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备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点13 函数与方程11种常见考法归类（原卷版+解析）
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这是一份备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点13 函数与方程11种常见考法归类（原卷版+解析），共67页。试卷主要包含了求函数的零点，确定零点所在的区间，判断函数零点个数，已知函数零点求值，与零点相关的比较大小问题，求零点的和，嵌套函数的零点问题，函数零点的综合应用等内容，欢迎下载使用。
考点一 求函数的零点
考点二 确定零点所在的区间
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
（二）零点存在性定理法
（三）数形结合法
考点四 已知函数零点求值
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
考点七 与零点相关的比较大小问题
考点八 求零点的和
考点九 嵌套函数的零点问题
考点十 函数零点的综合应用
考点十一 用二分法求方程的近似解
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
注：
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点.
⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.
2. 理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1 图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.
图3 图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点.
3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
4. 函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．
8. 与函数零点有关的比较大小问题
与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定.
9. 嵌套函数的零点
（1）在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数.其中函数的零点问题是命题的热点求解时通常先“换元解套”将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。
（2）四个命题
命题1函数在上有个零点方程在上有个解方程组在上有组解函数的图像与轴在上有个交点(其中).
命题2函数在上有个零点方程在上有个解方程组中在上有个解(其中).
命题3若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根;所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
命题4若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根,所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
上述命题充分体现了四大数学思想,通过分类讨论和数形转换,不仅为图像法在解决函数零点问题中的运用提供理论保障,同时还为处理嵌套函数零点问题提供了求解方向,即研究内外层函数零点的情况。
（3）对于一般的“”的函数的零点问题,解答步骤是:(1)换元解套,令,则,从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数和的零点问题,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓住临界位置进行求解。
（4）常见类型题如下：
①求嵌套函数的零点个数
关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数
②求分段函数中参数的取值范围
③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围
10. 用二分法求方程的近似解
(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.
11. 数形结合思想的应用
数形结合思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
考点一 求函数的零点
1．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的零点是_________．
2．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（ ）
A．B．C．D．9
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则方程的根___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，的零点为______.
考点二 确定零点所在的区间
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：
可以判断方程的两根所在的区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
13．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在上有4个零点；
④的值域是.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①②④
（二）零点存在性定理法
15．（2023·四川德阳·统考一模）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．（2023秋·山东济南·高三校联考期末）已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表：
则函数在区间上的零点至少有
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．（2023·高三课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表：
由表可知，函数存在零点的区间至少有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（三）数形结合法
18．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
20．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
21．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，则在上的零点个数为________．
22．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
23．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
考点四 已知函数零点求值
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
25．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为，则（ ）．
A．B．1C．D．2
27．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．D．
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
28．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1B．2C．3D．4
29．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
30．（2023·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
31．（2023·全国·高三专题练习）设函数，.若在有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．[-1，+ ∞)B．[ ，+ ∞)C．[，+ ∞)D．[0，+ ∞)
32．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
33．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________.
34．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．
35．（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A．B．C．D．
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
40．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
41．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．
42．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
43．（2023·北京·高三专题练习）设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
45．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
46．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
47．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______．
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（ ）
A．B．C．D．1
49．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3）B．（2，4）C．D．
考点七 与零点相关的比较大小问题
50．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
51．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
53．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
54．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
55．【多选】（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
56．【多选】（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
考点八 求零点的和
57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
58．（2023·江西九江·统考二模）函数的所有零点之和为______．
59．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.
60．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
61．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）
A．－32B．32C．16D．8
62．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
63．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________
考点九 嵌套函数的零点问题
64．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
65．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
66．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
67．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．
68．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
69．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
考点十 函数零点的综合应用
70．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________.
71．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________．
72．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
考点十一 用二分法求方程的近似解
73．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
74．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
75．（2023·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
x
-1
0
1
2
3
-0.670
3.011
5.432
5.980
7.651
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6
1
2
3
4
5
0.37
2.72
0
x
1
2
3
4
136.136
15.552
10.88
x
5
6
7
11.238
考点13 函数与方程11种常见考法归类
考点一 求函数的零点
考点二 确定零点所在的区间
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
（二）零点存在性定理法
（三）数形结合法
考点四 已知函数零点求值
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
考点七 与零点相关的比较大小问题
考点八 求零点的和
考点九 嵌套函数的零点问题
考点十 函数零点的综合应用
考点十一 用二分法求方程的近似解
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
注：
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点.
⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.
2. 理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1 图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.
图3 图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点.
3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
4. 函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．
8. 与函数零点有关的比较大小问题
与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定.
9. 嵌套函数的零点
（1）在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数.其中函数的零点问题是命题的热点求解时通常先“换元解套”将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。
（2）四个命题
命题1函数在上有个零点方程在上有个解方程组在上有组解函数的图像与轴在上有个交点(其中).
命题2函数在上有个零点方程在上有个解方程组中在上有个解(其中).
命题3若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根;所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
命题4若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根,所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
上述命题充分体现了四大数学思想,通过分类讨论和数形转换,不仅为图像法在解决函数零点问题中的运用提供理论保障,同时还为处理嵌套函数零点问题提供了求解方向,即研究内外层函数零点的情况。
（3）对于一般的“”的函数的零点问题,解答步骤是:(1)换元解套,令,则,从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数和的零点问题,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓住临界位置进行求解。
（4）常见类型题如下：
①求嵌套函数的零点个数
关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数
②求分段函数中参数的取值范围
③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围
10. 用二分法求方程的近似解
(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.
11. 数形结合思想的应用
数形结合思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
考点一 求函数的零点
1．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的零点是_________．
【答案】1和3
【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令即可求解
【详解】依题意，令，解得：或，
故答案为：1和3.
2．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（ ）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】分和分别解方程，由零点定义可得出答案.
【详解】当时，，解得
当时，，解得
所以函数的零点为：
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则方程的根___________.
【答案】或2/2或-1
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可.
【详解】当时，，所以，
令，得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，有唯一根，
当时，，
令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，
综上，根为或2.
