必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课时作业

这是一份必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课时作业，共24页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7243" 【题型1 对函数概念的理解】 PAGEREF _Tc7243 \h 1
\l "_Tc12589" 【题型2 求函数的定义域】 PAGEREF _Tc12589 \h 2
\l "_Tc27938" 【题型3 求函数的值域】 PAGEREF _Tc27938 \h 3
\l "_Tc9316" 【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 PAGEREF _Tc9316 \h 3
\l "_Tc27753" 【题型5 求函数值或由函数值求参】 PAGEREF _Tc27753 \h 4
\l "_Tc32110" 【题型6 同一函数的判断】 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc14295" 【题型7 函数的表示法】 PAGEREF _Tc14295 \h 5
\l "_Tc1569" 【题型8 分段函数】 PAGEREF _Tc1569 \h 7
【知识点1 函数的概念】
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
【题型1 对函数概念的理解】
【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（ ）
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}下列表示从A到B的函数是（ ）
A．f:x→y,y=13xB．f:x→y,y=2x
C．f:x→y,y=2xD．f:x→y,y=x
【变式1-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A=x0≤x≤4，集合B=x0≤x≤2，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 求函数的定义域】
【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y=1x−1+x+2的定义域为（ ）
A．xx≥−2且x≠1B．xx≥−2C．xx<−2D．xx∈R且x≠1
【变式2-1】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x+1)的定义域是−2,3，则函数f(2x−1)的定义域（ ）
A．−1,4B．−7,3C．−3,7D．0,52
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）若函数fx的定义域为0,4，则函数gx=fx+2+1x−1 的定义域为（ ）
A．1,2B．1,4C．1,2D．1,4
【变式2-3】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−8,1，则函数gx=f2x+1x+2的定义域（ ）
A．−92,−2∪−2,0B．−8,−2∪−2,1C．−∞,−2∪−2,3D．−92,−2
【题型3 求函数的值域】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（ ）
A．{1,2}B．[1,2]C．{0,1}D．[1,+∞)
【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）函数fx=2−−x2+4x的值域是（ ）
A．−2,2B．1,2C．0,2D．−2,2
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（ ）
A．y=xB．y=1xC．y=−x2D．y=x2−2x+1
【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则y=[f(x)]2+f(x2)的值域为（ ）
A．[1,3]B．[1,9]C．[12,36]D．[12,204]
【题型4 由函数的定义域或值域求参数】
【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=32−xax2+ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．0≤a<8
C．0【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=3x−1x+3(x≠−3)ax=−3的定义域与值域相同，则常数a=（ ）
A．3B．−3C．13D．−13
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x2−4x−6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m的取值范围是
A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]
【变式4-3】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称b−a为区间a,b的长度，若函数fx=ax2+bx+c(a<0)的定义域与值域区间长度相等，则a的值为（ ）
A．−4B．−2C．4或−2D．与b,c的取值有关
【题型5 求函数值或由函数值求参】
【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)的值（ ）
A．3B．5C．7
【变式5-1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知fx+1=2x−3，且fa=3，则a=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知fx=ax5+1，且f−2=10，则f2=（ ）
A．−8B．10C．9D．11
【知识点2 函数的相等】
1．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
2．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)满足不等式a(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
【题型6 同一函数的判断】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（ ）
A．y=(x−1)0与y=1
B．y=x与y=x2x
C．y=x与y=x,x≥0−x,x<0
D．y=x2与y=(x−1)2
【变式6-1】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（ ）
A．y＝|x|B．y=x2xC．y=x2D．y=3x3
【变式6-2】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．fx=x+1与gx=x2+xxB．fx=x⋅xx与gt=−t，t<0t，t>0
C．fx=1，gx=x0D．fx=x2，gx=x2
【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．y=xx与y=1B．y=x3+xx2+1与y=x
C．y=x2−1x−1与y=x+1D．y=x2−2x+1与y=x−1
【知识点3 函数的表示法】
1．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
2．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
【题型7 函数的表示法】
【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（ ）
A．0B．2C．−2D．1
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（ ）
A．y=[x+210]B．y=[x+310]C．y=[x+410]D．y=[x+510]
