《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.2数列的概念(B)（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.2数列的概念(B)（原卷版+解析），共21页。试卷主要包含了2数列的概念等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）数列满足，，则（ ）
A．B．C．2D．3
2．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知 ， 则 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
3．（2022·陕西省洛南中学高二阶段练习（理））记数列前项和为，且数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．103B．107C．109D．105
6．（2022·全国·高二课时练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（ ）
A．89B．55C．34D．144
7．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知数列的首项，且，，是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）
A．不存在a和n使得B．不存在a和n使得
C．不存在a和n使得D．不存在a和n使得
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（ ）
A．，B．，，
C．， D．，，
10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
11．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·重庆南开中学高二期末）已知数列满足：，，若为的前项和，则（ ）
A．B．
C．是递增数列D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.
14．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．
15．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项．
16．（2022·上海·曹杨二中高二阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表：
数列满足：，且对于任意的正整数，点都在函数图象上，则______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
18．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
19．（2022·四川·泸州市龙马高中高二开学考试（文））已知数列前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
20．（2017·山西太原·高二期中（文））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设，，求的最大值
21．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知在数列中，其前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)，数列的前项和为，求的取值范围.
22．（2022·全国·高二课时练习）将正整数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：
(1)写出数表中第4行、第5行的各数；
(2)写出数表中第10行的第5个数；
(3)数表中每一行的第1个数依次构成数列，数表中每行的最后1个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式．
专题4.2数列的概念(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）数列满足，，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】由递推公式可得数列是的周期数列，从而得解.
【详解】，且，
，，
，，
所以数列是的周期数列，
所以.
故选：A
2．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知 ， 则 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
【答案】D
【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.
【详解】解：，
，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
3．（2022·陕西省洛南中学高二阶段练习（理））记数列前项和为，且数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据递推式得到为下标周期为4的数列，并求得，进而求.
【详解】由题设，，，，，…
所以是下标周期为4的数列，且，
则.
故选：D
4．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用累乘法计算可得.
【详解】解：因为，
所以，，，，，，
所以，
即，又，所以；
故选：A
5．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．103B．107C．109D．105
【答案】B
【分析】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即可得出，求得答案.
【详解】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，
即，则，
∴，
故选：B
6．（2022·全国·高二课时练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（ ）
A．89B．55C．34D．144
【答案】C
【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案.
【详解】设第行实心圆点的个数为，
由题图可得，，，，，，，……，
则，
故，，，．
故选：C．
7．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.
【详解】当时，有，即；当时，有，
又，即，综上，有，
故选：C．
8．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知数列的首项，且，，是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）
A．不存在a和n使得B．不存在a和n使得
C．不存在a和n使得D．不存在a和n使得
【答案】A
【分析】利用特殊值的思路，分别令、来去判断即可.
【详解】令，则所有的奇数项都为1，偶数项都为5，此时，故C选项错误；令，则所有的奇数项都为2，偶数项都为4，此时，，故BD选项错误，综上所述，A选项正确.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（ ）
A．，B．，，
C．， D．，，
【答案】B
【分析】根据题意，得到，，，，…，由此得到答案.
【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含，
由此可得数列满足.
故选：B．
10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
【答案】CD
【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：CD.
11．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】首项根据数列特征得到，，判断出AB选项，
再根据数列的递推公式利用累加法求出，从而求出，得到C正确；
D选项可举出反例.
【详解】根据题意，可知，且，故A错误，B正确，
因为，所以
，
所以，C正确；
因为，故D错误.
故选：BC
12．（2022·重庆南开中学高二期末）已知数列满足：，，若为的前项和，则（ ）
A．B．
C．是递增数列D．
【答案】ACD
【分析】利用递推式求出可判断A；利用递推式求出可判断B；利用得与同号，且可判断C；由得，然后利用累项求和可判断D.
【详解】，，
时，，
时，故A正确；
时，所以，故B错误；
由得与同号，又，所以，
所以，所以是递增数列，故C正确；
由得，所以，
，
，
，
以上各式累加得，
即，所以，当时，，所以
，故D正确.