故答案为：或2.
4．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，的零点为______.
【答案】/
【分析】只用求方程的零点，讨论左右两个函数的最值即可求解.
【详解】由得，
因为，所以，
当且仅当，即，取等号，
令，，
令解得；令解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以要使，只能，，
所以零点为，
故答案为:.
考点二 确定零点所在的区间
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解.
【详解】依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，
在为单调递减函数，
因为，所以，即
所以，
，
所以，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点.
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.
【详解】由于均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简函数，再令y=0求解判断.
【详解】解：，
，
，
令，得，，
，，
在上的零点为
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由零点存在定理判断．
【详解】设，易知在定义域内是增函数，
又，，
所以的零点在上，即题中方程的根属于．
故选：B．
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
【答案】B
【分析】令，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】令，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
∴f (x)的零点在区间(1，2)内，
即函数与的图象交点的横坐标．
故选：B
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先构造函数，然后根据图表利用函数的零点判定定理即可
【详解】令
可得：，
由题意得连续，根据函数的零点判定定理可知：在上有零点
故在上有解
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：
可以判断方程的两根所在的区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】结合表格与零点存在性定理判断出二次函数的零点所在区间，进而可以求出结果.
【详解】由表格可知：，
所以，
结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，
故选：A.
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
13．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数.
【详解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在上有4个零点；
④的值域是.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①②④
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义即可判断①，根据正弦函数以及二次函数的单调性，结合复合函数单调性的判断即可求解②，根据二次方程以及正弦函数的性质即可求解③，结合函数的单调性以及奇偶性即可判断④.
【详解】对于①，，故是偶函数，故①正确，
对于②，当时，，
令，，则，因为在上单调递增，而函数在单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确；
对于③, 当时，由，即或，得，或，或，由①知是偶函数，故当时，得，或，或，，所以在有6个零点，③错误；
对于④，当时， ，
因为，所以当时，，当时，，此时 ，又是偶函数，故值域为，④错误；
故选：A
（二）零点存在性定理法
15．（2023·四川德阳·统考一模）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.
【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，
得，由得，
所以，故函数在之间至少存在一个零点，
由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，
所以函数在之间至少存在3个零点.
故选：C
16．（2023秋·山东济南·高三校联考期末）已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表：
则函数在区间上的零点至少有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】函数的图象在上是连续不断的，且，函数在上至少有一个零点，根据表格函数值判断即可.
【详解】根据表格中的数据，结合零点存在性定理，
可以发现，
所以函数在区间和区间上至少有一个零点，以及4是函数的一个零点，
所以函数在区间上的零点至少有3个，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有函数零点存在性定理，属于简单题目.
17．（2023·高三课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表：
由表可知，函数存在零点的区间至少有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】根据零点存在定理直接得到答案
【详解】∵，，，
存在零点的区间至少有4个.
故选：
【点睛】本题考查了零点存在定理，属于简单题.
（三）数形结合法
18．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，分析可知函数的零点个数即为函数与的图象的交点个数，数形结合可得出结果.
【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象的交点个数为，
故函数的零点个数为.
故选：C.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】令得，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出，的大致图象，由图象可知，函数与的图象有3个交点，即可得出答案．
【详解】解：令得，
在同一直角坐标系中作出（图中细实线所示），（图中粗实线所示）的大致图象如下：
由图象可知，函数与的图象有3个交点，
即函数有3个零点，
故选：C.
20．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
【答案】1
【分析】在同一坐标系中作出与的图象，由图即可得出答案.
【详解】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象，
易知零点个数为1.
故答案为：1.
21．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，则在上的零点个数为________．
【答案】2
【分析】根据题意分析可得原题意等价于求与在上的交点个数，结合余弦函数分析运算.
【详解】令，可得，
原题意等价于求与在上的交点个数，
∵，则，
且，
有余弦函数可知与在上有2个交点
所以与在上有2个交点.
故答案为：2.
22．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
【答案】6
【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解.
【详解】，的周期，
如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6.
故答案为：6.
23．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】C
【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数．
【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数，
因为函数的定义域为，
所以当时，函数与的图象没有交点，
当时，，
所以当时，．
又函数的周期为2，所以．
当时，，
所以当时，函数与的图象没有交点，
作函数和函数在区间上的图象，
观察图象可得两函数图象有5个交点,
所以函数的零点个数为5.
故选：C.
考点四 已知函数零点求值
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.
【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，
而函数是奇函数，则有，
所以.
故选：D
25．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得.
【详解】因为是函数的一个零点，
所以，即，故，
则．
故选：D．
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为，则（ ）．
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t值即可.
【详解】由题设，由得：，
若，可得，
若，可得，
综上，，故.
故选：B
27．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可得，则，，依题意可得：，然后结合根的对称性分析得答案．
【详解】是函数的一个零点，
，
，则，，
，．
由，，得①，由，得，即②，
由①②得：．
函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，则．
零点到对称轴的距离，，
另一零点为，，，
因为，所以，
故，
，
综合四个选项，实数的值可能是和．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解二次函数根的对称分布性.
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
28．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【分析】由题意设，则在上， 与有相同的零点，即讨论在区间内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.
【详解】，设
则在上， 与有相同的零点.
故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点
当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增.
所以，显然在区间内没有零点.
当时, 令，得，令，得
所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增.
所以
设，则
所以在上单调递减,且
所以存在，使得
要使得在区间内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的的范围是
由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
29．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】因为在单调递增，且有零点，
所以，解得，
故答案为：
30．（2023·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
31．（2023·全国·高三专题练习）设函数，.若在有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．[-1，+ ∞)B．[ ，+ ∞)C．[，+ ∞)D．[0，+ ∞)
【答案】C
【分析】令，函数换元为，在有零点可以转化为在上有解，即，该问题又转化为函数图象交点的问题，利用函数单调性求出最小值即可解决.
【详解】由已知得
，，则，
则，
设，当时，函数为增函数，则，
若在有零点，即在上有解，即，即，
由于函数在上单调递增，
则，即，故，
则实数的取值范围是.
