人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念当堂达标检测题，共25页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24430" 【题型1 集合概念的理解】 PAGEREF _Tc24430 \h 1
\l "_Tc24104" 【题型2 判断是否为同一集合】 PAGEREF _Tc24104 \h 2
\l "_Tc24906" 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 PAGEREF _Tc24906 \h 3
\l "_Tc15331" 【题型4 判断元素与集合的关系】 PAGEREF _Tc15331 \h 3
\l "_Tc6726" 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 PAGEREF _Tc6726 \h 4
\l "_Tc9734" 【题型6 确定集合中的元素】 PAGEREF _Tc9734 \h 4
\l "_Tc31168" 【题型7 用列举法表示集合】 PAGEREF _Tc31168 \h 5
\l "_Tc5778" 【题型8 用描述法表示集合】 PAGEREF _Tc5778 \h 6
\l "_Tc16714" 【题型9 集合中的新定义问题】 PAGEREF _Tc16714 \h 7
【知识点1 集合的概念】
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【题型1 集合概念的理解】
【例1】（2022·高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品D．地球上的小河流
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近2的所有实数；③方程x2+2x+2=0的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③④
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-3】（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①2的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1B．2C．3D．4
【题型2 判断是否为同一集合】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={(3,2)}，N={(2,3)}
B．M={2,3}，N={3,2}
C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}
D．M={2,3}，N={(2,3)}
【变式2-1】（2023·高三课时练习）设Q是有理数，集合X={x|x=a+b2,a,b∈Q,x≠0}，在下列集合中；
（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）{y|y=x2,x∈X}；与X相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．M=−1,3，N=3,−1
B．M=−1,3，N=3,−1
C．M=x,yy=x2+3x，N=xy=x2+3x
D．M=∅，N=∅
【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1
B．∅与0是同一个集合
C．集合xy=x2−1与集合yy=x2−1是同一个集合
D．集合xx2+5x+6=0与集合x2+5x+6=0是同一个集合
【题型3 集合中元素特性的求参问题】
【例3】（2023·高一课时练习）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．−1B．1C．3D．2
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）数集1，2，x2−3中的x不能取的数值的集合是（ ）
A．2，5B．−2，−5C．±2，±5D．2，−5
【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）在集合A=1,a2−a−1,a2−2a+2中，a的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=B，则实数x的取值集合为（ ）
A．{−1,0,2}B．{−2,2}C．−1,0,2D．{−2,1,2}
【知识点2 元素与集合的关系】
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法

【题型4 判断元素与集合的关系】
【例4】（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（ ）
①12∈R；② 5∉Q；③−3∈N；④−3∈Q.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=x|xx−1=0,那么（ ）
A．0∈MB．1∉MC．−1∈MD．0∉M
【变式4-2】（2023春·福建龙岩·高一校考开学考试）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4∈N，⑤π∉Q，⑥|−2|∉Z.其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．2C．3D．5
【变式4-3】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合S=y|y=x2−1,T=(x,y)|x+y=0,下列关系正确的是（ ）
A．−2∈SB．2,−2∉TC．−1∉SD．−1,1∈T
【题型5 根据元素与集合的关系求参数】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=12,a2+4a,a−2，−3∈A，则a=（ ）
A．−1B．−3或1C．3D．−3
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若a∈{1,3,a2}，则a的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2+a>0，且2∉A，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≤4B．aa≥4C．aa≤−4D．aa≥−4
【变式5-3】（2022秋·高一单元测试）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2−2∈A,k−2∉A，则集合B中所有的元素之和为（ ）
A．0B．2C．−1D．−2
【题型6 确定集合中的元素】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅,∅
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知关于x的方程x2−mx+m2−3=0的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2B．−2C．±2D．不存在
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·高二校考阶段练习）已知集合A=−1,0,1，B=m|m2−1∈A,m−1∉A，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．2
【知识点3 集合的表示法】
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【题型7 用列举法表示集合】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.