故选：ACD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.
【答案】
【分析】由先求得，再根据求得的表达式，验证首项，即可得答案.
【详解】 ,故当时，；
当时，，
不适合上式，
，
故答案为： .
14．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．
【答案】
【分析】本题首先可以观察题目所给的五个图像，找出每个图形之间有什么联系，然后通过每个图形之间的联系猜想出通项公式，得出结果
【详解】图(1)只有1个点，无分支，故个数为1；
图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点，故个数为；
图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点，故个数为；
图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点，故个数为；
图(5)除中间1个点外，有五个分支，每个分支有4个点，故个数为；…；
猜测第个图中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，
故第个图中点的个数为
故答案为：
15．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项．
【答案】4
【分析】由，与1比较大小，分析数列的单调性，即得解
【详解】由题意，，
故，
令，解得；令，解得；
故时，；时，，
故数列的最大项为第4项.
故答案为：4
16．（2022·上海·曹杨二中高二阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表：
数列满足：，且对于任意的正整数，点都在函数图象上，则______.
【答案】
【分析】推导出对任意的，，再利用数列的周期性可求得结果.
【详解】由题意可得，，，，，
以此类推可知，对任意的，，且，
因此，.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据数列递推式可求得其前3项；
（2）由由可得,两式相减即可求得答案.
（1）
由数列满足，可得：时， ；
当时，；当时，；
（2）
由可得，
两式相减可得 ，也适合该式，
故数列的通项公式.
18．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【答案】(1)3；6
(2)an＝.
【分析】（1）分别令，，求出，即可；
（2）利用，得到＝，再利用累乘法求即可.
（1）
由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，
又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，
∴a3＝ （a1＋a2）＝6.
（2）
∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝.
∴an＝··…···a1
＝··…···1
＝.
又a1＝1满足上式，
∴an＝.
19．（2022·四川·泸州市龙马高中高二开学考试（文））已知数列前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知前n项和，可用计算通项公式.
（2）通过裂项相消法计算数列的前n项和.
（1）
由题可知，
当时，综上：
（2）
20．（2017·山西太原·高二期中（文））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设，，求的最大值
【答案】(1)，，，，猜想：.
(2).
【分析】（1）利用，和的递推关系，可求得的值，由此猜想.
（2）由，可求得的通项公式，代入并化简，利用对勾函数的单调性即可求得的最大值.
（1）
解：，
由，得，同理可得，，
所以猜想；
（2）
解：由（1）知，时，，
当时，满足上式，
所以，
所以，，
设，则有在上为减函数，在上为增函数，
因为，且，
所以当或时，有最大值.
21．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知在数列中，其前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)，数列的前项和为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用前项和与通项的关系求解通项公式即可；
（2）首先根据（1）的结果求解的通项公式，然后利用裂项相消的方法求出，最后结合数列的单调性求解的取值范围.
（1）
当时，.
当时，，适合上式.
故.
（2）
由得，
因此.
∴.
∵，
∵在，上单调递增，
∴当时，取得最小值.
又，
故.
22．（2022·全国·高二课时练习）将正整数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：
(1)写出数表中第4行、第5行的各数；
(2)写出数表中第10行的第5个数；
(3)数表中每一行的第1个数依次构成数列，数表中每行的最后1个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式．
【答案】(1)第行为，，，；第行为，，，，.
(2)
(3)，
【分析】（1）根据数表规律列出即可；
（2）首先求出前行数字个数，从而可得到第行的第个数；
（3）根据数表找出规律，即可得到递推公式.
（1）
解：依题意可得数表中第行为，，，；
第行为，，，，.
（2）
解：由于表中个每行数个数为，，，，，为等差数列，
则前行一共有个数，
所以第行第一个数为，第行的第个数为．
（3）
解：由表中数列，则，，，，
则当时，所以，
由表中数列，，，，，
则当时，所以；