故选： .
32．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内，
得，
解得,
故选：BC
33．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可.
【详解】设为在上的一个零点，则，
所以在直线上，
又为坐标原点，
易知.
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键.
34．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．
【答案】2
【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.
【详解】因为函数为R上单调减函数，
故函数为R上单调减函数，
又，，
故在上有唯一零点，
结合题意可知，
故答案为：2
35．（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数定义求出，确定函数的单调性，然后由的零点是0得出结论．
【详解】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数，
∴有唯一零点0，
函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点，解题关键是等价转化，把函数零点转化为方程在某个区间上有解，从而再转化为求函数值域．
36．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数判断的单调性，求出其零点的值，根据求出的范围.令g(x)=0，参变分离，将问题转化为方程有解问题即可求解．
【详解】，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
为方程的根，即﹒
故，即为，解得﹒
是函数的零点，
方程在上有解﹒
即在上有解﹒
，
在上有解﹒
令，
则，
设，
则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒
又，
﹒
﹒故实数a的最小值是﹒
故选：A﹒
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化为与有交点，再根据值域求解即可.
【详解】，
，
函数有零点，
与有交点，
，
即，
故选：C
38．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据函数的最值即可求解.
【详解】依题意，
因为函数有且只有1个零点，
所以有且仅有一个解，
即有且仅有一个解，
转化为与有且仅有一个交点，
当时，与没有交点，所以；
当时，因为，所以，
当时，有最小值1，有最小值，
此时与没有交点，
由于与都是偶函数，
若在除去之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，
所以不符合题意；
当时，因为，所以，
又因为，
所以当且仅当时，此时有唯一的交点.
故选：B.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【分析】使用参数分离的方法，将原方程转变为直线 与曲线相交，并且只有唯一交点.
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时，，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
故答案为：.
40．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
【答案】B
【分析】令，可得是偶函数，利用偶函数的性质可得，从而可得，再由零点个数求出即可求解.
【详解】，令，
则有是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即，从而.
当时，有3个零点，舍去.
故，此时，则，故.
故选：B
41．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义上的零点，进而得出结果．
【详解】因为，所以
当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意；
当时，由，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
又因为，，
所以，存在一个正数零点，所以不符合题意；
当时，令，解得或，且有，
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
又因为，，
所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点，
则满足，解得或，又因为，所以，
综上，的取值范围是．
故答案为：.
42．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数有2个零点，求参数的取值范围，再判断充分，必要条件.
【详解】若有两个不同的零点，则，解得或，所以“”是“有两个不同的零点”的充分不必要条件.
故选：A
43．（2023·北京·高三专题练习）设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以，
令，可得
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；.
44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解.
【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，
数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
45．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可转化为有且仅有两个不同的零点，，对求导，结合的单调性可知，由此可知另一根为，由的范围可求出的范围，即可求出的取值范围.
【详解】函数有且仅有两个不同的零点，，
因为，令，即有且仅有两个不同的零点，，
得或，
若，令，可得或；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
同理若，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
要使有且仅有两个不同的零点，，则，
而，则，因为，
则，则，
则有一根是确定的为，又因为，
所以的另一根为，
所以，因为，，
.
故选：B.
46．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 1
【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点；
第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围.
【详解】第一空：当时，可知有一个零点；
当时，有一个零点；
当时，可知有一个零点；
综上函数的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
当时，不符题意；
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
综上m的取值范围是：
故答案为：1；
47．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______．
【答案】
【分析】由题意得，，找到的必过点，作出和的图像，根据数形结合，计算求解即可.
【详解】
，，画出的图像，
化简，，故的必过点，
恰有三个不同的零点，即为有三个不同的实根，作出和的图像，
直线与曲线相切时，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），
当与曲线相切时，两图像恰有三个交点，令，此时，解得，
结合图像可得，或
故答案为：
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BC
【分析】通过分类讨论去绝对值，得出，，与，再根据根的数量确定的取值范围，即可对选项一一验证.
【详解】当时，即，解得，
当时，即，解得，
则当时，，
此时方程，
即，
即，
此时若则，
此时若则，
当时，，
此时方程，
即，
即，
其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，
原方程有四个不同的实数根，
方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，
对于方程有两个不同的实数根，可以等价为：
解得，
对于选项A：取不到，
故选项A错误；
对于选项B：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意，
故选项B正确；
对于选项C：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意，
故选项C正确；
对于选项D：取不到1，
故选项D错误；
综上所述，选项BC正确，
故选：BC.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3）B．（2，4）C．D．
【答案】C
【分析】x∈，数形结合确定的范围使得图像和恰好有四个交点.
【详解】，
在区间上恰有4个零点，等价与图象恰好有4个交点，因为x∈，所以，
如图所示，
则应该满足，解得.
故选：C.
考点七 与零点相关的比较大小问题
50．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系.
【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.
故选：B.
51．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
53．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A．
考点：函数的零点
54．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
55．【多选】（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】作出作出和的图像，利用数形结合法判断：
对于AD：利用对称性即可判断；对于B:直接利用图像判断；对于C：由，利用二次函数求解.
【详解】如图示，作出和的图像.
当时，.
因为存在使得，所以.
由图示可知关于对称，所以，所以.故A正确；
令，即，解得： 或.
所以由图示可知：.故B正确.
因为当时，，所以，，所以时，有，即的图像关于对称，所以关于对称，所以，所以，即，所以.
因为，所以.故C错误；
因为关于对称，所以，所以.
又因为，所以.故D正确.
故选：ABD
56．【多选】（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：根据导数得出其单调性，则根据零点的定义结合图像得出时，才有三个零点；
对于选项B：根据解析式得出当时，，即可结合已知得出根据单调性得出答案；
对于选项C：令，，根据导数得出其单调性与最值，即可得出，即可结合已知得出，即可根据单调性得出答案；
对于选项D：根据已知得出，代入解析式转化得出，令，，，即可根据导数求出其最值，即可得出答案.
