
故选：D．
【点睛】
本题考查求一组数据的中位数，理解中位数的定义，掌握中位数的求法是解题关键．
练习3．（2020·浙江杭州·模拟预测）下表为某班成绩的分布表，已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值为（ ）．
A．0B．15C．45D．75
【答案】B
【解析】
【分析】
根据众数与中位数可先求出x、y的值，然后再代值求解即可．
【详解】
解：由题意得：
∵中位数为60分，总数为38人，
∴中位数应在19与20人之间，
∴，即，
∴x=8或7或6或5或4，
∵众数为50分，
∴x=8，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查中位数与众数，熟练掌握中位数与众数的概念是解题的关键．
◎考点9：运用中位数做决策
例．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）我校举办了“平安校园”知识竞赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
【答案】C
【解析】
【分析】
由于共有9名同学参加决赛，根据中位数的意义，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，或最中间的两个数值的平均数来分析即可．
【详解】
解：9个不同的成绩按从小到大排序后，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，
中位数之前的共有4个成绩，
按照成绩能否进前5名，
还必须清楚这9名同学成绩的中位数．
故选择：C．
【点睛】
本题考查了中位数意义．掌握中位数的定义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
练习1．（2022·全国·八年级课前预习）在演讲比赛中，你想知道自己在所有选手中处于什么水平，应该关心的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数
【答案】B
【解析】
略
练习2．（2022·黑龙江佳木斯·九年级期末）在春季运动会中，有9名学生参加100米比赛，并且他们的最终成绩各不相同，若一名学生想知道自己能否进入前5名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
【答案】B
【解析】
【分析】
根据众数、中位数、平均数及方差的意义知，只要知道了中位数即可知道自己能否进入前5名．
【详解】
众数表示一组数据中出现次数最多的数，知道众数无法知道自己能否进入前5名；平均数表示的是一组数据的平均水平，方差反映的是一组数据的波动程度，它们都不能知道自己能否进入前5名，只有中位数，才能知道自己能否进入前5名，9名学生中，成绩按高低排列第5位学生的成绩是中位数，若该学生的成绩等于或高于中位数，则进入前5名，否则没有．
故选：B
【点睛】
本题考查了众数、中位数、平均数及方差这四个统计量，前三个反映的是数据的平均水平，后一个反映的是数据的波动程度，理解这四个概念是关键．
练习3．（2021·江苏南京·九年级期中）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ）
A．平均数B．加权平均数C．众数D．中位数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中位数的特点，参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数即可．
【详解】
解：根据题意，由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，第5名和第6名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数是多少．
故选：D．
【点睛】
本题考查中位数，理解中位数的特点，熟知中位数是一组数据从小到大的顺序依次排列，处在最中间位置的的数（或最中间两个数据的平均数）是解答的关键．

©知识点四：众数
众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。
众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。
平均数、中位数、众数的区别：
1、平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,在现实生活中较为常用.但它受极端值的影响较大。
2、 当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势。但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义。
3.中位数只需很少的计算,不受极端值的影响,这在有些情况下是一个优点。
例．（2021·山东淄博·一模）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（ ）
A．3，4，0.4B．4，0.4，4C．4，4，0.4D．4，3，0.4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数、众数和方差的概念求解．排序后的第3个数是中位数；出现次数最多的数据是众数，利用方差公式计算方差即可；
【详解】
解：把这组数据从小到大排列：3，4，4，4，5，最中间的数是4，则这组数据的中位数是4；
4出现了3次，出现的次数最多，则众数是4；
平均数是，
所以方差为，
故选：C．
【点睛】
此题考查了中位数、众数和方差，解题的关键是掌握相应的概念．
练习1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知一组正整数1、2、3、、的平均数为2，且众数是唯一的，则的值为（ ）
A．1B．3C．4D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数求出与的和，再根据正整数和众数是唯一确定、的值即可．
【详解】
解：一组正整数1、2、3、、的平均数为2，所以，，
解得，
因为这组数据是正整数，则 或或 ，
由于众数是唯一的，故，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平均数和众数，解题关键是明确平均数和众数的意义，根据正整数确定、的值．
练习2．（2021·山东青岛·八年级单元测试）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【答案】B
【解析】
【分析】
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然小明想了解到该公司全体员工的月收入，那么应该是看多数员工的工资情况，故值得关注的是众数．
【详解】
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故小明应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
练习3．（2021·河南周口·八年级期末）在建党100周年来临之际，为了弘扬红色经典文化，西华县教体局举办了红色经典诵读比赛，记分员根据比赛中七位评委所给的某参赛单位的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】
解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：B．
【点睛】
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数、众数、平均数及方差的定义，难度不大．
©知识点五：方差
◎考点10：求方差
