《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.6 导数在研究函数中的应用（2）(B)（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.6 导数在研究函数中的应用（2）(B)（原卷版+解析），共23页。试卷主要包含了6 导数在研究函数中的应用等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习（文））函数在上的最大值是（ ）
A．0B．C．D．
3．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（理））函数在处有极值为，那么，的值为（ ）
A．，B．，
C．，或，D．，
4．（2022·四川·绵阳市开元中学高二期中（理））函数在区间上取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习）若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ）
A．B． C．1D．
6．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·山西·运城市薛辽中学高二阶段练习）已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·浙江·镇海中学高二期中）如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（ ）
A．有极大值，也有极小值
B．是的极小值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点
10．（2022·福建·莆田一中高二期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数在上单调递增
C．函数的最小值为，没有最大值D．函数的极小值点为
11．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C． D．
12．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））若函数的极小值为5，那么的值为______.
14．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）函数的极大值与极小值分别为和，则____．
15．（2022·陕西·西安中学高二期中）若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________
16．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·山东聊城一中高二期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)求函数在区间上的最值．
18．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.
19．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
20．（2022·江苏连云港·高二期末）已知函数，其中a为常数．
(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；
(2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值.
21．（2022·全国·高二课时练习）如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
(1)设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域；
(2)当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值．
22．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
专题5.6 导数在研究函数中的应用（2）(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可求得最小值.
【详解】∵，
∴，
当时，
∴函数在区间上单调递增，
∴当时，函数取得最小值，，
∴函数在上的最小值为.
故选：A.
2．（2019·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习（文））函数在上的最大值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】求导得到导函数，根据函数的单调区间得到最值.
【详解】，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故.
故选：B
3．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（理））函数在处有极值为，那么，的值为（ ）
A．，B．，
C．，或，D．，
【答案】A
【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．
【详解】，
由题意可知即，
则解得或，
当时，，
在处不存在极值，不符合题意；
当时，，
，，，，符合题意．
，
故选：A．
4．（2022·四川·绵阳市开元中学高二期中（理））函数在区间上取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对函数求导，判断其在的单调性，进而求得其最大值.
【详解】由得，
令，即在区间上解得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以当时，取得最大值.
故选：B.
5．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习）若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ）
A．B． C．1D．
【答案】A
【分析】已知不等式变形为，引入函数，
则其为减函数，由导数求出的减区间后可的最小值．
【详解】因为，
所以由，
可得，
，
即．
所以在上是减函数，
，
当时，，递增，
当时，，递减，
即的减区间是，
所以由题意的最小值是．
故选：A．
6．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题，将问题转化为在上无解，进而研究函数性质可得，再求得.
【详解】解：求导有，
因为函数有唯一的极值点，
所以，有唯一正实数根，
因为，
所以在上无解，
所以，在上无解，
记，则有，
所以，当时，，在上递减，
当时，，在上递增．
此时时，有最小值，
所以， ，即，
所以，即的取值范围是
故选：A
7．（2022·山西·运城市薛辽中学高二阶段练习）已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得、再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，解得或；
当时，，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；
当时，，
当或时，当时，满足函数在处取得极值，
所以，
所以由推不出函数在处有极值，即充分性不成立；
由函数在处有极值推得出，即必要性成立；
故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件；
故选：B
8．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为在x＞0时恒成立．利用导数求出的最大值即可.
【详解】当x＜0时，，
当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，
即在x＞0时恒成立
即在x＞0时恒成立
即
设
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·浙江·镇海中学高二期中）如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（ ）
A．有极大值，也有极小值
B．是的极小值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】结合导函数的几何意义，在对应区间上判断与的大小关系，进而利用导数判断函数的单调性，从而判断极大值与极小值，进而结合选项即可得出结论.
【详解】=，
当时，，故，在上单调递减，
当时，，故，在上单调递增，
当时，，故，在上单调递减，
当时，，故，在上单调递增，
故在处取得极小值，在处取得极大值，处取得极小值.
故ABD正确，C错误，
故选：ABD.
10．（2022·福建·莆田一中高二期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数在上单调递增
C．函数的最小值为，没有最大值D．函数的极小值点为
【答案】BD
【分析】对于A，注意到可知，由此可判断；
对于B，对求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确；
对于C，举反例排除即可；
对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误；
对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确；
对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误；
对于D，令，得或，所以在和上单调递减，
令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确.
故选：BD.