【详解】，
令，则；令，则且；
的增区间为：，减区间为：与，
对于A选项：且有三个零点，，即A选项正确；
对于B选项：当时，，即，
，
，
在上单调递减，
，即，即B选项错误；
对于C选项：令，.
，
在上递减，即.
，
，
.
，
，
又在上单调递增，
，即，即C选项正确；
对于D选项：，
，即，
，
，
，
令，，则，
令，则，
令，解得，令，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
则在上的最小值为，
故，故D选项正确.
故选：ACD.
考点八 求零点的和
57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令求解即可.
【详解】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
58．（2023·江西九江·统考二模）函数的所有零点之和为______．
【答案】6
【分析】令，两个解即为零点，将零点问题转换成，两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且和的函数图象关于对称，零点也关于，即可求出所有零点之和.
【详解】解：令，得，解得或，即为零点，
令，，
可知的周期，对称轴，
且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
在处的切线为x轴，在上存在零点，
同理在上存在零点，所以在上存在6个零点，
因为和的函数图象关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.
故答案为：6.
59．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.
【答案】4044
【分析】根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由时函数的解析式可作出函数的图象，原问题可转化为与交点横坐标问题，由对称性求和即可.
【详解】由是定义在R上的奇函数，所以，又，
所以，则的周期是2，
且得是其中一条对称轴，
又时，于是图象如图所示，
又函数零点，即为与的交点的横坐标，
由图知：交点关于对称，每个周期都有2个交点，
所以、各有个周期，故各有个交点，它们两两关于对称，
所以零点之和为.
故答案为：
60．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
【答案】18
【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】∵满足，则关于直线对称，
又∵是定义在上的奇函数，则，
即，则，
∴是以4为周期的周期函数，
对，可得，则，
∴关于点对称，
令，则，
可知：与均关于点对称，如图所示：
设与的交点横坐标依次为，
则，
故函数的所有零点之和为.
故答案为：18.
61．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）
A．－32B．32C．16D．8
【答案】D
【分析】由已知可分析出函数是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故在上所有的零点的和为0,则函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和,求出上所有零点,可得答案.
【详解】函数是定义在R上的奇函数,
.
又函数,
函数是偶函数,
函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.
函数在上所有的零点的和为,
函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和.
即方程在上的所有实数解之和.
由时,,故有
函数在上的值域为,当且仅当时,.
又当时,,如图：
函数在上的值域为；
函数在上的值域为；
函数在上的值域为,当且仅当时,,
即方程在上的又一个实数解.即有一个零点；
函数在上的值域为,当且仅当时,,
故在上恒成立,在上无零点,
同理在上无零点,
依此类推,函数在无零点.
综上函数在上的所有零点之和为8,
故选：D.
【点睛】分段函数的零点方法点睛：
可以分段考查函数的零点情况，利用直观想象，借助数形结合，通过图象的变化规律来分析与处理，合理归纳.
62．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用辅助角公式化简得到分段函数形式，根据对数函数、正弦型函数性质画出图象，数形结合确定的范围或对称性，进而求的范围.
【详解】，
所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，
不妨设，由图知：，且，即，
令，可得或，令，可得或，
所以，而在上递减，故，
综上，.
故选：A
63．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________
【答案】2
【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得.
【详解】因为函数的两个零点为，，
则，即，
又，
则，即，
所以.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得.
考点九 嵌套函数的零点问题
64．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解.
【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，
则或，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，易知方程无解，
若，当时，由，得或（舍去），
此时方程有唯一的解；
当时，由，得，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数的零点个数为个，
故选：A.
65．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可先做出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.
【详解】当时，．由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是．
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有，，，，这几种情况,也是解题关键.
66．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】设，令可得：,
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，
切线斜率，则切线方程为：，
即，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，由图象可知：，
作出函数的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C
【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
67．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．
【答案】7
【分析】作出函数的图像，然后分解因式得到或，数形结合分析零点个数
【详解】函数的零点即为方程的根，解方程得或．
作出函数的图像，如图所示．
由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点．
因此函数的零点有7个．
故答案为：7
68．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当，时，此时，则；
②当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C.
69．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
【答案】BC
【分析】由可得或，作函数的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察图象确定的关系，由此判断C，
【详解】的大致图像如图所示，令，即，即或．若有4个零点，则实数t的取值范围为或或，故A项错误；由图可知，当时，有5个零点，故B项正确；当有6个零点时，则，所以，即有，故C项正确；当时，有4个零点，故D项错误，
故选：BC．
考点十 函数零点的综合应用
70．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________.
【答案】4
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合函数单调性和零点存在原理进行求解即可.
【详解】由，即，
即，
令，则，
即，即.
由，得，
设函数，显然该函数增函数，
又，
所以函数在上有唯一的零点，
因此，即，
所以.
故答案为：4.
71．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________．
【答案】 4 4
【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系即可求出；由不等式的解集求出，再验证即可求出极大值作答.
【详解】因三次函数有一个极大值点，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于，
又恰有两个零点，，且，因此也是的极小值点，
求导得：，即，是方程的二根，有，即，
显然，则，
整理得，两边平方得：，因成等比数列，即，
于是得，即，而，有，所以；
显然有，，，
因的解集为，则5是方程的根，
即有，整理得：，解得或，
当时，，，不等式，
解得，符合题意，函数的极大值为，
当时，，，不等式，
解得，不符合题意，舍去，所以函数的极大值为.
故答案为：4；4
【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
72．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
【答案】
【分析】根据函数的无零点可得，结合题意易知，再应用正态分布的三段区间概率及对称性求.
【详解】函数没有零点，
二次方程无实根，即，可得，
又没有零点的概率是，
，由正态曲线的对称性知：，
，即，
，
，，
，
故答案为:．
考点十一 用二分法求方程的近似解
73．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
74．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
75．（2023·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【答案】C
【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果.
