高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词当堂达标检测题，共21页。


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\l "_Tc14015" 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】 PAGEREF _Tc14015 \h 2
\l "_Tc11046" 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 PAGEREF _Tc11046 \h 2
\l "_Tc3432" 【题型3 根据命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc3432 \h 3
\l "_Tc6766" 【题型4 全称量词命题的否定】 PAGEREF _Tc6766 \h 4
\l "_Tc16746" 【题型5 存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc16746 \h 4
\l "_Tc26112" 【题型6 命题否定的真假判断】 PAGEREF _Tc26112 \h 5
\l "_Tc24724" 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 PAGEREF _Tc24724 \h 6
【知识点1 全称量词与存在量词】
1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.
【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【例1】（2022秋·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数D．∃x∈R，x2=x
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【变式1-2】（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式D．存在奇数不是素数
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是180°．
A．0B．1C．2D．3
【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．l是最小的自然数B．所有的素数都是奇数
C．∀x∈R,sinx+2>0D．对任意一个无理数x，x2也是无理数
【变式2-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．∃x∈N，使4x<−3B．∀x∈R，x2+2>0
C．∀x∈N，2x>x2D．∃x∈Z，使3x−2=0
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．所有菱形的四条边都相等
B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N
C．任意x∈R，x2+2x+1>0
D．π是无理数
【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x>2
【题型3 根据命题的真假求参数】
【例3】（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知命题“∀x∈−3,3，−x2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−4,+∞)B．21,+∞
C．−∞,21D．−3,+∞
【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高一校考期末）命题p:∃x0∈R，使得kx02−6kx0+k+8<0成立.若p是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,1
C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,0∪1,+∞
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a≥1B．a≥3C．a≥2D．a≤4
【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知命题p:∃x∈R，mx2+1≤0；命题q:∀x∈R，x2+mx+1>0．若p，q都是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤−2B．m≥2C．m≥2或m≤−2D．−2≤m≤2
【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq \(――→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
3．对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq \(――→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【题型4 全称量词命题的否定】
【例4】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）命题“∀x>0,x>x”的否定是（ ）
A．∀x>0,x≤xB．∃x>0,x≤x
C．∀x≤0,x>xD．∃x>0,x>x
【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知命题p：∀a∈N，∃b∈N，使得a>b，则¬p为（ ）
A．∃a∈N，∀b∉N，使得a≤b
B．∃a∉N，∀b∉N，使得a≤b
C．∃a∈N，∀b∈N，使得a≤b
D．∀a∈N，∀b∈N，使得a≤b
【变式4-2】（2023秋·广西河池·高一统考期末）命题“∀x∈R,2x2+3x−5>0”的否定是（ ）
A．∀x∈R,2x2+3x−5<0B．∀x∈R,2x2+3x−5≤0
C．∃x∈R,2x2+3x−5≤0D．∃x∈R,2x2+3x−5<0
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）命题p:∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根，则对命题p的真假判断和¬p正确的为（ ）
A．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
B．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
C．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
D．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
【题型5 存在量词命题的否定】
【例5】（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“∃x∈N,5xA．∀x∈N,5xx3+1
C．∀x∈N,5x≥x3+1D．∀x∉N,5x≥x3+1
【变式5-1】（2023·宁夏银川·校考三模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数
【变式5-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）命题“∃x>0，x2−ax+b>0”的否定是（ ）
A．∃x>0，x2−ax+b≤0B．∃x≤0，x2−ax+b>0
C．∀x≤0，x2−ax+b≤0D．∀x>0，x2−ax+b≤0
【变式5-3】（2023·宁夏银川·校考二模）已知命题P的否定为“∃x∈R,x2+1≤1”,则下列说法中正确的是（ ）
A．命题P为“∃x∈R,x2+1>1”且为真命题
B．命题P为“∀x∉R,x2+1>1”且为假命题
C．命题P为“∀x∈R,x2+1>1”且为假命题
D．命题P为“∃x∈R,x2+1≥1”且为真命题
【知识点3 命题的否定与原命题的真假】
1．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
2.命题否定的真假判断
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【题型6 命题否定的真假判断】
【例6】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x-3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【变式6-1】（2022秋·高一校考课时练习）写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形.
【变式6-2】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)末尾数是偶数的数能被4整除；
(2)对任意实数x，都有x2−2x−3<0；
(3)方程x2−5x−6=0有一个根是奇数．
【变式6-3】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x−3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x.