11．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C． D．
【答案】BC
【分析】求出函数的导数，确定取得极值的条件并求出极大值，再列出不等式求解作答.
【详解】函数的定义域为，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，当时，，当时，，则当时，函数取得极大值，
因此，即，解得，显然选项A，D不满足，B，C满足.
故选：BC
12．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】将问题转化为有2个不同的实数根，令，利用导数求出函数的单调区间和最值，从而可求出实数的取值范围.
【详解】依题意得有2个不同的实数根，即有2个不同的实数根，
令，则，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，因此．
故选：CD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））若函数的极小值为5，那么的值为______.
【答案】6
【分析】对函数求导，再求函数的单调区间与极小值即可.
【详解】，，
令，解得或，
当或时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值，
极小值为，解得.
故答案为：6.
14．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）函数的极大值与极小值分别为和，则____．
【答案】
【分析】利用导数求得的极值，从而求得正确答案.
【详解】，
在区间递增；在区间递减.
所以是的极大值，即，
是的极小值，即，
所以.
故答案为：
15．（2022·陕西·西安中学高二期中）若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________
【答案】
【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围.
【详解】由，得，
∵函数有两个极值点，
∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值也是最小值为，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
画出的图象，如下：
要使有两个不等实数根，
则，即，经验证，满足要求.
故的取值范围为．
故答案为：.
16．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为____________．
【答案】1
【分析】由题意可得，构造函数，可得，可得解析式，结合的值，可得解析式，求导，令，利用导数可得的单调性和最值，根据特殊值和，分析可得的单调性和极值，即可得答案.
【详解】由题意得，
令，所以，则，且c为常数，
所以，
所以，解得，
所以，则．
令，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以在处取得最大值．
又，所以，使．
又，所以当时，，单调递减；
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值．
【点睛】关键点点睛：合理变形得，并适当构造函数，根据题中数据，求得解析式，并利用导数求得的单调性和极值，难点在于求导得，无法判断其正负时，需再次求导，根据其导函数值的正负，可得的正负，可得的单调性和极值，属中档题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·山东聊城一中高二期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)求函数在区间上的最值．
【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值是，极小值是
(2)最大值为，最小值为．
【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；
（2）根据极值和端点值即可确定最值.
【详解】（1）．
令，得或；令，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
所以的极大值是，的极小值是．
（2）因为，
由（1）知，在区间上，有极小值，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
18．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系.
【详解】（1）当时，则函数，，
令，解得或，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，函数在上单调递增，
∴在时取得极小值为，且，
故在上的最大值为，最小值为.
（2）∵，则
①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；
②当时，令，得或，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
∴；
③当时，令，得或，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
∴，解得.
综上所述：实数的取值范围是.
19．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)
(3)函数在上的最小值为，最大值为.
【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.
【详解】（1）因为函数，所以，
又函数在处取得极值.
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故.
（2）由（1）知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
也即.
（3）由（1）知：函数，则，
令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为.
20．（2022·江苏连云港·高二期末）已知函数，其中a为常数．
(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；
(2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义计算作答.
（2）由（1）的结论，利用导数探讨函数在上的单调性，求出最小值作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
因函数的图象在点处的切线的斜率为1，则，解得，
所以a的值是1.
（2）由（1）得，，由得或，
因，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值.
21．（2022·全国·高二课时练习）如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
(1)设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域；
(2)当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值．
【答案】(1)
(2)当时，S的最小值为，此时;
当时，S的最小值为，此时.
【分析】（1）表示出采样点及周围通道的长，宽，写出S关于的函数关系式即可；
（2）分两种情况讨论a的取值范围，当时，根据基本不等式的性质求出S的最小值，以及满足条件的的值；当时，借助于导数解决问题，求得答案.
【详解】（1）由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是，宽是，
故；
（2）由（1）知，，
当时，，
当且仅当即时取等号，此时，且满足，
故此时S的最小值为，此时;
当时，令，
则，
由于时， ，故，
即单调递减，
故，此时 ，满足 ,
故S的最小值为，此时.
22．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最大值；
（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围．
【详解】（1）时，，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值
（2），，则，
当时，，在单调递增，
且，则当时，，不符合要求.
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值
则由恒成立，可得成立，
令
则
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
则当时，取得最小值
则恒成立，（当且仅当时等号成立）
则的解集为
则a的取值范围为．
单调递减
单调递增
单调递减