【详解】根据二分法，结合表中数据，
由于
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
x
-1
0
1
2
3
-0.670
3.011
5.432
5.980
7.651
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6
1
2
3
4
5
0.37
2.72
0
x
1
2
3
4
136.136
15.552
10.88
x
5
6
7
11.238
考点一 求函数的零点
考点二 确定零点所在的区间
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
（二）零点存在性定理法
（三）数形结合法
考点四 已知函数零点求值
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
考点七 与零点相关的比较大小问题
考点八 求零点的和
考点九 嵌套函数的零点问题
考点十 函数零点的综合应用
考点十一 用二分法求方程的近似解
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
注：
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点.
⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.
2. 理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1 图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.
图3 图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点.
3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
4. 函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．
8. 与函数零点有关的比较大小问题
与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定.
9. 嵌套函数的零点
（1）在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数.其中函数的零点问题是命题的热点求解时通常先“换元解套”将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。
（2）四个命题
命题1函数在上有个零点方程在上有个解方程组在上有组解函数的图像与轴在上有个交点(其中).
命题2函数在上有个零点方程在上有个解方程组中在上有个解(其中).
命题3若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根;所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
命题4若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根,所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
上述命题充分体现了四大数学思想,通过分类讨论和数形转换,不仅为图像法在解决函数零点问题中的运用提供理论保障,同时还为处理嵌套函数零点问题提供了求解方向,即研究内外层函数零点的情况。
（3）对于一般的“”的函数的零点问题,解答步骤是:(1)换元解套,令,则,从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数和的零点问题,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓住临界位置进行求解。
（4）常见类型题如下：
①求嵌套函数的零点个数
关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数
②求分段函数中参数的取值范围
③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围
10. 用二分法求方程的近似解
(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.
11. 数形结合思想的应用
数形结合思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
考点一 求函数的零点
1．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的零点是_________．
2．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（ ）
A．B．C．D．9
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则方程的根___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，的零点为______.
考点二 确定零点所在的区间
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：
可以判断方程的两根所在的区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
13．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在上有4个零点；
④的值域是.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①②④
（二）零点存在性定理法
15．（2023·四川德阳·统考一模）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．（2023秋·山东济南·高三校联考期末）已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表：
则函数在区间上的零点至少有
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．（2023·高三课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表：
由表可知，函数存在零点的区间至少有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（三）数形结合法
18．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
20．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
21．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，则在上的零点个数为________．
22．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
23．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
考点四 已知函数零点求值
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
25．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为，则（ ）．
A．B．1C．D．2
27．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．D．
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
28．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1B．2C．3D．4
29．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
30．（2023·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
31．（2023·全国·高三专题练习）设函数，.若在有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．[-1，+ ∞)B．[ ，+ ∞)C．[，+ ∞)D．[0，+ ∞)
32．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
33．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________.
34．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．
35．（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A．B．C．D．
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
40．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
41．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．
42．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
43．（2023·北京·高三专题练习）设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
45．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
46．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
47．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______．
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（ ）
A．B．C．D．1
49．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3）B．（2，4）C．D．
考点七 与零点相关的比较大小问题
50．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
51．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
53．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
54．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
55．【多选】（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
56．【多选】（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
考点八 求零点的和
57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
58．（2023·江西九江·统考二模）函数的所有零点之和为______．
59．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.
60．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
61．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）
A．－32B．32C．16D．8
62．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
63．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________
考点九 嵌套函数的零点问题
64．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
65．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
66．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
67．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．
68．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
69．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
考点十 函数零点的综合应用
70．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________.
71．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________．
72．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
考点十一 用二分法求方程的近似解
73．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
74．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
75．（2023·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
x
-1
0
1
2
3
-0.670
3.011
5.432
5.980
7.651
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6
1
2
3
4
5
0.37
2.72
0
x
1
2
3
4
136.136
15.552
10.88
x
5
6
7
11.238
考点13 函数与方程11种常见考法归类
考点一 求函数的零点
考点二 确定零点所在的区间
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
（二）零点存在性定理法
（三）数形结合法
考点四 已知函数零点求值
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
考点七 与零点相关的比较大小问题
考点八 求零点的和
考点九 嵌套函数的零点问题
考点十 函数零点的综合应用
考点十一 用二分法求方程的近似解
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
注：
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点.
⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.
2. 理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1 图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.
图3 图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点.
3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
4. 函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．
8. 与函数零点有关的比较大小问题
与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定.
9. 嵌套函数的零点
（1）在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数.其中函数的零点问题是命题的热点求解时通常先“换元解套”将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。
（2）四个命题
命题1函数在上有个零点方程在上有个解方程组在上有组解函数的图像与轴在上有个交点(其中).
命题2函数在上有个零点方程在上有个解方程组中在上有个解(其中).
命题3若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根;所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
命题4若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根,所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
上述命题充分体现了四大数学思想,通过分类讨论和数形转换,不仅为图像法在解决函数零点问题中的运用提供理论保障,同时还为处理嵌套函数零点问题提供了求解方向,即研究内外层函数零点的情况。
（3）对于一般的“”的函数的零点问题,解答步骤是:(1)换元解套,令,则,从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数和的零点问题,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓住临界位置进行求解。
（4）常见类型题如下：
①求嵌套函数的零点个数
关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数
②求分段函数中参数的取值范围
③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围
10. 用二分法求方程的近似解
(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.
11. 数形结合思想的应用
数形结合思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
考点一 求函数的零点
1．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的零点是_________．
【答案】1和3
【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令即可求解
【详解】依题意，令，解得：或，
故答案为：1和3.
2．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（ ）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】分和分别解方程，由零点定义可得出答案.
【详解】当时，，解得
当时，，解得
所以函数的零点为：
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则方程的根___________.
【答案】或2/2或-1
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可.
【详解】当时，，所以，
令，得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，有唯一根，
当时，，
令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，
综上，根为或2.
故答案为：或2.
4．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，的零点为______.
【答案】/
【分析】只用求方程的零点，讨论左右两个函数的最值即可求解.