【题型7 根据命题否定的真假求参数】
【例7】（2023·高一课时练习）设命题p:方程x2+2mx+4=0有实数根；命题q:方程x2+2(m−2)x−3m+10=0有实数根．已知p和¬q均为真命题，求实数m的取值范围．
【变式7-1】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【变式7-2】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）已知a∈R，p:∃x∈x10； q:∀x∈R,x2+ax+4>0
(1)写出p的否定，并求当p的否定为真命题时，实数a的取值范围;
(2)若p，q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.
【变式7-3】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤x≤2，x≤a2+1，命题q：∃1≤x≤2，一次函数y=x+a的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围．
专题1.5 全称量词与存在量词【七大题型】
【人教A版（2019）】
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\l "_Tc14015" 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】 PAGEREF _Tc14015 \h 2
\l "_Tc11046" 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 PAGEREF _Tc11046 \h 3
\l "_Tc3432" 【题型3 根据命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc3432 \h 4
\l "_Tc6766" 【题型4 全称量词命题的否定】 PAGEREF _Tc6766 \h 6
\l "_Tc16746" 【题型5 存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc16746 \h 7
\l "_Tc26112" 【题型6 命题否定的真假判断】 PAGEREF _Tc26112 \h 8
\l "_Tc24724" 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 PAGEREF _Tc24724 \h 10
【知识点1 全称量词与存在量词】
1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.
【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【例1】（2022秋·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数D．∃x∈R，x2=x
【解题思路】根据全称量词命题的定义分析判断.
【解答过程】对于ACD，均为存在量词命题，
对于B中的命题是全称量词命题.
故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【解题思路】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题.
【解答过程】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D.
【变式1-2】（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式D．存在奇数不是素数
【解题思路】根据存在量词与全称量词的定义即可得到答案.
【解答过程】对A选项，任何是全称量词，故A错误；
对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误；
对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；
对D选项，存在是存在量词，故D正确；
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是180°．
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据全称命题的定义即可判断答案.
【解答过程】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，
故选：D．
【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．l是最小的自然数B．所有的素数都是奇数
C．∀x∈R,sinx+2>0D．对任意一个无理数x，x2也是无理数
【解题思路】根据全称量词命题的知识确定正确答案.
【解答过程】0是最小的自然数，所以A选项错误.
2是素数，但2是偶数，所以B选项错误.
由于−1≤sinx≤1，所以∀x∈R,sinx+2>0，C选项正确.
2是无理数，但22=2是有理数，所以D选项错误.
故选：C.
【变式2-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．∃x∈N，使4x<−3B．∀x∈R，x2+2>0
C．∀x∈N，2x>x2D．∃x∈Z，使3x−2=0
【解题思路】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断.
【解答过程】对于A，由4x<−3，得x<−34，所以不存在自然数使4x<−3成立，所以A错误，
对于B，因为∀x∈R时，x2≥0，所以x2+2≥2>0，所以B正确，
对于C，当x=2时，2x=x2=4，所以C错误，
对于D，由3x−2=0，得x=23∉Z，所以D错误，
故选：B.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．所有菱形的四条边都相等
B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N
C．任意x∈R，x2+2x+1>0
D．π是无理数
【解题思路】首先判断全称量词命题，再判断真假.
【解答过程】选项A、C是全称量词命题，选项C，当x=−1时，x2+2x+1=0，所以选项C是假命题，
故选：A.
【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x>2
【解题思路】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.
【解答过程】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；
对选项B：是存在量词命题，当x=0时， x2=0成立，所以B正确；
对选项C：3+−3=0，故C为假命题；
对选项D：对于任何一个负数x，都有1x<0，所以D为假命题.
故选：B.
【题型3 根据命题的真假求参数】
【例3】（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知命题“∀x∈−3,3，−x2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−4,+∞)B．21,+∞
C．−∞,21D．−3,+∞
【解题思路】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.
【解答过程】因为命题“∀x∈−3,3，−x2+4x+a≤0”为假命题，
所以−x2+4x+a>0在x∈[−3,3]上有解，所以(−x2+4x+a)max>0，
而一元二次函数−x2+4x+a在x=−42×(−1)=2时取最大值，
即−22+4×2+a>0解得a>−4，
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高一校考期末）命题p:∃x0∈R，使得kx02−6kx0+k+8<0成立.若p是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,1
C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,0∪1,+∞
【解题思路】根据p是假命题，得出¬p为真命题，利用恒成立知识求解.