【变式7-2】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AE=x，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．y=32|x−1|(0≤x≤2)
B．y=32−32|x−1|(0≤x≤2)
C．y=32−|x−1|(0≤x≤2)
D．y=1−|x−1|(0≤x≤2)
【题型8 分段函数】
【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)=−x,x≤0x2,x>0，则f(−3)=（ ）
A．−3B．3C．−9D．9
【变式8-1】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数fx=x−1,x>0,4x,x≤0,若fa=−12，则实数a的值为（ ）
A．12B．18C．18或−12D．−18或12
【变式8-2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）
A．17m3B．15m3C．13m3D．263m3
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）函数y=fx的图象是如图所示的折线段OAB，其中A1,2，B3,0，函数gx=x⋅fx，那么函数gx的值域为（ ）
A．0,2B．0,94
C．0，32D．0,4
专题3.1 函数的概念及其表示【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7243" 【题型1 对函数概念的理解】 PAGEREF _Tc7243 \h 1
\l "_Tc12589" 【题型2 求函数的定义域】 PAGEREF _Tc12589 \h 3
\l "_Tc27938" 【题型3 求函数的值域】 PAGEREF _Tc27938 \h 5
\l "_Tc9316" 【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 PAGEREF _Tc9316 \h 6
\l "_Tc27753" 【题型5 求函数值或由函数值求参】 PAGEREF _Tc27753 \h 7
\l "_Tc32110" 【题型6 同一函数的判断】 PAGEREF _Tc32110 \h 9
\l "_Tc14295" 【题型7 函数的表示法】 PAGEREF _Tc14295 \h 11
\l "_Tc1569" 【题型8 分段函数】 PAGEREF _Tc1569 \h 13
【知识点1 函数的概念】
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
【题型1 对函数概念的理解】
【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（ ）
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【解题思路】根据定义知BD是依赖关系，A是常量，C是确定的函数关系，得到答案.
【解答过程】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；
对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；
对选项C：耗电量与时间t的关系是y=60t,0≤t≤7，是确定的函数关系；
对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.
故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}下列表示从A到B的函数是（ ）
A．f:x→y,y=13xB．f:x→y,y=2x
C．f:x→y,y=2xD．f:x→y,y=x
【解题思路】根据题意，结合选项和函数的定义，逐项判定，即可求解.
【解答过程】由集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}，
对于A中，若f:x→y,y=13x，则集合A中任意元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合A到B的函数，符合题意；
对于B中，若f:x→y,y=2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；
对于C中，若f:x→y,y=2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；
对于D中，若f:x→y,y=x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；
故选：A.
【变式1-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数的概念结合条件分析即得.
【解答过程】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；
选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.
故选：C.
【变式1-3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A=x0≤x≤4，集合B=x0≤x≤2，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】存在点使一个x与两个y对应，A错误；当2【解答过程】对选项A：存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；
对选项B：当2对选项C：y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确.
故选：D.
【题型2 求函数的定义域】
【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y=1x−1+x+2的定义域为（ ）
A．xx≥−2且x≠1B．xx≥−2C．xx<−2D．xx∈R且x≠1
【解题思路】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【解答过程】依题意，x−1≠0x+2≥0，解得x≥−2且x≠1，
所以函数y=1x−1+x+2的定义域为xx≥−2且x≠1.
故选：A.
【变式2-1】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x+1)的定义域是−2,3，则函数f(2x−1)的定义域（ ）
A．−1,4B．−7,3C．−3,7D．0,52
【解题思路】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得.
【解答过程】因为函数f(x+1)的定义域是−2,3，所以−1≤x+1≤4，
令−1≤2x−1≤4，解得0≤x≤52，所以函数f(2x−1)的定义域为0,52.
故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）若函数fx的定义域为0,4，则函数gx=fx+2+1x−1 的定义域为（ ）
A．1,2B．1,4C．1,2D．1,4
【解题思路】根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数gx的定义域.
【解答过程】解：因为函数fx的定义域为0,4，
对于函数gx=fx+2+1x−1，则0≤x+2≤4x−1>0，解得1即函数gx=fx+2+1x−1的定义域为1,2.
故选：C.
【变式2-3】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−8,1，则函数gx=f2x+1x+2的定义域（ ）
A．−92,−2∪−2,0B．−8,−2∪−2,1C．−∞,−2∪−2,3D．−92,−2
【解题思路】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x的不等式组，由此可解得函数gx的定义域.
【解答过程】因为函数y=fx的定义域为−8,1，对于函数gx=f2x+1x+2，
则有−8≤2x+1≤1x+2≠0，解得−92≤x<−2或−2因此，函数gx的定义域为−92,−2∪−2,0.