例．（浙江省绍兴市2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：183，190，188，190，194．现用一名身高为185cm的队员换下场上一名身高为190cm的队员，与换人之前相比，场上队员身高的（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变大，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变小，方差变大
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【详解】
解：原数据的平均数＝，
原数据的方差为：
＝
＝，
新数据的平均数＝，
新数据的方差为：
＝
，
比较发现平均数变小，方差变大，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式．
练习1．（2022·山东枣庄·一模）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为100，120，140，130，120，120，110．关于这组数据，下列结论错误的是（ ）．
A．众数是120B．平均数是120
C．中位数是120D．方差是
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中位数、众数、平均数、方差的计算方法分别求出结果再进行判断即可．
【详解】
解：将这7个数从小到大排列100，110，120，120，120，130，140，最中间的数为120，因此中位数为120，出现次数最多的是120，因此众数是120，
这7个数的平均数为，
方差为= ．
故选：D．
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数、方差，掌握对应的计算方法是解题的关键．
练习2．（2021·四川凉山·八年级期末）已知一组数据的平均数是2，方差是1，那么另一组数据的平均数和方差分别是（ ）
A．0 B．6 3C．4 9D．4 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律2求得新数据的平均数及方差即可．
【详解】
解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数是x1，x2，x3，x4，x5的平均数的3倍减2，
∴3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数为：3×2−2＝4，
∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍，
∴3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为：32×1＝9．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了方差的知识，说明了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
练习3．（2022·贵州遵义·九年级期末）为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池活动，随机抽取其中40名学生进行调查，这40名学生收集的废旧电池数量统计如下：
对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是30B．平均数是60C．中位数是20D．方差是0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数、中位数、平均数及方差的定义列式计算即可．
【详解】
解：这组数据的众数为30，故A选项正确；
平均数为＝37.25，故B选项错误；
中位数为，故选项C错误；
方差为×[（20−37.25）2×8＋（30−37.25）2×11＋（40−37.25）2×10＋（50−37.25）2×6＋（60−37.25）2×5]＝164.9375，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．
众数：在一组数据中出现次数最多的数．方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．
◎考点11：已知方差判断未知数据的值
例．（2021·全国·九年级专题练习）已知一组数据的平均数是4，方差是6，则，的平均数和方差分别为（ ）
A．4和6B．16和6C．4和22D．16和54
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数，方差的公式计算即可．
【详解】
根据题意得：，
∴，
∴的平均数为：
∵的方差是6，
∴数据的方差为：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平均数，方差的计算，解题关键是熟悉相关计算公式，会将所求式子变形，再整体带入．
练习1．（2021·河南南阳·八年级期末）已知数据A：1，2，3，；数据B：3，4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差小，则的值可能是（ ）
A．5 B．4 C．2 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方差的意义知：数据：1，2，3，4及数据：0，1，2，3的方差与数据B的方差相同，分别计算当x=5和x=2时数据A的方差即可确定答案．
【详解】
当x=4或x=0时，数据：1，2，3，4、数据：0，1，2，3及数据B的平均数分别为2.5，1.5及4.5，根据方差的计算公式可得这三组数据的方差相等，均为；
当x=5时，数据A的平均数为2.75，则方差为：

当x=2时，数据A的平均数为2，则方差为：
故正确的是C
故选：C．
【点睛】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．
练习2．（2021·河北唐山·二模）已知数据划x1、x2、x3、……、x100是福建某企业普通职工的2020年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入x101，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（ ）
A．b一定增大，c可能增大B．b可能不变，c一定增大
C．b一定不变，c一定增大D．b可能增大，c可能不变
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均数的定义、中位数的定义、方差的概念和性质判断即可．
【详解】
解：∵数据x1、x2、x3、……、x100是福建某企业普通职工的2020年的年收入，x101是中国首富马化腾的年收入，
∴x101是远远大于x1、x2、x3、……、x100，
∴这101个数据中，中位数为b可能不变，有可能增大，方差为c一定增大，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是算术平均数、中位数、方差的概念和性质，正确理解中国首富马化腾的年收入远远大于福建某企业普通职工的年收入是解题的关键．
练习3．（2021·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）．
A．方差越大，数据波动越小
B．两直线平行，同旁内角相等
C．长为3cm，3cm，5cm的三条线段可以构成一个三角形
D．学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学为样本
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方差的意义、平行线的性质、三角形三边关系及样本的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】
方差越小，数据波动越小，A选项错误；
两直线平行，同旁内角互补，B选项错误；
长为3cm，3cm，5cm的三条线段可以构成一个三角形，C选项正确；