（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【变式7-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={a|关于x的方程x+ax2−2=1有唯一实数解}，试用列举法表示集合A．
【变式7-2】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
【变式7-3】（2023·江苏·高一假期作业）若集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【题型8 用描述法表示集合】
【例8】（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【变式8-1】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【变式8-2】（2022秋·陕西安康·高一校考阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程2x−1+2y+1=0的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数y=x2+2x−10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【变式8-3】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；
（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【题型9 集合中的新定义问题】
【例9】（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A+B的所有元素之和为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【变式9-1】（2023·江苏·高一假期作业）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M=(a,b)a※b=8中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【变式9-2】（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义A⊗B=x|x=mn,m∈A,n∈B,若A=1,2,4,B=2,4,8则A⊗B中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【变式9-3】（2022·上海·高一专题练习）已知集合A=0,0,0,1,1,0,0,−1,−1,0，B=x,yx≤2,y≤2,x,y∈Z，定义集合A⊕B=x1+x2,y1+y2x1,y1∈A,x2,y2∈B，则A⊕B中元素的个数为（ ）．
A．77B．49C．45D．30
专题1.1 集合的概念【九大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23262" 【题型1 集合概念的理解】 PAGEREF _Tc23262 \h 1
\l "_Tc1960" 【题型2 判断是否为同一集合】 PAGEREF _Tc1960 \h 3
\l "_Tc26197" 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 PAGEREF _Tc26197 \h 4
\l "_Tc10526" 【题型4 判断元素与集合的关系】 PAGEREF _Tc10526 \h 6
\l "_Tc23172" 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 PAGEREF _Tc23172 \h 7
\l "_Tc22144" 【题型6 确定集合中的元素】 PAGEREF _Tc22144 \h 8
\l "_Tc31153" 【题型7 用列举法表示集合】 PAGEREF _Tc31153 \h 10
\l "_Tc13214" 【题型8 用描述法表示集合】 PAGEREF _Tc13214 \h 12
\l "_Tc8329" 【题型9 集合中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8329 \h 13
【知识点1 集合的概念】
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【题型1 集合概念的理解】
【例1】（2022·高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品D．地球上的小河流
【解题思路】根据集合的知识可选出答案.
【解答过程】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；
接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；
未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；
地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；
故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近2的所有实数；③方程x2+2x+2=0的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③④
【解题思路】根据集合的概念及性质依次判断即可得到答案.
【解答过程】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.
对②，充分接近2的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，
对③，方程x2+2x+2=0，Δ=4−4×2<0，方程无实根，集合为空集，
对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，
故选：B.
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解题思路】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【解答过程】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
【变式1-3】（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①2的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.
【解答过程】①2的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；
②自然数集N中最小的元素是0，正确；
③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z，整数的相反数还是整数，正确，
④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，
故选：C．
【题型2 判断是否为同一集合】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={(3,2)}，N={(2,3)}
B．M={2,3}，N={3,2}
C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}
D．M={2,3}，N={(2,3)}
【解题思路】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；
【解答过程】A.M、N都是点集，3,2与2,3是不同的点，则M、N是不同的集合，故错误；
B.M=2,3，N=3,2，根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故正确；
C.M=(x,y)∣x+y=1，M集合的元素表示点的集合，N=y∣x+y=1，N表示直线x+y=1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.M=2,3集合M的元素是两个数字2，3，N=(2,3)，集合N的元素是一个点2,3，故错误；
故选：B.
【变式2-1】（2023·高三课时练习）设Q是有理数，集合X={x|x=a+b2,a,b∈Q,x≠0}，在下列集合中；
（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）{y|y=x2,x∈X}；与X相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解题思路】将x=a+b2分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断p,q与a,b是否一一对应，再举反例判断（4）.
【解答过程】对于（1），由2(a+b2)=p+q2，得p=2a,q=2b，一一对应，则{y|y=2x,x∈X}=X
对于（2），由a+b22=b+a2⋅2=p+q2，得p=d,q=a2，一一对应，则{y|y=x2,x∈X}=X
对于（3），由1a+b2=aa2−2b2+(−ba2−2b2)⋅2=p+q2，得p=aa2−2b2,q=−ba2−2b2，一一对应，则{y|y=1x,x∈X}=X
对于（4），−1−2∈X，但方程−1−2=x2无解，则{y|y=x2,x∈X}与X不相同
故选：B.
【变式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．M=−1,3，N=3,−1
B．M=−1,3，N=3,−1
C．M=x,yy=x2+3x，N=xy=x2+3x
D．M=∅，N=∅
【解题思路】根据集合元素的性质可判断.
