《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.9 高二上期末(第一册--第二册数列）模拟试卷(A）（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.9 高二上期末(第一册--第二册数列）模拟试卷(A）（原卷版+解析），共20页。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）已知 ，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022春·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
4．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（ ）
A．B．3C．D．4
5．（2022春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期末）如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·江苏连云港·高二期末）设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·高二单元测试）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021春·福建龙岩·高二校联考期中）关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为8B．焦距为C．顶点坐标为D．离心率为
10．（2022·全国·高二假期作业）已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率
C．椭圆的短轴长为4D．的面积的最大值是4
11．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
12．（2022春·辽宁·高二校联考期中）如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点到侧棱的距离相等B．正四棱柱外接球的体积为
C．若，则平面D．点到平面的距离为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022春·山西太原·高二校考阶段练习）若的方向向量为,平面的法向量为,且,则__________.
14．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知点，直线，且点在直线上，，则点的坐标是_____________．
15．（2022·全国·高二假期作业）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.
16．（2022春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知数列满足，，若为等差数列，则___________，若，则数列的前项和为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，
(1)求边所在直线的方程；
(2)直线过定点，设该定点为，求的面积.
18．（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线在轴上截距为2，求；
(3)若的中点横坐标为1，求直线的方程．
19．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
20．（2022春·湖北襄阳·高二校考阶段练习）已知数列的前项和，，．
(1)证明数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
21．（2022春·江西·高二校联考阶段练习）已知点，圆C：.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，过点的直线垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
22．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆：，A为椭圆与y轴交点，，为椭圆左、右焦点，为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆C交于，N两点，点，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，当时，求证直线恒过一定点？
专题5.9 高二上期末(第一册--第二册数列）模拟试卷(A）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求出直线的斜率，进而可求解倾斜角.
【详解】由题，将直线方程转化为斜截式方程可得，
所以直线的斜率，
因为，所以，
故选:C.
2．（2022春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）已知 ，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据向量平行的规则计算即可.
【详解】依题意， ，
；
故选：C.
3．（2022春·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】设出公差，根据前项和基本量计算出公差，从而求出.
【详解】设的公差为，由得：
，解得：，
故.
故选：C
4．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【分析】将点代入，可得，即可求出准线方程，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得
【详解】解：因为是抛物线上一点，
所以，
则抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，，
故选：A.
5．（2022春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用累乘法求出数列的通项公式，进而求出.
【详解】解：由题意， ，
在数列中，，
∴.
故选：A.
6．（2022春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期末）如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理将转化为即可选出答案.
【详解】解:由题知, 点F是侧面的中心,
为中点,
则
,
故选:A
7．（2022春·江苏连云港·高二期末）设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆上三个点到直线的距离等于1,可得圆心到直线的距离为2-1=1,利用点到直线的距离公式解出即可.
【详解】解:由题知圆的方程为,
所以圆心为,半径为,
因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1,
所以只需要圆心到直线的距离为即可,
直线方程为:,
所以圆心到直线的距离为:,
解得,
故当时,
圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1．
故选:D
8．（2022·高二单元测试）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021春·福建龙岩·高二校联考期中）关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为8B．焦距为C．顶点坐标为D．离心率为
【答案】AD
【分析】利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．
【详解】解：由双曲线的方程，可知：，，解得，，
．
实轴长，焦距为，因此正确，错误；
顶点坐标为，离心率，因此错误，正确．
故选：．
10．（2022·全国·高二假期作业）已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率
C．椭圆的短轴长为4D．的面积的最大值是4
【答案】BCD
【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断.
【详解】解：因椭圆方程为，
所以，
所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，
故A错误，B,C正确；
对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2,
此时的面积取最大为,故正确.
故选：BCD.
11．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
【答案】AD
【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解.
【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确.
对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为
，故B选项错误.
对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误.
对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确.
故选：AD
12．（2022春·辽宁·高二校联考期中）如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点到侧棱的距离相等B．正四棱柱外接球的体积为
C．若，则平面D．点到平面的距离为
【答案】BD
【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解.
【详解】对于A, 到侧棱的距离等于,
到侧棱的距离相等且等于,故A错误；
对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有,
即，所以外接球的体积等于，故B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图，
则,
因为，所以,
所以，，,
所以，所以与平面不垂直，故C错误；
对于D,由以上知，设平面的法向量为，
则有，,
,即，令则，
所以，
因为,所以点到平面的距离为，故D正确.
故选:BD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022春·山西太原·高二校考阶段练习）若的方向向量为,平面的法向量为,且,则__________.