学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学的体考成绩为样本，D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了方差、平行线、三角形、统计调查的知识；解题的关键是熟练掌握方差、平行线、三角形三边关系、样本的性质，从而完成求解．
◎考点12：根据方差判断稳定性
例．（2021·河南濮阳·模拟预测）油田某中学利用假期对油田周边四个农贸市场某月份每天的青菜价格进行调查，他们计算出了青菜价格的平均值和方差如表：
那么该月份青菜价格最稳定的市场是（ ）A．胜利市场B．百姓量贩C．茂名路市场D．庆西市场
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】
解：∵1.5＜3.1＜4.0＜7.5，
∴茂名路市场的方差最小，
∴该月份青菜价格最稳定的市场是茂名路市场；
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用方差进行判断，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
练习1．（2022·四川·成都市树德实验中学八年级开学考试）如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方差的意义，即表示一组数据的离散程度，方差越小越稳定即可解决．
【详解】
解：0.72<0.76<0.85<0.88，乙的方差最小
故选B．
【点睛】
本题考查方差的意义，熟练掌握方差越小越稳定是解决本题的关键．
练习2．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于任意两个内角的和
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据的平均数都是3，S甲2＝0.8，S乙2＝1.4，则乙组数据较稳定
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用同旁内角的定义、平行线的性质、三角形的外角的性质，方差的意义分别分析得出答案．
【详解】
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，不合题意；
B、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和，故原命题是假命题，不合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S甲2＝0.8，S乙2＝1.4，0.8＜1.4，则甲组数据较稳定，故原命题是假命题，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质及方差，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质及方差的意义是解题的关键．
练习3．（2022·湖南邵阳·九年级期末）王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山，各栽种了100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了四棵杨梅树上的杨梅，每棵的产量如图所示，由统计图提供的信息可知，杨梅产量较稳定的是（ ）
A．甲山B．乙山C．一样D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均数的求法求出平均数，再求出两组数据的方差，再比较即可解答．
【详解】
解：根据题意得：甲山四颗杨梅产量的平均数为：
千克，
乙山四颗杨梅产量的平均数为：
千克，
∴ ，
，
∴ ，
∴乙山上的杨梅产量较稳定．
故选：B
【点睛】
本题考查了折线统计图、平均数与方差的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．
◎考点13：根据方差做决策
例．（2021·河南·模拟预测）选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：
如果选拔一名学生去参赛，应派（ ）去．A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【详解】
解：∵，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵，
∴选择乙参赛，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
练习1．（2021·山西运城·八年级期末）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】
解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根据平均数和方差做决策，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
练习2．（2022·湖南常德·九年级期末）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
由图表可知，乙、丙同学的平均分高于甲、丁，乙同学的成绩比丙同学的成绩稳定，所以选乙同学参加数学竞赛．
【详解】
解：由图表可知，乙、丙同学的平均分高于甲、丁，乙同学的成绩比丙同学的成绩稳定，所以选乙同学参加数学竞赛
故选B．
【点睛】
本题考查了利用方差进行决策．解题的关键在于明确方差在决策中的意义．
练习3．（2022·山东济南·八年级期末）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，可知丙组的成绩比较稳定，进而得出答案．
【详解】
解：∵乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小
∴丙组的成绩比较稳定
故选C．
【点睛】
本题考查了利用平均数与方差进行决策．解题的关键在于明确进行决策需要考虑的因素．
甲
乙
丙
丁
1.2
2
2
1.8
S2
1.7
1.8
2.1
1.9
甲
乙
丙
丁
平均数
80
85
85
80
方差
42
45
54
59
每户节水量(单位：吨)
1
1.2
1.5
节水户数
52
30
18
应试者
计算机
语言
商品知识
甲
60
70
80
乙
80
70
60
丙
70
80
60
项目
作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
测试项目
测试成绩
王军
李鹏
张乐
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
85
90
100
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩
（百分制）
听说成绩
86
92
90
83
笔试
89
83
83
92
成绩（分）
94
95
96
97
98
99
人数
1
3
6
5
3
2
成绩（分）
20
30
40
50
60
70
90
100
人数
2
3
5
x
6
y
3
4
月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
平均数
中位数
众数
方差
9.2
9.3
9.4
0.5
废旧电池数（节）
20
30
40
50
60
人数（人）
8
11
10
6
5
农贸市场
胜利市场
百姓量贩
茂名路市场
庆西市场
青菜平均价格（元/斤）
1.2
1.3
1.2
1.2
方差S2
7.5
4.0
1.5
3.1
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.8
9.8
9.8
9.8
方差
0.85
0.72
0.88
0.76
甲
乙
丙
丁

12″33
10″26
10″26
15″29
S2
1.1
1.1
1.3
1.6
甲
乙
丙
丁
平均数
7
8
8
7
方差
l
1.5
1
1.8
甲
乙
丙
丁
平均分
90
95
95
90
方差
50
42
50
42
甲
乙
丙
丁
6
7
7
6
s2
1
1.1
1
1.6