【解答过程】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；
对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；
对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；
对D，M是以∅为元素的集合，N是空集，则D不正确．
故选：B．
【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1
B．∅与0是同一个集合
C．集合xy=x2−1与集合yy=x2−1是同一个集合
D．集合xx2+5x+6=0与集合x2+5x+6=0是同一个集合
【解题思路】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案
【解答过程】集合中的元素具有无序性，故A正确；
∅是不含任何元素的集合，0是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合xy=x2−1=R，集合yy=x2−1=yy≥−1，故C错误；
集合xx2+5x+6=0=xx+2x+3=0中有两个元素−2,−3，集合x2+5x+6=0中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.
故选：A.
【题型3 集合中元素特性的求参问题】
【例3】（2023·高一课时练习）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．−1B．1C．3D．2
【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【解答过程】由题意由a2，2−a，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为a2=2−a=3无解，故由a2，2−a，3组成的集合A的元素个数为3，
故a2≠2−a≠3，即a≠−2,a≠1,a≠−1,a≠±3，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D.
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）数集1，2，x2−3中的x不能取的数值的集合是（ ）
A．2，5B．−2，−5C．±2，±5D．2，−5
【解题思路】利用集合中的元素具有互异性的性质列出关于x的不等式，解之即可得到x不能取的数值的集合．
【解答过程】由x2−3≠1解得x≠±2；由x2−3≠2解得x≠±5．
∴x不能取的值的集合为±2，±5．
故选：C．
【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）在集合A=1,a2−a−1,a2−2a+2中，a的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【解题思路】首先排除a不可以取的值，可得a=−1,1,2,3时不符题意，当a=0时满足题意，即可得解.
【解答过程】首先确定a不可以取的值，由a2−a−1=1可得a=−1或a=2，
由a2−2a+2=1可得a=1，
当a2−a−1=a2−2a+2可得a=3，
所以a的值不能取-1，1，2，3，
当a=0时有A=1,−1,2可以取，
故选：A.
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=B，则实数x的取值集合为（ ）
A．{−1,0,2}B．{−2,2}C．−1,0,2D．{−2,1,2}
【解题思路】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【解答过程】因为A=B，所以−2∈A.
当x=−2时，2y=1−y，得y=13；
当2y=−2时，则x=2.
故实数x的取值集合为−2,2.
故选：B.
【知识点2 元素与集合的关系】
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法

【题型4 判断元素与集合的关系】
【例4】（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（ ）
①12∈R；② 5∉Q；③−3∈N；④−3∈Q.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解题思路】判断数所在数域，得到正确答案.
【解答过程】12为实数，①正确；5是无理数，5∉Q，②正确；
−3=3是自然数，③正确；−3=3∉Q，④错误，
故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=x|xx−1=0,那么（ ）
A．0∈MB．1∉MC．−1∈MD．0∉M
【解题思路】确定结合M=x|xx−1=0的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.
【解答过程】由题意知集合M=x|xx−1=0={0,1}，
故0∈M，故A正确，D错误，1∈M，故B错误，−1∉M，故C错误，
故选：A.
【变式4-2】（2023春·福建龙岩·高一校考开学考试）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4∈N，⑤π∉Q，⑥|−2|∉Z.其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．2C．3D．5
【解题思路】根据数的分类一一判断即可.
【解答过程】22为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以22∈R，所以①正确；
3是无理数，所以3∉Z，所以②错误；
0不是正整数，所以0∉N∗，所以③正确；
4=2∈N，所以④正确；
π是无理数，所以π∉Q，所以⑤正确；
|−2|=2∈Z，所以⑥错误.
故选:A.
【变式4-3】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合S=y|y=x2−1,T=(x,y)|x+y=0,下列关系正确的是（ ）
A．−2∈SB．2,−2∉TC．−1∉SD．−1,1∈T
【解题思路】根据元素与集合的关系求解.
【解答过程】因为S=y|y=x2−1=y|y≥−1，
所以A、C错误，
因为2+−2=0，所以2,−2∈T，所以B错误，
又−1+1=0，所以−1,1∈T，所以D正确，
故选:D．
【题型5 根据元素与集合的关系求参数】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=12,a2+4a,a−2，−3∈A，则a=（ ）
A．−1B．−3或1C．3D．−3
【解题思路】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.
