《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.9数学归纳法(A）（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.9数学归纳法(A）（原卷版+解析），共16页。试卷主要包含了9数学归纳法(A）等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·北京八中高二期末）一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）
A．一切自然数成立B．一切正整数成立
C．一切正奇数成立D．一切正偶数成立
2．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7B．6C．5D．4
3．（2022·全国·高二课时练习）已知是关于正整数n的命题．小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·全国·高二课时练习）已知一个命题，这里，当，2，…，999时，成立，并且当时它也成立，下列命题中正确的是（ ）
A．对于成立B．对于每一个自然数成立
C．对于每一个偶数成立D．对于某些偶数可能不成立
5．（2022·河南商丘·高二期末（理））用数学归纳法证明：，，当时，左端应在的基础上加上（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·四川眉山·高二期末（理））用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1B．kC．D．
7．（2022·全国·高一课时练习）用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（ ）．
A．．B．．
C．．D．．
8．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）用数学归纳法证明等式，其中，，从到时，等式左边需要增乘的代数式为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法
B．数学归纳法的第一步的初始值一定为1
C．数学归纳法的两个步骤缺一不可
D．用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上
10．（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
11．（2022·全国·高二课时练习）下列结论能用数学归纳法证明的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2021·江苏·高二课时练习）对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当时，，不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即，
则当时，.
故当时，不等式成立.
则下列说法错误的是（ ）
A．过程全部正确B．的验证不正确
C．的归纳假设不正确D．从到的推理不正确
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）时，第一步应验证的等式是______．
14．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证______时是否成立．
15．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“对于正奇数，都能被整除”，在假设时结论成立，进一步要对于______时，验证结论也成立．
16．（2022·全国·高二课时练习）已知，则______，______，______，______，猜想______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国·高二专题练习）设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
18．（2021·全国·高二课时练习（理））已知数列满足，.
（1）求、；
（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.
19．（2021·浙江·高二课时练习）在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？
20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
21．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
22．（2022·甘肃武威·高二期中（理））用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
专题4.9数学归纳法(A）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·北京八中高二期末）一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）
A．一切自然数成立B．一切正整数成立
C．一切正奇数成立D．一切正偶数成立
【答案】C
【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决
【详解】已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，
证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立
即该命题对于一切正奇数成立
故选：C
2．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】分别写出与时相应的代数式，对比观察求解.
【详解】当时，则
当时，则
∴从k到添加的项数共有5项
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知是关于正整数n的命题．小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由归纳法的步骤知，我们由在假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，结合小明证明了命题，，均成立，由此不难得到m的最大值．
【详解】由题意可知，对都成立，
假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，
因此m的最大值可以为：3．
故选C．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知一个命题，这里，当，2，…，999时，成立，并且当时它也成立，下列命题中正确的是（ ）
A．对于成立B．对于每一个自然数成立
C．对于每一个偶数成立D．对于某些偶数可能不成立
【答案】D
【分析】由题意得成立的条件，对选项逐一判断
【详解】由题意在时命题成立，在其他情况下不确定是否成立
故选：D
5．（2022·河南商丘·高二期末（理））用数学归纳法证明：，，当时，左端应在的基础上加上（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果.
【详解】解：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
两式比较可知，增加的项为．
故选：C．
6．（2022·四川眉山·高二期末（理））用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1B．kC．D．
【答案】D
【分析】写出时和时等式左边式子，比较即可.
【详解】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项.
故选：D.
7．（2022·全国·高一课时练习）用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（ ）．
A．．B．．
C．．D．．
【答案】C
【分析】根据的式子，即可比较求解.
【详解】由，则，
因此
故选：C
8．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）用数学归纳法证明等式，其中，，从到时，等式左边需要增乘的代数式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.
【详解】当时,左边等于;
当时,左边等于
，
即左边等于；
所以左边增乘的项为；
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法
B．数学归纳法的第一步的初始值一定为1
C．数学归纳法的两个步骤缺一不可
D．用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上
【答案】CD
【分析】根据数学归纳法的特点判断.
【详解】与正整数n有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故A错误；
数学归纳法的第一步的初始值不一定为1，如：证明当为偶数时，能被整除.初始值为2，故B错误；
数学归纳法的两个步骤缺一不可且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故CD正确.
故选：CD.
10．（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
【答案】AD
【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.
【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
故选：AD
11．（2022·全国·高二课时练习）下列结论能用数学归纳法证明的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明.
故选：BC.
12．（2021·江苏·高二课时练习）对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当时，，不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即，
则当时，.
故当时，不等式成立.
则下列说法错误的是（ ）
A．过程全部正确B．的验证不正确
C．的归纳假设不正确D．从到的推理不正确
【答案】ABC
【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.
【详解】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.
故选：ABC.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）时，第一步应验证的等式是______．
【答案】
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令即可得出结论.
【详解】依题意，当时，
，
即，
故答案为：.
14．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证______时是否成立．
【答案】
【分析】根据数学归纳法的证明步骤，第一步验证使结论成立的最小正整数，由题意可得答案.
【详解】的最小值为，所以第一步应验证时是否成立．
故答案为：.
15．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“对于正奇数，都能被整除”，在假设时结论成立，进一步要对于______时，验证结论也成立．
【答案】
【分析】利用为正奇数，得到下一个正奇数为.
【详解】要证明的是对于正奇数，都能被整除，故的下一个正奇数为.
故答案为：
16．（2022·全国·高二课时练习）已知，则______，______，______，______，猜想______．
【答案】
【分析】根据的表达式，即可代入值计算，进而通过观察规律即可得出猜想.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由此猜想：,
故答案为：；；；；
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国·高二专题练习）设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】
【详解】试题分析：分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求；猜想：，由 可知，当n≥2时， ，所以 ，再用数学归纳法进行证明；
试题解析：解：分别令，得，
∵，∴，猜想：，由①
可知，当时 ②
①-②得，即
当时
∵，∴，
（ii）假设当时，，那么当时，,∵，
∴，∴，即当时也成立．
∴，显然时，也成立，故对于一切，均有．
考点：数列通项公式及数学归纳法证明
18．（2021·全国·高二课时练习（理））已知数列满足，.
（1）求、；
（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.
【答案】（1），；（2）,证明见解析.
【分析】（1）依据递推关系可求、.
（2）根据（1）可猜测，按照数学归纳法的基本步骤证明即可.
【详解】（1），；
（2）猜想数列通项公式，证明如下：
当时，，，所以成立；
假设时成立，即 ，
当时， ，
∴时，成立，
综上，由①②得： .
【点睛】由数列的前若干项和递推关系可猜测数列的通项，然后再用数学归纳法去证明，注意数学归纳法有三个部分即归纳的起点、归纳假设和归纳证明，注意归纳证明的推理过程必须用到归纳假设.
19．（2021·浙江·高二课时练习）在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？
【答案】；
【分析】观察首项，末项，中间的变化规律，并写出当和时的式子，对比得到左边增加的部分，右边增加的部分.
【详解】时，左边为，
时，变为，
故由到的变化过程中，左边增加的都分是；
时，右边为，
时，变为，
右边增加的部分是.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了数学归纳法中由到时式子的变化规律，观察首项，末项，中间的变化规律,并分别写出和时的式子是解题的关键.
20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
【答案】见解析
【分析】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.
【详解】证明：（1）当时，，能被9整除，
故当时， 能被9整除．
（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，
则当时，也能被9整除.
综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除．
【点睛】本题考查了用数学归纳法证明整除问题，属于容易题.
21．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】，证明见解析
【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.
【详解】由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
22．（2022·甘肃武威·高二期中（理））用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．