《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.2导数的概念及其意义、导数的运算(B)（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.2导数的概念及其意义、导数的运算(B)（原卷版+解析），共16页。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·上海市金山中学高二期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（ ）
A．B．C．1D．
2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东青岛·高三期中）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广西·灵川县潭下中学高三阶段练习（理））若幂函数的图像过点，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（文））已知曲线在点处的切线方程为, 则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022·广东·高三阶段练习）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
10．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·福建·宁德市高级中学高三期中）已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）已知，则＝________．
14．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为________
15.（2022·全国·高二单元测试）曲线在原点处的切线方程为______，请你写出一个与曲线在原点处具有相同切线的曲线的方程：______．
16．（2022·辽宁锦州·高二期末）若实数，，，满足，，则的最小值是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
18．（2022·山东临沂·高二期末）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值.
19．（2022·全国·高二课时练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．
20．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，求实数m的取值范围．
21．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
22．（2022·江苏苏州·高二期末）已知函数和，其中为常数且.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值.
专题5.2导数的概念及其意义、导数的运算(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·上海市金山中学高二期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据极限与导数的定义计算．
【详解】
故选：A．
2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求导得到，计算，，得到切线方程.
【详解】，则，
，，故切线方程为，
化简得到.
故选：C
3．（2022·山东青岛·高三期中）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解，
【详解】由题意得，则，
，，则所求切线方程为，即，
故选：C
4．（2022·广西·灵川县潭下中学高三阶段练习（理））若幂函数的图像过点，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据点的坐标可得函数解析式，然后求导可得切线斜率，结合直线的点斜式即可得到切线方程.
【详解】将代入函数，可得，即，
则，所以点处的切线斜率
所以切线方程为
整理得
故选:C.
5．（2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（文））已知曲线在点处的切线方程为, 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.
【详解】根据导数的运算公式
,
当时,,
,即.
满足方程,
即,
.
故选:A.
6．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求导，令，求出，再结合导数的几何意义即可求解.
【详解】依题意，，令，
故，解得，故，故．
故选：D．
7．（2022·广东·高三阶段练习）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作答.
【详解】函数，求导得：，则，
即函数的图象在点处的切线斜率为，
因为切线与直线垂直，有．所以.
故选：C
8．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据、图象分析最小时P的位置，利用导数几何意义求上斜率为1的切线，应用平行线距离公式求的最小值.
【详解】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点，
令，可得，故切点为，
以为切点平行于的切线为，此时有.
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
【答案】BCD
【分析】根据基本初等函数的导数公式求各选项中函数的导函数.
【详解】A：，错误；
B：，则，正确；
C：，正确；
D：正确.
故选：BCD
10．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】设切点.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解.
【详解】设切点.
因为曲线在点P处的切线的斜率，所以，所以点P的坐标为或.
故选：AD.
11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】求导，结合基本不等式求出导函数的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围.
【详解】因为，所以．
因为，所以（当且仅当，即时取等号），
所以，所以．
又因为，所以．
故选：CD．
12．（2022·福建·宁德市高级中学高三期中）已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由偶函数得对称性，判断A，由为奇函数，得对称性判断C，然后在等式中令求值判断B，由求导得，，得，再由由，得，两者比较得所以，从而得周期性，判断D.
【详解】A.为偶函数，所以，，，所以，正确；
C.为奇函数，所以，关于对称，且，，C错误；
B.所以令，，正确；
D.由两边求导得，得
由，得，所以，即，正确.
故选：ABD．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）已知，则＝________．
【答案】##
【分析】求出函数的导数，直接运算即可.
【详解】，，
.
故答案为：.
14．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为________
【答案】或##或
【分析】由切线斜率，结合导数的几何意义求点横坐标，根据点在曲线上求纵坐标即可.
【详解】由，若，则，可得，
所以，则，此时坐标为；
，则，此时坐标为；
故答案为：或
15.（2022·全国·高二单元测试）曲线在原点处的切线方程为______，请你写出一个与曲线在原点处具有相同切线的曲线的方程：______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点且在处的导数值即可，由此可得曲线方程.
【详解】的导函数为，又过原点，
在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为；
所求曲线只需满足过点且在处的导数值即可，如，
，又过原点，在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为.
故答案为：；（答案不唯一）
16．（2022·辽宁锦州·高二期末）若实数，，，满足，，则的最小值是______．
【答案】2
【分析】利用两点间距离公式，将转化为函数上任意一点P与函数上任意一点Q间距离的最小值的平方，再利用导数的几何意义去求解最小值即可解决.
【详解】设点为函数上任意一点，
点为函数上任意一点，
则
由，可得
设与直线平行的直线与函数相切于，
则，解之得或（舍）则切点
又切点到直线的距离
则最小值为，的最小值为2
故答案为：2
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程，再设出直线l的方程（），利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，得到直线l的方程.
【详解】∵，
∴，
∴曲线在点（0，1）处的切线的斜率为，
其方程为，即．
又∵直线l与平行，
∴直线l的方程可设为（）．
由得：或．
∴直线l的方程为或．
18．（2022·山东临沂·高二期末）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再与曲线联立，消元，分和两种情况讨论，当时，即可求出的值.
【详解】解：令，
则，，
可得曲线在点处的切线方程为．
因为切线与曲线只有一个公共点，
联立，得，
①当时与平行，无公共点，不符合题意；
②当时，，解得或（舍去）．
综上可得
19．（2022·全国·高二课时练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．
【答案】
【分析】由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围
【详解】函数的导数为．
因为，所以，
所以，即；因为，所以，即．
20．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】求出导函数，由题意，原问题等价于有解，从而即可求解.
【详解】解：函数的导数，
由题意，若曲线C存在与直线垂直的切线，则，即有解，
又因为，所以，即，
所以实数m的取值范围是．
21．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；
（2）根据设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，再利用点斜式写切线方程，将代入切线方程得到即可得到切线方程.
（1）
，所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.
（2）
，所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.
22．（2022·江苏苏州·高二期末）已知函数和，其中为常数且.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意求出切点和切线的斜率，根据点斜式求切线方程即可;
(2) 设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得；设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得，再由直线的斜率为1，可得的关系，利用基本不等式求最小值即可.
（1）
解：当时，，当时，切点为，
因为，切线斜率为，
所以切线方程为，即.
（2）
解：的定义域为的定义域为，
且，
设曲线在点处的切线斜率为1，则，
所以，则，
设曲线在点处的切线斜率为1，则，
所以，则，
直线的斜率，
所以，
由于，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.