【解答过程】∵−3∈A，∴−3=a2+4a或−3=a−2．
若−3=a2+4a，解得a=−1或a=−3．
当a=−1时，a2+4a=a−2=−3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a=−3时，集合A=12,−3,−5，满足题意，故a=−3成立．
若−3=a−2，解得a=−1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，a=−3．
故选：D．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若a∈{1,3,a2}，则a的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【解题思路】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a的可能取值.
【解答过程】a=0，则a∈{1,3,0}，符合题设；
a=1时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
a=3时，则a∈{1,3,9}，符合题设；
∴a=0或a=3均可以.
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2+a>0，且2∉A，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≤4B．aa≥4C．aa≤−4D．aa≥−4
【解题思路】结合元素与集合的关系得到22+a≤0，解不等式即可求出结果.
【解答过程】由题意可得22+a≤0，解得a≤−4，
故选：C.
【变式5-3】（2022秋·高一单元测试）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2−2∈A,k−2∉A，则集合B中所有的元素之和为（ ）
A．0B．2C．−1D．−2
【解题思路】根据集合的定义求出集合B后可得结论．
【解答过程】A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2−2∈A,k−2∉A，
①当k2−2=2时，k=±2，
k=2时，k−2=0∈A，∴k≠2；
k=−2时，k−2=−4∉A，满足条件；
②当k2−2=0时，k=±2，k−2=±2−2∉A，满足条件；
③当k2−2=1时，k=±3，k−2=±3−2∉A，满足条件；
④当k2−2=9时，k=±11，k−2=±11−2∉A，满足条件．
从而得到B=±2,±11,±3,−2，
所以集合B中所有元素之和为−2．
故选：D．
【题型6 确定集合中的元素】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅,∅
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【解题思路】根据元素与集合的关系判断．
【解答过程】集合A有两个元素：∅和∅，
故选：B.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【解题思路】根据x−y的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数．
【解答过程】当x−y=0时，有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)，6个元素；
当x−y=1时，有(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)，5个元素；
当x−y=2时，有(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)，4个元素；
当x−y=3时，有(3,0),(4,1),(5,2)，3个元素；
当x−y=4时，有(4,0),(5,1)，2个元素；
当x−y=5时，有(5,0)，1个元素，
综上，一共有21个元素．
故选：B．
【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知关于x的方程x2−mx+m2−3=0的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2B．−2C．±2D．不存在
【解题思路】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.
【解答过程】因为关于x的方程x2−mx+m2−3=0的解集只有一个元素，
所以Δ=m2−4m2−3=0，解得m=±2.
故选：C.
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·高二校考阶段练习）已知集合A=−1,0,1，B=m|m2−1∈A,m−1∉A，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．2
【解题思路】根据题意列式求得m的值，即可得出答案.
【解答过程】根据条件分别令m2−1=−1,0,1，解得m=0,±1,±2，
又m−1∉A，所以m=−1,±2，B=−1,2,−2，
所以集合B中所有元素之和是−1，
故选：C．
【知识点3 集合的表示法】
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【题型7 用列举法表示集合】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.
（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【解题思路】（1）直接将大于1且小于6的整数，写出集合A；
（2）求得方程x2－9＝0的实数根，得到集合B；
（3）联立y＝x＋3与y＝－2x＋6，求得交点，得到集合D.
【解答过程】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
（2）方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}.
（3）由y=x+3y=−2x+6,得x=1y=4
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，
所以D＝{(1，4)}.
【变式7-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={a|关于x的方程x+ax2−2=1有唯一实数解}，试用列举法表示集合A．
【解题思路】当a≠±2时化方程x+ax2−2=1为x2−x−(a+2)=0．由判别式为0得a=−94，当a=2时，当a=−2时，验证有唯一实数解，由此能求出结果．
【解答过程】当a≠±2时，化方程x+ax2−2=1为x2−x−(a+2)=0．
∵方程有唯一实数根，
∴由判别式为零可得1+4(a+2)=0，得a=−94，
此时的解为x=12，符合题意．
当a=2时，x+ax2−2=1x−2=1有唯一实数解x=2+1．
当a=−2时，x+ax2−2=1x+2=1有唯一实数解x=1−2．
∴A={−94，−2，2}．
【变式7-2】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
【解题思路】根据题意求得元素，在用列举法即可表示（1）（2）（3）.
【解答过程】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，
所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，
所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}.
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，
故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}.