故选：A.
【题型3 求函数的值域】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（ ）
A．{1,2}B．[1,2]C．{0,1}D．[1,+∞)
【解题思路】根据定义域，代入解析式，求出值域.
【解答过程】当x=±1时，f(x)=1+1=2，当x=0时，f(x)=1，
故值域为{1,2}.
故选：A.
【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）函数fx=2−−x2+4x的值域是（ ）
A．−2,2B．1,2C．0,2D．−2,2
【解题思路】求出函数的定义域，设t=−x2+4x=−(x−2)2+4，求出t的值域，再求出y=2−t的值域即可得解.
【解答过程】由−x2+4x≥0得x2−4x≤0，得0≤x≤4，
设t=−x2+4x=−(x−2)2+4，则0≤t≤4，
所以y=2−t∈[0,2]，即函数y=2−−x2+4x的值域是[0,2].
故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（ ）
A．y=xB．y=1xC．y=−x2D．y=x2−2x+1
【解题思路】先得出函数y=x2值域，再由一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行判断.
【解答过程】函数y=x2=x≥0，故其值域为0,+∞.
对于A，函数y=x的值域为R，故A错误；
对于B，函数y=1x的值域为yy≠0，故B错误；
对于C，函数y=−x2≤0，其值域为−∞,0，故C错误；
对于D，y=x2−2x+1=(x−1)2⩾0，其值域为0,+∞，故D正确；
故选：D.
【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则y=[f(x)]2+f(x2)的值域为（ ）
A．[1,3]B．[1,9]C．[12,36]D．[12,204]
【解题思路】首先由f(x)的定义域得出y=[f(x)]2+f(x2)的定义域，再将f(x)代入，由x的范围求出值域即可．
【解答过程】由f(x)的定义域为[1,9]，y=[f(x)]2+f(x2)，
则1≤x2≤91≤x≤9，即x∈[1,3]，
所以y=(x+2)2+x2+2=2x2+4x+6=2(x+1)2+4，
因为x∈[1,3]，所以函数y在x∈1,3上单调递增，
当x=1,y=12，当x=3,y=36，
故函数y的值域为12,36.
故选：C．
【题型4 由函数的定义域或值域求参数】
【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=32−xax2+ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．0≤a<8
C．0【解题思路】根据题意得ax2+ax+2≠0在x∈R上恒成立，考虑a=0，与a≠0两种情况，结合根的判别式进行求解.
【解答过程】因为函数定义域为R，所以ax2+ax+2≠0在x∈R上恒成立，
当a=0时，ax2+ax+2=2≠0满足要求，
当a≠0时，要满足Δ=a2−8a<0，解得：0综上：0≤a<8.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=3x−1x+3(x≠−3)ax=−3的定义域与值域相同，则常数a=（ ）
A．3B．−3C．13D．−13
【解题思路】易知f(x)的定义域为R,得到值域为R,当x≠3时，利用分离常数法求得函数值的取值范围，{y∈R|y≠3}，从而得到a的值.
【解答过程】显然，fx=3x−1x+3(x≠−3)ax=−3的定义域为R,故值域为R,
y=3x−1x+3=3−10x+3值域为{y∈R|y≠3}，∴a=3,
故选：A.
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x2−4x−6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m的取值范围是
A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]
【解题思路】因为函数fx=x2−4x−6的图象开口朝上，由 f0=f4=−6,f2=−10，结合二次函数的图象和性质可得m的取值范围.
【解答过程】函数fx=x2−4x−6的图象是开口朝上，
且以直线x=2为对称轴的抛物线，
故f0=f4=−6,f2=−10，
∵函数fx=x2−4x−6的定义域为0,m,值域为−10,−6，
所以2≤m≤4，
即m的取值范围是2,4,
故选D.
【变式4-3】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称b−a为区间a,b的长度，若函数fx=ax2+bx+c(a<0)的定义域与值域区间长度相等，则a的值为（ ）
A．−4B．−2C．4或−2D．与b,c的取值有关
【解题思路】由值域结合题设条件确定定义域，从而得出a的值.
【解答过程】函数fx的值域为0,4ac−b24a，所以区间0,4ac−b24a的长度为4ac−b24a.
设ax2+bx+c≥0的解集为x1,x2，所以|x2−x1|=4ac−b24a.
