《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.11 《数列》综合测试卷(A）（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.11 《数列》综合测试卷(A）（原卷版+解析），共14页。试卷主要包含了11 《数列》综合测试卷(A）等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（文））已知数列的通项公式，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（ ）
A．5B．C．D．
3．（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（ ）
A．2B．3C．±2D．
4．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等比数列中，，，则（ ）
A．16B．32C．12D．18
5．（2022·浙江·高三阶段练习）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（ ）
A．782B．822C．780D．820
6．（2022·陕西省洛南中学高二阶段练习（理））为等差数列的前项和，如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则 （ ）
A．31B．C．31或5D．或5
8．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（ ）
A．an＝3n，n∈N＋B．an＝3n－1，n∈N＋C．an＝(－1)n－13n，n∈N＋D．an＝2n－1，n∈N＋
10．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
11．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）设等差数列的前n项和是，若（，且），则必定有（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）
A．B．（其中且）
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·北京市广渠门中学高三阶段练习）在等比数列中，，，则_________.
14．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，公比，前n项和为，则满足的最小值______．
15．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为___．
16．（2018·全国·高二课时练习）{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且，求的通项公式．
18．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，．记，求证：数列为等比数列；
19．（2022·全国·高二课时练习）一个无穷等比数列的公比q满足，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项与公比q．
20．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）记等差数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
21．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项.
(1)求的通项公式及前项和；
(2)设，求数列 的前项和.
22．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
专题4.11 《数列》综合测试卷(A）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（文））已知数列的通项公式，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】通过赋值求得，即可求得结果.
【详解】因为，故可得，则.
故选：.
2．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，
所以，
根据等比数列的性质可知，解得.
故选：B
3．（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（ ）
A．2B．3C．±2D．
【答案】D
【分析】根据韦达定理可得，再利用等差中项运算求解.
【详解】由题意可得：
∵{an}为等差数列，则
∴
故选：D.
4．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等比数列中，，，则（ ）
A．16B．32C．12D．18
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可.
【详解】由题，
则
故选：A.
5．（2022·浙江·高三阶段练习）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（ ）
A．782B．822C．780D．820
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.
【详解】设该数列为,
由题可知,数列是以为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以,
所以所以
所以
故选:B.
6．（2022·陕西省洛南中学高二阶段练习（理））为等差数列的前项和，如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列求和公式结合等差中项的性质直接可得解.
【详解】由已知得，
解得，
故选：B.
7．（2020·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则 （ ）
A．31B．C．31或5D．或5
【答案】B
【分析】数列为等比数列，通过等比数列的前项和公式化简，从而得到公比的值，从而求出的值.
【详解】因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且
当时，，计算得
所以
当时，，，所以
综上：
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，
故选:B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（ ）
A．an＝3n，n∈N＋B．an＝3n－1，n∈N＋C．an＝(－1)n－13n，n∈N＋D．an＝2n－1，n∈N＋
【答案】AC
【分析】根据已知条件求得数列的公比，进而求得，从而确定正确选项.
【详解】设等比数列的公比为，则，
当时，.当时，.
故选：AC
10．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
【答案】BD
【分析】根据已知条件判断的关系，结合等比数列的知识求得，从而确定正确选项.
【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以BD选项正确.
故选：BD
11．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）设等差数列的前n项和是，若（，且），则必定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据等差数列求和公式即可判断.
【详解】∵，
∴，，
∴,,
故选：AD.
12．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）
A．B．（其中且）
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.
【详解】因为等比数列，设其公比为，则有，
对于A，是常数，数列是等比数列，A是；
对于B，且，是常数，数列是等比数列，B是；
对于C，是常数，是等比数列，C是；
对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.
故选：ABC
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·北京市广渠门中学高三阶段练习）在等比数列中，，，则_________.
【答案】8
【分析】根据等比中项的性质求解即可.
【详解】由题，则，且，所以，
故答案为：8
14．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，公比，前n项和为，则满足的最小值______．
【答案】5
【分析】先求得，由求得符合题意的的最小值.
【详解】，
，所以的最小值为.
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为___．
【答案】2
【分析】利用等差数列前n项和、通项公式列方程求基本量.
【详解】由题设，解得.
故答案为：2
16．（2018·全国·高二课时练习）{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
【答案】
【分析】由题意可得，，，又因为它们是等比数列的连续三项，进而得到，即可得到等比数列的公比进而得到答案．
【详解】解：因为数列是公差不为零的等差数列，
所以，，，
又因为，，是等比数列的连续三项，
所以，
解得：（舍去）或，
所以，
因为等比数列的首项为，
所以．
故答案为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且，求的通项公式．
【答案】.
【分析】利用，求解通项公式，通过验证得到
【详解】当时，；
当时，，显然满足上式，
∴.
18．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，．记，求证：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由递推公式可得，即可得证；
【详解】证明：∵，∴，
∴，∴数列是以，公比为的等比数列．
19．（2022·全国·高二课时练习）一个无穷等比数列的公比q满足，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项与公比q．
【答案】，
【分析】根据无穷等比数列前项的极限和即可求解.
【详解】由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为首项为，故.
20．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）记等差数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；
(2)根据等比数列求和公式即可求解．
(1)
由题可知，解得，，
∴；
(2)
∵，∴，
∴是首项为3，公比为9的等比数列，
∴﹒
21．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项.
(1)求的通项公式及前项和；
(2)设，求数列 的前项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)利用等差中项的性质结合等比数列的通项公式和前项和的定义可求解;(2)利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列是公比为,
因为是与的等差中项,
所以即,
因为,所以,解得,
所以,.
（2）由(1)知，，
所以
.
即数列 的前项和.
22．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由的前项和即可求出等比数列的通项公式，由和即可求出等差数列的通项公式.
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和.
(1)
设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
(2)
由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则．