【变式7-3】（2023·江苏·高一假期作业）若集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【解题思路】集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，即方程kx2−8x+16=0只有一个解，再讨论当k=0时，当k≠0时方程的解的个数，再求集合A即可.
【解答过程】解：由集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，
即方程kx2−8x+16=0只有一个解，
①当k=0时，方程为−8x+16=0，解得x=2，即A=2；
②当k≠0时，方程kx2−8x+16=0只有一个解，则Δ=(−8)2−4×16×k=0，即k=1，
即方程为x2−8x+16=0，解得x=4，即A=4，
综合①②可得：实数k的值为0或1，当k=0时，A=2；当k=1，A=4.
【题型8 用描述法表示集合】
【例8】（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【解题思路】利用集合的描述法即得.
【解答过程】（1）
奇数组成的集合为xx=2k−1,k∈Z；
（2）
平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为x,yx>0,y>0.
【变式8-1】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【解题思路】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质.
【解答过程】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：{x|x=3n+1,n∈N}；
（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：{(x,y)|x>0,y>0}；
（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：{x|x=2n,n≥3,n∈Z}．
【变式8-2】（2022秋·陕西安康·高一校考阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程2x−1+2y+1=0的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数y=x2+2x−10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【解题思路】根据题意逐项代入分析即可求解.
【解答过程】（1）方程2x−1+|2y+1|=0的解集为{(12,−12)}.
（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0}.
（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为{x∈N+|x=5n+3，n∈N}.
（4）用描述法表示二次函数y=x2+2x−10的图象上所有点的纵坐标组成的集合为{y|y=x2+2x−10}．
【变式8-3】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；
（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【解题思路】根据描述法的表示形式，（1），（3）表示的是点集，都用(x,y)表示元素，再根据条件写出x,y满足的条件，从而可表示出集合，对于（2），（4）都用x表示元素，再根据条件写出x满足的条件，从而表示出这个集合
【解答过程】（1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
（3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为x,y0≤x≤32,0≤y≤1.
（4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
【题型9 集合中的新定义问题】
【例9】（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A+B的所有元素之和为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【解题思路】由集合的新定义计算即可.
【解答过程】由题设知A+B=2,3,4,5，
∴所有元素之和为2+3+4+5=14，
故选：A.
【变式9-1】（2023·江苏·高一假期作业）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M=(a,b)a※b=8中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【解题思路】根据定义结合已知条件，对m,n分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解
【解答过程】（1）m，n都是正偶数时：
m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法；
∴m,n有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素；
（2）m，n都为正奇数时：
m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法；
∴m,n有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素；
（3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时：
当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素；
∴集合M的元素个数是3+4+2=9．
故选：B．
【变式9-2】（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义A⊗B=x|x=mn,m∈A,n∈B,若A=1,2,4,B=2,4,8则A⊗B中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【解题思路】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可.
【解答过程】因为A⊗B=x|x=mn,m∈A,n∈B,且A=1,2,4,B=2,4,8，
当m=1时，n可能为2,4,8，此时x的取值为：12，14，18；
当m=2时，n可能为2,4,8，此时x的取值为：1,12，14；
当m=4时，n可能为2,4,8，此时x的取值为：2,1,12；
综上可知：A⊗B={18,14,12,1,2}，所以集合A⊗B中元素个数为5，
故选：D.
【变式9-3】（2022·上海·高一专题练习）已知集合A=0,0,0,1,1,0,0,−1,−1,0，B=x,yx≤2,y≤2,x,y∈Z，定义集合A⊕B=x1+x2,y1+y2x1,y1∈A,x2,y2∈B，则A⊕B中元素的个数为（ ）．
A．77B．49C．45D．30
【解题思路】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出A⊕B表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出A⊕B中元素的个数.
【解答过程】集合A中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示．
集合B=x,yx≤2,y≤2,x,y∈Z中有25个元素（即25个点），即下图中正方形ABCD内部及正方形ABCD边上的整点．
所以x1+x2=−3或−2或−1或0或1或2或3，共7个值；
所以y1+y2=−3或−2或−1或0或1或2或3，共7个值，
所以集合A⊕B=x1+x2,y1+y2x1,y1∈A,x2,y2∈B中的元素可看作下图中正方形A1B1C1D1内部及正方形A1B1C1D1边上除去四个顶点外的整点，共7×7−4=45（个）．
故选C.