【详解】由得，
因为，所以，
当且仅当，即，取等号，
令，，
令解得；令解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以要使，只能，，
所以零点为，
故答案为:.
考点二 确定零点所在的区间
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解.
【详解】依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，
在为单调递减函数，
因为，所以，即
所以，
，
所以，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点.
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.
【详解】由于均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简函数，再令y=0求解判断.
【详解】解：，
，
，
令，得，，
，，
在上的零点为
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由零点存在定理判断．
【详解】设，易知在定义域内是增函数，
又，，
所以的零点在上，即题中方程的根属于．
故选：B．
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
【答案】B
【分析】令，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】令，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
∴f (x)的零点在区间(1，2)内，
即函数与的图象交点的横坐标．
故选：B
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先构造函数，然后根据图表利用函数的零点判定定理即可
【详解】令
可得：，
由题意得连续，根据函数的零点判定定理可知：在上有零点
故在上有解
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：
可以判断方程的两根所在的区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】结合表格与零点存在性定理判断出二次函数的零点所在区间，进而可以求出结果.
【详解】由表格可知：，
所以，
结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，
故选：A.
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
13．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数.
【详解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在上有4个零点；
④的值域是.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①②④
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义即可判断①，根据正弦函数以及二次函数的单调性，结合复合函数单调性的判断即可求解②，根据二次方程以及正弦函数的性质即可求解③，结合函数的单调性以及奇偶性即可判断④.
【详解】对于①，，故是偶函数，故①正确，
对于②，当时，，
令，，则，因为在上单调递增，而函数在单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确；
对于③, 当时，由，即或，得，或，或，由①知是偶函数，故当时，得，或，或，，所以在有6个零点，③错误；
对于④，当时， ，
因为，所以当时，，当时，，此时 ，又是偶函数，故值域为，④错误；
故选：A
（二）零点存在性定理法
15．（2023·四川德阳·统考一模）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.
【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，
得，由得，
所以，故函数在之间至少存在一个零点，
由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，
所以函数在之间至少存在3个零点.
故选：C
16．（2023秋·山东济南·高三校联考期末）已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表：
则函数在区间上的零点至少有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】函数的图象在上是连续不断的，且，函数在上至少有一个零点，根据表格函数值判断即可.
【详解】根据表格中的数据，结合零点存在性定理，
可以发现，
所以函数在区间和区间上至少有一个零点，以及4是函数的一个零点，
所以函数在区间上的零点至少有3个，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有函数零点存在性定理，属于简单题目.
17．（2023·高三课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表：
由表可知，函数存在零点的区间至少有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】根据零点存在定理直接得到答案
【详解】∵，，，
存在零点的区间至少有4个.
故选：
【点睛】本题考查了零点存在定理，属于简单题.
（三）数形结合法
18．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，分析可知函数的零点个数即为函数与的图象的交点个数，数形结合可得出结果.
【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象的交点个数为，
故函数的零点个数为.
故选：C.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】令得，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出，的大致图象，由图象可知，函数与的图象有3个交点，即可得出答案．
【详解】解：令得，
在同一直角坐标系中作出（图中细实线所示），（图中粗实线所示）的大致图象如下：
由图象可知，函数与的图象有3个交点，
即函数有3个零点，
故选：C.
20．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
【答案】1
【分析】在同一坐标系中作出与的图象，由图即可得出答案.
【详解】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象，
易知零点个数为1.
故答案为：1.
21．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，则在上的零点个数为________．
【答案】2
【分析】根据题意分析可得原题意等价于求与在上的交点个数，结合余弦函数分析运算.
【详解】令，可得，
原题意等价于求与在上的交点个数，
∵，则，
且，
有余弦函数可知与在上有2个交点
所以与在上有2个交点.
故答案为：2.
22．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
【答案】6
【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解.
【详解】，的周期，
如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6.
故答案为：6.
23．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】C
【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数．
【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数，
因为函数的定义域为，
所以当时，函数与的图象没有交点，
当时，，
所以当时，．
又函数的周期为2，所以．
当时，，
所以当时，函数与的图象没有交点，
作函数和函数在区间上的图象，
观察图象可得两函数图象有5个交点,
所以函数的零点个数为5.
故选：C.
考点四 已知函数零点求值
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.
【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，
而函数是奇函数，则有，
所以.
故选：D
25．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得.
【详解】因为是函数的一个零点，
所以，即，故，
则．
故选：D．
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为，则（ ）．
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t值即可.
【详解】由题设，由得：，
若，可得，
若，可得，
综上，，故.
故选：B
27．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可得，则，，依题意可得：，然后结合根的对称性分析得答案．
【详解】是函数的一个零点，
，
，则，，
，．
由，，得①，由，得，即②，
由①②得：．
函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，则．
零点到对称轴的距离，，
另一零点为，，，
因为，所以，
故，
，
综合四个选项，实数的值可能是和．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解二次函数根的对称分布性.
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
28．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【分析】由题意设，则在上， 与有相同的零点，即讨论在区间内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.
【详解】，设
则在上， 与有相同的零点.
故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点
当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增.
所以，显然在区间内没有零点.
当时, 令，得，令，得
所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增.
所以
设，则
所以在上单调递减,且
所以存在，使得
要使得在区间内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的的范围是
由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
29．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】因为在单调递增，且有零点，
所以，解得，
故答案为：
30．（2023·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
31．（2023·全国·高三专题练习）设函数，.若在有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．[-1，+ ∞)B．[ ，+ ∞)C．[，+ ∞)D．[0，+ ∞)
【答案】C
【分析】令，函数换元为，在有零点可以转化为在上有解，即，该问题又转化为函数图象交点的问题，利用函数单调性求出最小值即可解决.
【详解】由已知得
，，则，
则，
设，当时，函数为增函数，则，
若在有零点，即在上有解，即，即，
由于函数在上单调递增，
则，即，故，
则实数的取值范围是.
故选： .
32．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内，
得，
解得,
故选：BC
33．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可.
