《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.5 导数在研究函数中的应用（2）(A）（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.5 导数在研究函数中的应用（2）(A）（原卷版+解析），共19页。试卷主要包含了5 导数在研究函数中的应用等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在上为减函数B．在上为增函数
C．在处取极大值D．的图像在点处的切线的斜率为0
2．（2022·湖北·南漳县第一中学高二阶段练习）函数的极大值为（ ）
A．-2B．2C．D．不存在
3．（2022·广西桂林·高二期末（文））已知函数的导函数则的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二阶段练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
5．（2022·新疆·昌吉州行知学校高二期末（文））如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①x=-2是函数的极值点；
②x=1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①④
6．（2022·四川达州·高二期末（文））函数的最小值为（ ）
A．B．C．0D．3
7．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．（2022·江西九江·高二期末（文））已知函数的最小值为－1，则实数a＝（ ）
A．－1B．0C．1D．2
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·河北邢台·高二期末）若函数导函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点
D．是的一个极小值点
10．（2022·辽宁·沈阳市回民中学高二期中）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点
11．（2022·重庆·高二阶段练习）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
12．（2022·全国·高二期末）已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））函数在处取得极值，则实数的值为______．
14．（2022·全国·高二专题练习）函数在上的最小值为______．
15．（2022·上海市金山中学高二期末）如图是函数的导函数的图象：
①函数在区间上严格递减；
②；
③函数在处取极大值；
④函数在区间内有两个极小值点．
则上述说法正确的是______．
16．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））函数的极大值是_______
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖北·高二期中）求函数在区间的最大值与最小值．
18．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，求的单调区间和极值.
19．（2022·内蒙古·满洲里远方中学高二期末（文））已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的极值.
20．（2022·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最小值．
21．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期末）已知函数.
(1)求单调区间；
(2)求在区间上的最值.
22．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
(2)讨论的单调性．
专题5.5 导数在研究函数中的应用（2）(A）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在上为减函数B．在上为增函数
C．在处取极大值D．的图像在点处的切线的斜率为0
【答案】B
【分析】用导函数判断函数的单调性和极值点是利用导函数的符号和零点.
【详解】由图可知，当 时， ，是增函数；
当 时， ，是减函数；
当 时， ，是增函数；
当 时， ，是减函数；
∴A错误，B正确，C错误；D错误；
故选：B.
2．（2022·湖北·南漳县第一中学高二阶段练习）函数的极大值为（ ）
A．-2B．2C．D．不存在
【答案】A
【分析】求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案.
【详解】＝1－＝．令得或（舍）．
由于，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数在处取得极大值．
故选：A
3．（2022·广西桂林·高二期末（文））已知函数的导函数则的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】求出的根，确定变号根的个数即可得．
【详解】由得，，，
或时，，不是极值点，
或时，，时，，因此都是极值点．极点点有2个．
故选：C．
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二阶段练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
【答案】B
【分析】函数在处有极值，即，求解导数，代入即可求解.
【详解】解：因为函数，故
又函数在处有极值，故，
解得.经检验满足题意
故选：B.
5．（2022·新疆·昌吉州行知学校高二期末（文））如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①x=-2是函数的极值点；
②x=1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①④
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.
【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；
对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；
对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；
对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.
故选：D
【点睛】根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号.
6．（2022·四川达州·高二期末（文））函数的最小值为（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得函数的最值.
【详解】∵，∴，
当时，得，故在上单调递减，
当时，得，故在上单调递增，
又，故当时取最小值，
故选：B
7．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.
【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.
故选：A.
8．（2022·江西九江·高二期末（文））已知函数的最小值为－1，则实数a＝（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】求导，研究函数的单调性，得到函数的最小值，列出方程，求出的值.
【详解】，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．故当时函数取得极小值，也是最小值．故，所以a＝－1．
故选：A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·河北邢台·高二期末）若函数导函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点
D．是的一个极小值点
【答案】AB
【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.
【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确.
对于B选项，由图可知，在左右两侧，函数左减右增，是的一个极小值点，B正确.
对于C选项，由图可知，在左右两侧，函数单调递增，不是的一个极值点，C错误.
对于D选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，D错误.
故选：AB.
10．（2022·辽宁·沈阳市回民中学高二期中）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点
【答案】AC
【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.
【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
11．（2022·重庆·高二阶段练习）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
【答案】ABC
【分析】ABC均可以举出反例，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.
【详解】A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；
在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，B说法错误；
若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值-2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；
根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.
故选：ABC
12．（2022·全国·高二期末）已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】ABC
【分析】求得导数函数只需即可满足题意.
【详解】
令 ，则或，
当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增，
此时，当x=3时，f（x）有极大值，
则a的取值可以是4,5,6.
故选：ABC.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））函数在处取得极值，则实数的值为______．
【答案】
【分析】由函数可导，则在极值点处导函数为，可得，即可得解.
【详解】由，
可得，
所以.
故答案为：
14．（2022·全国·高二专题练习）函数在上的最小值为______．
【答案】3
【分析】求导，利用导数判断得在上单调递减，在上单调递增，进而确定最值．
【详解】，令，得．
当时，；当时，．
在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
故答案为：3．
15．（2022·上海市金山中学高二期末）如图是函数的导函数的图象：
①函数在区间上严格递减；
②；
③函数在处取极大值；
④函数在区间内有两个极小值点．
则上述说法正确的是______．
【答案】②④
【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.
【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确；
由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误；
由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0，
故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.
故答案为：②④
16．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））函数的极大值是_______
【答案】##
【分析】利用导数的性质，结合极大值的定义进行求解即可.
【详解】由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数有极大值，
极大值为：
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖北·高二期中）求函数在区间的最大值与最小值．
【答案】 ；．
【分析】根据导数，列表求函数的最值即可.
【详解】解： ，令得
当变化时，变化如下：

18．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，求的单调区间和极值.
【答案】函数的单调增区间为，单调减区间为，极小值为，无极大值.
【分析】求出导函数，然后令，，求解不等式即可得函数的单调区间，从而可得函数的极值.
【详解】解：因为，所以，
令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为，
所以函数的极小值为，无极大值.
19．（2022·内蒙古·满洲里远方中学高二期末（文））已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)的极小值为，无极大值.
【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.
（1）
，令，解得：，
故函数的单调递减区间是
（2）
令得：
故在单调递减，在单调递增，
所以在处取得极小值，，
所以的极小值为，无极大值.
20．（2022·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最小值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；
（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.
（1）
由已知可得．
又，
所以．
（2）
由（1）可知，，
令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
又，，
所以函数在上的最小值为．
21．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期末）已知函数.
(1)求单调区间；
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最小值为，最大值为4
【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.
（1）
定义域为R，
，
令得：或，
令得：，
所以单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，
又因为，而，
所以，
所以在区间上的最小值为，最大值为4
22．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解.
【详解】（1），则
即解得，经验证满足题意，
（2）
令解得或
1°当时，在上单调递增
2°当时，在，上单调递增，上单调递减
3°当时，在，（上单调递增，上单调递减
3
+
0
0
+