因为|x2−x1|=x1+x22−4x1x2=−ba2−4ca=b2−4ac|a|=4ac−b24a，且a<0，
所以a2=−4a，解得a=−4.
故选：A.
【题型5 求函数值或由函数值求参】
【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)的值（ ）
A．3B．5C．7
【解题思路】把x=2代入解析式即可求解.
【解答过程】f(2)=23−2×2+3=7.
故选：C.
【变式5-1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据表中数据即可先求g1=4，再求解f4即可.
【解答过程】由表中数据可知g1=4，所以f[g(1)]=f4=2，
故选：B.
【变式5-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知fx+1=2x−3，且fa=3，则a=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解题思路】令x+1=a，解得x=a−1，再根据fa=3求解.
【解答过程】解：因为fx+1=2x−3，且fa=3，
令x+1=a，解得x=a−1，
所以fa=2a−1−3=3，
解得a=4，
故选：A.
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知fx=ax5+1，且f−2=10，则f2=（ ）
A．−8B．10C．9D．11
【解题思路】先由f−2=10求出a，从而可得函数解析式，进而可求出f(2)
【解答过程】因为fx=ax5+1，且f−2=10，
所以a⋅−25+1=10，得a=−932，
所以fx=−932x5+1，
所以fx=−932×25+1=−9+1=−8，
故选：A.
【知识点2 函数的相等】
1．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
2．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)满足不等式a(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
【题型6 同一函数的判断】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（ ）
A．y=(x−1)0与y=1
B．y=x与y=x2x
C．y=x与y=x,x≥0−x,x<0
D．y=x2与y=(x−1)2
【解题思路】根据函数的定义判断.
【解答过程】选项A中，函数y=(x−1)0的定义域是{x|x≠1}，函数y=1的定义域是R，不是同一函数；
选项B 中，函数y=x的定义域是R，函数y=x2x的定义域是{x|x≠0}，不是同一函数；
选项C中，两个函数定义域都是R，对应法则也相同，是同一函数；
选项D中，两者对应法则不相同，前者对应自变量直接平方，后者对应自变量减去1后的平方，不是同一函数．
故选：C．
【变式6-1】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（ ）
A．y＝|x|B．y=x2xC．y=x2D．y=3x3
【解题思路】利用函数概念，分析函数的三要素是否相同即可求解.
【解答过程】对于选项A,值域与函数y=x不同，所以不是同一个函数，故排除A；
对于选项B，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除B；
对于选项C，函数定义域不同，所以不是同一个函数，故排除C；
对于选项D，因为函数y=3x3=x与函数y=x是同一个函数，故D正确，
故选：D.
【变式6-2】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．fx=x+1与gx=x2+xxB．fx=x⋅xx与gt=−t，t<0t，t>0
C．fx=1，gx=x0D．fx=x2，gx=x2
【解题思路】由相同函数有相同定义域及相同解析式判断各选项即可.
【解答过程】相同函数有相同定义域及相同解析式.
对于选项A：fx=x+1的定义域为R，gx=x2+xx的定义域为xx≠0，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
对于选项B：函数fx=x⋅xx与函数gt=−t，t<0t，t>0 的定义域都是xx≠0，
又fx=x⋅xx=−x，x<0x，x>0，则两函数解析式也相同，则为同一函数，故B正确.
对于选项C：fx的定义域为R，gx的定义域为xx≠0，定义域不同，不是同一函数，故C错误；
对于选项D：fx=x2的定义域为R，gx=x2的定义域为xx≥0，定义域不同，不是同一函数，故D错误．
故选：B.
【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．y=xx与y=1B．y=x3+xx2+1与y=x
C．y=x2−1x−1与y=x+1D．y=x2−2x+1与y=x−1
【解题思路】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可.
【解答过程】选项A函数y=xx的定义域为x|x≠0，而y=1的定义域为R，
故A错误；
选项B函数y=x3+xx2+1的定义域为R，而y=x的定义域为R，
且，y=x3+xx2+1=xx2+1x2+1=x(x2+1>0)，故B正确；
选项C函数y=x2−1x−1的定义域为x|x≠1，而y=x+1的定义域为R，
故C错误；
选项D函数y=x2−2x+1的定义域为R，而y=x−1的定义域为R，
但是y=x2−2x+1=x−1，故解析式不一样，所以D错误；
故选：B.