【解答过程】因为p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，使得kx2−6kx+k+8≥0成立.
当k=0时，显然符合题意；
当k≠0时，则有k>0，且36k2−4kk+8≤0，解得0故选：A.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a≥1B．a≥3C．a≥2D．a≤4
【解题思路】求出当命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题时，实数a的取值范围，结合题意可得出合适的选项.
【解答过程】命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题，则a≥x22max=2，
因此，命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是a≥1.
故选：A.
【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知命题p:∃x∈R，mx2+1≤0；命题q:∀x∈R，x2+mx+1>0．若p，q都是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤−2B．m≥2C．m≥2或m≤−2D．−2≤m≤2
【解题思路】写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.
【解答过程】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：∀x∈R,mx2+1>0为真命题，
解得m≥0，
同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即∃∈R,x2+mx+1≤0为真命题，
所以Δ=m2−4≥0，解得m≥2或m≤−2，
综上：m≥2，
故选：B.
【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq \(――→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
3．对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq \(――→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【题型4 全称量词命题的否定】
【例4】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）命题“∀x>0,x>x”的否定是（ ）
A．∀x>0,x≤xB．∃x>0,x≤x
C．∀x≤0,x>xD．∃x>0,x>x
【解题思路】利用含有一个量词的命题的否定求解.
【解答过程】解：因为命题“∀x>0,x>x”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即∃x>0,x≤x，
故选：B.
【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知命题p：∀a∈N，∃b∈N，使得a>b，则¬p为（ ）
A．∃a∈N，∀b∉N，使得a≤b
B．∃a∉N，∀b∉N，使得a≤b
C．∃a∈N，∀b∈N，使得a≤b
D．∀a∈N，∀b∈N，使得a≤b
【解题思路】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解.
【解答过程】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题p：∀a∈N，∃b∈N，
使得a>b的否定¬p为：∃a∈N，∀b∈N，使得a≤b.
故选：C .
【变式4-2】（2023秋·广西河池·高一统考期末）命题“∀x∈R,2x2+3x−5>0”的否定是（ ）
A．∀x∈R,2x2+3x−5<0B．∀x∈R,2x2+3x−5≤0
C．∃x∈R,2x2+3x−5≤0D．∃x∈R,2x2+3x−5<0
【解题思路】根据全称命题的否定，可得答案.
【解答过程】由全称命题的否定知原命题的否定为∃x∈R,2x2+3x−5≤0．
故选：C．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）命题p:∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根，则对命题p的真假判断和¬p正确的为（ ）
A．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
B．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
C．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
D．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
【解题思路】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.
【解答过程】在一元二次方程x2−ax−1=0中Δ=a2+4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，
故命题p为真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根.
故选：A.
【题型5 存在量词命题的否定】
【例5】（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“∃x∈N,5xA．∀x∈N,5xx3+1
C．∀x∈N,5x≥x3+1D．∀x∉N,5x≥x3+1
【解题思路】根据特称命题的否定相关知识直接求解.
【解答过程】命题“∃x∈N,5x故选：C.
【变式5-1】（2023·宁夏银川·校考三模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数
【解题思路】根据存在量词命题p:∃x∈M,p(x)，否定为¬p:∀x∈M,¬p(x)，即可解得正确结果.
【解答过程】由于存在量词命题p:∃x∈M,p(x)，否定为¬p:∀x∈M,¬p(x).所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：B.
【变式5-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）命题“∃x>0，x2−ax+b>0”的否定是（ ）
A．∃x>0，x2−ax+b≤0B．∃x≤0，x2−ax+b>0
C．∀x≤0，x2−ax+b≤0D．∀x>0，x2−ax+b≤0
【解题思路】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【解答过程】命题“∃x>0，x2−ax+b>0”为特称量词命题，
其否定为：∀x>0，x2−ax+b≤0.
故选：D.
【变式5-3】（2023·宁夏银川·校考二模）已知命题P的否定为“∃x∈R,x2+1≤1”,则下列说法中正确的是（ ）
A．命题P为“∃x∈R,x2+1>1”且为真命题
B．命题P为“∀x∉R,x2+1>1”且为假命题
C．命题P为“∀x∈R,x2+1>1”且为假命题
D．命题P为“∃x∈R,x2+1≥1”且为真命题
【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.