【详解】设为在上的一个零点，则，
所以在直线上，
又为坐标原点，
易知.
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键.
34．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．
【答案】2
【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.
【详解】因为函数为R上单调减函数，
故函数为R上单调减函数，
又，，
故在上有唯一零点，
结合题意可知，
故答案为：2
35．（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数定义求出，确定函数的单调性，然后由的零点是0得出结论．
【详解】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数，
∴有唯一零点0，
函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点，解题关键是等价转化，把函数零点转化为方程在某个区间上有解，从而再转化为求函数值域．
36．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数判断的单调性，求出其零点的值，根据求出的范围.令g(x)=0，参变分离，将问题转化为方程有解问题即可求解．
【详解】，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
为方程的根，即﹒
故，即为，解得﹒
是函数的零点，
方程在上有解﹒
即在上有解﹒
，
在上有解﹒
令，
则，
设，
则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒
又，
﹒
﹒故实数a的最小值是﹒
故选：A﹒
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化为与有交点，再根据值域求解即可.
【详解】，
，
函数有零点，
与有交点，
，
即，
故选：C
38．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据函数的最值即可求解.
【详解】依题意，
因为函数有且只有1个零点，
所以有且仅有一个解，
即有且仅有一个解，
转化为与有且仅有一个交点，
当时，与没有交点，所以；
当时，因为，所以，
当时，有最小值1，有最小值，
此时与没有交点，
由于与都是偶函数，
若在除去之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，
所以不符合题意；
当时，因为，所以，
又因为，
所以当且仅当时，此时有唯一的交点.
故选：B.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【分析】使用参数分离的方法，将原方程转变为直线 与曲线相交，并且只有唯一交点.
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时，，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
故答案为：.
40．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
【答案】B
【分析】令，可得是偶函数，利用偶函数的性质可得，从而可得，再由零点个数求出即可求解.
【详解】，令，
则有是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即，从而.
当时，有3个零点，舍去.
故，此时，则，故.
故选：B
41．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义上的零点，进而得出结果．
【详解】因为，所以
当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意；
当时，由，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
又因为，，
所以，存在一个正数零点，所以不符合题意；
当时，令，解得或，且有，
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
又因为，，
所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点，
则满足，解得或，又因为，所以，
综上，的取值范围是．
故答案为：.
42．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数有2个零点，求参数的取值范围，再判断充分，必要条件.
【详解】若有两个不同的零点，则，解得或，所以“”是“有两个不同的零点”的充分不必要条件.
故选：A
43．（2023·北京·高三专题练习）设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以，
令，可得
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；.
44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解.
【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，
数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
45．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可转化为有且仅有两个不同的零点，，对求导，结合的单调性可知，由此可知另一根为，由的范围可求出的范围，即可求出的取值范围.
【详解】函数有且仅有两个不同的零点，，
因为，令，即有且仅有两个不同的零点，，
得或，
若，令，可得或；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
同理若，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
要使有且仅有两个不同的零点，，则，
而，则，因为，
则，则，
则有一根是确定的为，又因为，
所以的另一根为，
所以，因为，，
.
故选：B.
46．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 1
【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点；
第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围.
【详解】第一空：当时，可知有一个零点；
当时，有一个零点；
当时，可知有一个零点；
综上函数的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
当时，不符题意；
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
综上m的取值范围是：
故答案为：1；
47．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______．
【答案】
【分析】由题意得，，找到的必过点，作出和的图像，根据数形结合，计算求解即可.
【详解】
，，画出的图像，
化简，，故的必过点，
恰有三个不同的零点，即为有三个不同的实根，作出和的图像，
直线与曲线相切时，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），
当与曲线相切时，两图像恰有三个交点，令，此时，解得，
结合图像可得，或
故答案为：
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BC
【分析】通过分类讨论去绝对值，得出，，与，再根据根的数量确定的取值范围，即可对选项一一验证.
【详解】当时，即，解得，
当时，即，解得，
则当时，，
此时方程，
即，
即，
此时若则，
此时若则，
当时，，
此时方程，
即，
即，
其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，
原方程有四个不同的实数根，
方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，
对于方程有两个不同的实数根，可以等价为：
解得，
对于选项A：取不到，
故选项A错误；
对于选项B：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意，
故选项B正确；
对于选项C：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意，
故选项C正确；
对于选项D：取不到1，
故选项D错误；
综上所述，选项BC正确，
故选：BC.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3）B．（2，4）C．D．
【答案】C
【分析】x∈，数形结合确定的范围使得图像和恰好有四个交点.
【详解】，
在区间上恰有4个零点，等价与图象恰好有4个交点，因为x∈，所以，
如图所示，
则应该满足，解得.
故选：C.
考点七 与零点相关的比较大小问题
50．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系.
【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.
故选：B.
51．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
53．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A．
考点：函数的零点
54．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
55．【多选】（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】作出作出和的图像，利用数形结合法判断：
对于AD：利用对称性即可判断；对于B:直接利用图像判断；对于C：由，利用二次函数求解.
【详解】如图示，作出和的图像.
当时，.
因为存在使得，所以.
由图示可知关于对称，所以，所以.故A正确；
令，即，解得： 或.
所以由图示可知：.故B正确.
因为当时，，所以，，所以时，有，即的图像关于对称，所以关于对称，所以，所以，即，所以.
因为，所以.故C错误；
因为关于对称，所以，所以.
又因为，所以.故D正确.
故选：ABD
56．【多选】（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：根据导数得出其单调性，则根据零点的定义结合图像得出时，才有三个零点；
对于选项B：根据解析式得出当时，，即可结合已知得出根据单调性得出答案；
对于选项C：令，，根据导数得出其单调性与最值，即可得出，即可结合已知得出，即可根据单调性得出答案；
对于选项D：根据已知得出，代入解析式转化得出，令，，，即可根据导数求出其最值，即可得出答案.
【详解】，
令，则；令，则且；
的增区间为：，减区间为：与，
对于A选项：且有三个零点，，即A选项正确；
对于B选项：当时，，即，
，
，
在上单调递减，
，即，即B选项错误；
对于C选项：令，.