【答案】4
【分析】由，则的方向向量与平面的法向量平行，可得答案.
【详解】由,则则的方向向量与平面的法向量平行
所以 ，从而
故答案为：4
14．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知点，直线，且点在直线上，，则点的坐标是_____________．
【答案】
【分析】设，根据题意列方程组解决即可.
【详解】由题知，点，直线，且点在直线上，，
所以，
设，
所以由题意可得：，解得：，
所以点的坐标为，
故答案为：
15．（2022·全国·高二假期作业）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.
【答案】##0.8
【分析】根据三角形面积公式，即可求出点，然后抛物线定义，求出长度，根据等面积法即可求出.
【详解】，设，因为，所以，不妨取，则,,则，故 到距离为.
故答案为：
16．（2022春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知数列满足，，若为等差数列，则___________，若，则数列的前项和为___________.
【答案】 ##
【分析】利用递推关系式，结合等差数列通项公式可求得公差，进而得到；利用递推关系式可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，采用裂项相消的方法可求得前项和.
【详解】由得：，解得：；
为等差数列，设其公差为，则，解得：，
；
由知：数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列；
，又，，
数列的前项和，
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的项、裂项相消法求和的问题；解题关键是能够根据递推关系式得到数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，由此可通过裂项相消的方法求得所求数列的和.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，
(1)求边所在直线的方程；
(2)直线过定点，设该定点为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接计算出，再写出点斜式方程即可；
（2）首先求出定点，然后利用点到直线距离公式求出点到直线的距离以及的长，则得到三角形面积.
【详解】（1）的斜率为,
直线方程为,即；
（2）即，
当时，，故，
到边所在直线的距离为,
故的面积为.
18．（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线在轴上截距为2，求；
(3)若的中点横坐标为1，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据渐近线方程，焦点坐标，列出的方程进行求解即可；
（2）利用弦长公式直接计算即可；
（3）先确定直线斜率是否存在，然后联立直线与双曲线，通过中点坐标公式列方程求解.
【详解】（1）由题意得，所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）由题意得直线的方程为，由得，，设，则，所以；
（3）当直线的斜率不存在时，中点横坐标为，显然不合题意，所以设直线的方程为，
由，得，
设，则，解得，
此时所联立方程可整理化简得：，满足，符合题意，
故直线的方程为．
19．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角；
（2）求平面和平面的法向量，利用空间向量法求两个平面夹角的余弦值
【详解】（1）如图，底面，底面，底面，
，.
以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，
，，，，，
，，
，
则异面直线与所成角的余弦值为，故异面直线与所成角的大小为.
（2）由题意可知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则.
.
所以平面和平面夹角的余弦值.
20．（2022春·湖北襄阳·高二校考阶段练习）已知数列的前项和，，．
(1)证明数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【分析】(1)利用与关系,再结合等比数列的定义证明即可,
根据等比数列通项公式计算即可得到;
(2)应用等比数列和等差数列前项和公式计算即可.
【详解】（1）因为①
当时, ②
①②可得,即得
因为,
又因为,则,即得
所以是以为首项,以2为公比的等比数列
所以,即
（2）由(1)可得
则应用等比数列和等差数列前项和公式
21．（2022春·江西·高二校联考阶段练习）已知点，圆C：.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，过点的直线垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)或
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；
（2）过点的直线垂直平分弦AB，则圆心在直线上，由此可得直线的斜率，然后由垂直求得，由直线与圆相交求得的范围，比较可得．
【详解】（1）∵点，直线l过点P，
∴设直线l的斜率为k（k存在），则方程为.
又题C的圆心为，半径，
由弦长为，故弦心距，由，解得.
所以直线方程为，即.
当l的斜率不存在时，l的方程为，经验证也满足条件.
故l的方程为或.
（2）把直线，即.代入圆C的方程，
消去y，整理得.
由于直线交圆C于A，B两点，
故，即，解得.
设符合条件的实数a存在，由于垂直平分弦AB，故圆心必在上.
所以的斜率，而，所以.
由于，
故不存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦AB.
22．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆：，A为椭圆与y轴交点，，为椭圆左、右焦点，为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆C交于，N两点，点，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，当时，求证直线恒过一定点？
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解出即可得结果；
（2）设直线的方程为，，，联立直线的方程与椭圆方程，通过韦达定理将化简得，即可求出直线恒过的定点.
【详解】（1）由题意得，解得
所以求椭圆的方程为.
（2）由题意易知直线的斜率不为0，
故可设，，，
联立得，
由得，
所以，，
，
即，
所以直线的方程为，即，
所以证直线恒过一定点.