【解答过程】∵命题P的否定为特称命题,
∴P:∀x∈R,x2+1>1,排除AD;
因为当x=0时,x2+1=1,
∴P为假命题,排除B.
故选:C.
【知识点3 命题的否定与原命题的真假】
1．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
2.命题否定的真假判断
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【题型6 命题否定的真假判断】
【例6】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x-3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【解题思路】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.
【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．
（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．
（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
【变式6-1】（2022秋·高一校考课时练习）写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形.
【解题思路】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.
【解答过程】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.
（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.
（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.
（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.
【变式6-2】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)末尾数是偶数的数能被4整除；
(2)对任意实数x，都有x2−2x−3<0；
(3)方程x2−5x−6=0有一个根是奇数．
【解题思路】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又2不能被4整除，可得命题的否定为真；
（2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当x=3时符合不等式，则命题的否定为真；
（3）利用特称命题的定义进行判断原命题，又方程的两根为6和−1，则则命题的否定为假．
【解答过程】（1）该命题是全称命题，
该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；
该命题的否定是真命题．
（2）该命题是全称命题，
该命题的否定是：存在实数x，使得x2−2x−3≥0；
该命题的否定是真命题．
（3）该命题是特称命题，
该命题的否定是：方程x2−5x−6=0的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题．
【变式6-3】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x−3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x.
【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,
对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;
对(2)举例说明4x−3≤x不成立;
对(3)举例说明x+1≠2x成立.
【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定：∀x∈R，有4x−3≤x．因为当x=2时，4×2−3=5>2 ，所以“∀x∈R，有4x−3≤x”是假命题．
（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．
【题型7 根据命题否定的真假求参数】
【例7】（2023·高一课时练习）设命题p:方程x2+2mx+4=0有实数根；命题q:方程x2+2(m−2)x−3m+10=0有实数根．已知p和¬q均为真命题，求实数m的取值范围．
【解题思路】分别求解p和¬q为真命题时的m的取值，取交集可得答案.
【解答过程】当命题p:方程x2+2mx+4=0有实数根为真命题时，Δ=4m2−16≥0，解得m≥2或m≤−2；
当命题q:方程x2+2(m−2)x−3m+10=0有实数根为真命题时，4m−22−410−3m≥0，解得m≥3或m≤−2，即¬q为真命题时，−2所以p和¬q均为真命题时m∈2,3.
【变式7-1】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【解题思路】根据¬q为假命题，可判断q为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；
【解答过程】因为¬q为假命题，所以q为真命题，
命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x， 为真命题，则m≥xmax，即m≥3
命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1
因为命题p、q同时为真命题，所以m≥3m≥1，解得m≥3，
故实数m的取值范围是3,+∞．
【变式7-2】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）已知a∈R，p:∃x∈x10； q:∀x∈R,x2+ax+4>0
(1)写出p的否定，并求当p的否定为真命题时，实数a的取值范围;
(2)若p，q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）根据特称命题的否定为全称命题可写出否定，并转化为a−2≤1x对任意x∈x1（2）命题p为真，则a>52，命题q为真，则−4【解答过程】（1）由题意，p的否定为p:∀x∈x1若p的否定为真命题，则a−2≤1x对任意x∈x1所以只需a−2≤12，解得a≤52；
（2）由（1）可得，当p的否定为真命题时，a≤52，所以当p为真命题时，a>52.
若q为真命题，则对于任意的x∈R，x2+ax+4>0恒成立，
因此只需Δ=a2−16<0，解得−4因为p，q中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况：
①若p为真命题，q为假命题，则有a>52a≤−4或a>52a≥4，解得a≥4；
②若p为假命题，q为真命题，则有a≤52−4综上可知，实数a的取值范围是−4【变式7-3】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤x≤2，x≤a2+1，命题q：∃1≤x≤2，一次函数y=x+a的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由全称命题的否定与真假判断求解即可；
（2）由全称命题与特称命题的真假判断求解即可
【解答过程】（1）∵命题p的否定为真命题，
命题p的否定为：∃1≤x≤2，x>a2+1，
∴a2+1<2，
∴−1（2）若命题p为真命题，则a2+1≥2，即a≥1或a≤−1．
∵命题q的否定为真命题，
∴“∀1≤x≤2，一次函数y=x+a的图象在x轴及x轴上方”为真命题．
∴1+a≥0，即a≥−1．
∴实数a的取值范围为1,+∞∪−1．全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”