，
在上递减，即.
，
，
.
，
，
又在上单调递增，
，即，即C选项正确；
对于D选项：，
，即，
，
，
，
令，，则，
令，则，
令，解得，令，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
则在上的最小值为，
故，故D选项正确.
故选：ACD.
考点八 求零点的和
57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令求解即可.
【详解】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
58．（2023·江西九江·统考二模）函数的所有零点之和为______．
【答案】6
【分析】令，两个解即为零点，将零点问题转换成，两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且和的函数图象关于对称，零点也关于，即可求出所有零点之和.
【详解】解：令，得，解得或，即为零点，
令，，
可知的周期，对称轴，
且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
在处的切线为x轴，在上存在零点，
同理在上存在零点，所以在上存在6个零点，
因为和的函数图象关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.
故答案为：6.
59．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.
【答案】4044
【分析】根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由时函数的解析式可作出函数的图象，原问题可转化为与交点横坐标问题，由对称性求和即可.
【详解】由是定义在R上的奇函数，所以，又，
所以，则的周期是2，
且得是其中一条对称轴，
又时，于是图象如图所示，
又函数零点，即为与的交点的横坐标，
由图知：交点关于对称，每个周期都有2个交点，
所以、各有个周期，故各有个交点，它们两两关于对称，
所以零点之和为.
故答案为：
60．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
【答案】18
【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】∵满足，则关于直线对称，
又∵是定义在上的奇函数，则，
即，则，
∴是以4为周期的周期函数，
对，可得，则，
∴关于点对称，
令，则，
可知：与均关于点对称，如图所示：
设与的交点横坐标依次为，
则，
故函数的所有零点之和为.
故答案为：18.
61．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）
A．－32B．32C．16D．8
【答案】D
【分析】由已知可分析出函数是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故在上所有的零点的和为0,则函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和,求出上所有零点,可得答案.
【详解】函数是定义在R上的奇函数,
.
又函数,
函数是偶函数,
函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.
函数在上所有的零点的和为,
函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和.
即方程在上的所有实数解之和.
由时,,故有
函数在上的值域为,当且仅当时,.
又当时,,如图：
函数在上的值域为；
函数在上的值域为；
函数在上的值域为,当且仅当时,,
即方程在上的又一个实数解.即有一个零点；
函数在上的值域为,当且仅当时,,
故在上恒成立,在上无零点,
同理在上无零点,
依此类推,函数在无零点.
综上函数在上的所有零点之和为8,
故选：D.
【点睛】分段函数的零点方法点睛：
可以分段考查函数的零点情况，利用直观想象，借助数形结合，通过图象的变化规律来分析与处理，合理归纳.
62．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用辅助角公式化简得到分段函数形式，根据对数函数、正弦型函数性质画出图象，数形结合确定的范围或对称性，进而求的范围.
【详解】，
所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，
不妨设，由图知：，且，即，
令，可得或，令，可得或，
所以，而在上递减，故，
综上，.
故选：A
63．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________
【答案】2
【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得.
【详解】因为函数的两个零点为，，
则，即，
又，
则，即，
所以.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得.
考点九 嵌套函数的零点问题
64．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解.
【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，
则或，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，易知方程无解，
若，当时，由，得或（舍去），
此时方程有唯一的解；
当时，由，得，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数的零点个数为个，
故选：A.
65．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可先做出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.
【详解】当时，．由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是．
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有，，，，这几种情况,也是解题关键.
66．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】设，令可得：,
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，
切线斜率，则切线方程为：，
即，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，由图象可知：，
作出函数的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C
【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
67．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．
【答案】7
【分析】作出函数的图像，然后分解因式得到或，数形结合分析零点个数
【详解】函数的零点即为方程的根，解方程得或．
作出函数的图像，如图所示．
由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点．
因此函数的零点有7个．
故答案为：7
68．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当，时，此时，则；
②当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C.
69．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
【答案】BC
【分析】由可得或，作函数的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察图象确定的关系，由此判断C，
【详解】的大致图像如图所示，令，即，即或．若有4个零点，则实数t的取值范围为或或，故A项错误；由图可知，当时，有5个零点，故B项正确；当有6个零点时，则，所以，即有，故C项正确；当时，有4个零点，故D项错误，
故选：BC．
考点十 函数零点的综合应用
70．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________.
【答案】4
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合函数单调性和零点存在原理进行求解即可.
【详解】由，即，
即，
令，则，
即，即.
由，得，
设函数，显然该函数增函数，
又，
所以函数在上有唯一的零点，
因此，即，
所以.
故答案为：4.
71．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________．
【答案】 4 4
【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系即可求出；由不等式的解集求出，再验证即可求出极大值作答.
【详解】因三次函数有一个极大值点，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于，
又恰有两个零点，，且，因此也是的极小值点，
求导得：，即，是方程的二根，有，即，
显然，则，
整理得，两边平方得：，因成等比数列，即，
于是得，即，而，有，所以；
显然有，，，
因的解集为，则5是方程的根，
即有，整理得：，解得或，
当时，，，不等式，
解得，符合题意，函数的极大值为，
当时，，，不等式，
解得，不符合题意，舍去，所以函数的极大值为.
故答案为：4；4
【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
72．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
【答案】
【分析】根据函数的无零点可得，结合题意易知，再应用正态分布的三段区间概率及对称性求.
【详解】函数没有零点，
二次方程无实根，即，可得，
又没有零点的概率是，
，由正态曲线的对称性知：，
，即，
，
，，
，
故答案为:．
考点十一 用二分法求方程的近似解
73．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
74．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
75．（2023·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【答案】C
【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果.
【详解】根据二分法，结合表中数据，
由于
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
x
-1
0
1
2
3
-0.670
3.011
5.432
5.980
7.651
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6
1
2
3
4
5
0.37
2.72
0
x
1
2
3
4
136.136
15.552
10.88
x
5
6
7
11.238
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