【知识点3 函数的表示法】
1．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
2．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
【题型7 函数的表示法】
【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（ ）
A．0B．2C．−2D．1
【解题思路】根据复合函数求值的方法分步求解即可．
【解答过程】解：g(1)=−1，
∴fg1=f−1=2．
故选：B．
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（ ）
A．y=[x+210]B．y=[x+310]C．y=[x+410]D．y=[x+510]
【解题思路】令班级人数的个位数字为n，则x=10m+n（m∈N），结合题意讨论n写出对应y值，由取整函数的定义写出函数关系式.
【解答过程】设班级人数的个位数字为n，令x=10m+n，（m∈N），
当0≤n≤6时，y=m，当7≤n≤9时，y=m+1，
综上，函数关系式为y=[x+310].
故选：B.
【变式7-2】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AE=x，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
【解答过程】当0≤x≤1时，y=12⋅x⋅tan60°⋅x=32x2，显然此时函数的图象是抛物线的一部分；
当1综上所述：y与x的函数关系的图象大致是选项D，
故选：D.
【变式7-3】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．y=32|x−1|(0≤x≤2)
B．y=32−32|x−1|(0≤x≤2)
C．y=32−|x−1|(0≤x≤2)
D．y=1−|x−1|(0≤x≤2)
【解题思路】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．
【解答过程】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f（x）=32x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，32），（2，0），得{32=m+n0=2m+n，解得{m=−32n=3 ，
所以此时f（x）=-32x+3．函数表达式可转化为：y＝32 −32|x－1|(0≤x≤2)，
故选B.
【题型8 分段函数】
【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)=−x,x≤0x2,x>0，则f(−3)=（ ）
A．−3B．3C．−9D．9
【解题思路】根据分段函数的定义域，代入计算即可.
【解答过程】由f(x)=−x,x≤0x2,x>0可得f(−3)=−(−3)=3.
故选：B.
【变式8-1】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数fx=x−1,x>0,4x,x≤0,若fa=−12，则实数a的值为（ ）
A．12B．18C．18或−12D．−18或12
【解题思路】分a>0和a<0讨论即可.
【解答过程】当a>0时，fa=a−1=−12，解得a=12；
当a≤0时，fa=4a=−12，解得a=−18.
故选：D.
【变式8-2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）
A．17m3B．15m3C．13m3D．263m3
【解题思路】设用户的用水量为xm3，缴纳的水费为y元，求出y关于x的函数解析式，再令y=65，解出x的值，即可得解.
【解答过程】设用户的用水量为xm3，缴纳的水费为y元，
当0≤x≤10时，y=2.5x∈0,25，
当10当x>15时，y=50+7.5x−15=7.5x−62.5>50.
令7.5x−62.5=65，解得x=17.则此户居民本月用水量为17m3.
故选：A.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）函数y=fx的图象是如图所示的折线段OAB，其中A1,2，B3,0，函数gx=x⋅fx，那么函数gx的值域为（ ）
A．0,2B．0,94
C．0，32D．0,4
【解题思路】根据图象可得fx的解析式，进而可得gx的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.
【解答过程】由题图可知，kOA=2−01−0=2，所以直线OA的方程是y=2x，
因为kAB=0−23−1=−1，所以直线AB的方程为y=−x−3=−x+3，
所以fx=2x,0≤x≤1−x+3,1所以gx=x⋅fx=2x2,0≤x≤1−x2+3x,1当0≤x≤1时，gx=2x2在0,1上单调递增，此时函数gx的值域为0,2；
当1所以当x=32时，函数gx取得最大值94；当x=3时，函数gx取得最小值0，
此时函数gx的值域为0,94，
综上可知，函数gx的值域为0,94，
故选：B.x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
f(x)
3
1
4
2
g(x)
4
3
2
1
x
−1
0
1
2
3
fx
2
1
3
0
−2
gx
3
2
−1
−2
0
每户每月用水量
水价
不超过10m3的部分
2.5元/m3
超过10m3但不超过15m3的部分
5元/m3
超过15m3的部分
7.5元/m3
x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
f(x)
3
1
4
2
g(x)
4
3
2
1
x
−1
0
1
2
3
fx
2
1
3
0
−2
gx
3
2
−1
−2
0
每户每月用水量
水价
不超过10m3的部分
2.5元/m3
超过10m3但不超过15m3的部分
5元/m3
超过15m3的部分
7.5元/m3