数学必修 第一册3.2 函数的基本性质同步训练题

这是一份数学必修 第一册3.2 函数的基本性质同步训练题，共38页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10531" 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 PAGEREF _Tc10531 \h 3
\l "_Tc19625" 【题型2 利用函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc19625 \h 3
\l "_Tc25749" 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 PAGEREF _Tc25749 \h 4
\l "_Tc28809" 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 PAGEREF _Tc28809 \h 4
\l "_Tc32756" 【题型5 求函数的最值】 PAGEREF _Tc32756 \h 6
\l "_Tc27794" 【题型6 由函数的最值求参数】 PAGEREF _Tc27794 \h 7
\l "_Tc30729" 【题型7 函数奇偶性的判断】 PAGEREF _Tc30729 \h 8
\l "_Tc15328" 【题型8 函数奇偶性的应用】 PAGEREF _Tc15328 \h 8
\l "_Tc28437" 【题型9 函数图象的识别、判断】 PAGEREF _Tc28437 \h 9
\l "_Tc1280" 【题型10 函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc1280 \h 10
【知识点1 函数的单调性】
1．函数的单调性
(1)单调递增、单调递减：
(2)函数的单调性及单调区间：
①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.
②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)常见函数的单调性：
(4)单调函数的运算性质：
若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的
单调性.
③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，
f(x)与具有相同的单调性.
④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.
⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增).
(5)复合函数的单调性判定：
对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列函数在0,+∞上不是增函数的是（ ）
A．y=3x+5
B．y=x2+4
C．y=3−x
D．y=x2+2x+4
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）函数f(x)=3+2x−x2的单调递增区间是（ ）
A．-∞，1B．1，+∞C．1,3D．−1,1
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2>−1，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f(x)+x是增函数B．y=f(x)+x是减函数
C．y=f(x)是增函数D．y=f(x)是减函数
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（ ）
A．函数y=x2在R上是增函数B．函数y=1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
C．函数y=x2和函数y=x的单调性相同D．函数y=1x和函数y=x+1x的单调性相同
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2023秋·湖南常德·高一校考期末）若函数f(x)=ax2+x+a在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A．(0,+∞)B．(0,1]C．[1,+∞)D．[0,+∞)
【变式2-1】（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知a∈R，则“0A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2023春·山西运城·高二统考期末）已知函数f1−x=x+xa+x，若对于任意x1，x2∈−2,−1，都有fx1−fx2x1−x2>−1，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪0,+∞B．−∞,−3∪−2,+∞
C．−∞,−3∪−2,0D．−∞,−3
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=−x2−ax−9,x≤1ax,x>1在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．−5,0B．(−∞,−2)
C．−5,−2D．(−∞,0)
【题型3 利用函数的单调性比较大小】
【例3】（2023·高一课时练习）已知对fx定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，fx1−fx2x1−x2>0恒成立，设a=f−13，b=f3，c=f5，则（ ）
A．b【变式3-1】（2023·高一课时练习）已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上是增函数，则f1，f52，f72的大小顺序是（ ）
A．f1C．f52【变式3-2】（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）已知函数y=fx的图象关于直线x=12对称，且在(－∞，12]上单调递增，a=f−12，b=f(1)，c=f(2)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c【变式3-3】（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0,f2−x=fx，且fx在−1,1内单调递增，则（ ）
A．f−5.3B．f−5.3C．f2D．f5.5【题型4 利用函数的单调性解不等式】
【例4】（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知定义在R上的奇函数fx满足对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2<0，若f1=0，则xfx≥0的解集为（ ）
A．−1,1B．[−1,0]∪[1,+∞)C．−1,0∪0,1D．(−∞,−1]∪[0,1]
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x−1)A．13,23B．[13,23)C．12,23D．[12,23)
【变式4-2】（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）定义在R上的函数f（x）满足f2−x=fx，且当x≥1时，f(x)单调递增，则不等式f2−x≥f(x+1)的解集为（ ）
A．12,+∞B．0,12C．−∞,−12D．−∞,12
【变式4-3】（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若∀x∈(−∞,0]，且x1≠x2，x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2>0，则不等式a2f(a2)−(a−1)f(a−1)>0的解集为（ ）
A．(−1−52,−1+52)B．(−1,1)
C．(−1−52,1)D．(0,1)
【知识点2 函数的最值】
1．函数的最大（小）值
(1)函数的最大（小）值：

(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
【题型5 求函数的最值】
【例5】（2023春·天津东丽·高二期末）已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8，−4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值53，无最小值B．f(x)有最大值53，最小值75
C．f(x)有最大值75，无最小值D．f(x)有最大值2，最小值75
【变式5-1】（2023·江苏·高一假期作业）函数y=f(x) (−2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．f(2)，f(−2)
B．f(12)，f(−1)
C．f(12)，f(−32)
D．f(12)，f(0)
【变式5-2】（2022春·重庆沙坪坝·高二校考期末）设函数fx=x−22x2+4的最大值为M，最小值为m，则M+m=（ ）
A．0B．1C．2D．4
【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）a,b∈R，记maxa,b=aa≥bbaA．3−52B．3+52C．1+52D．1−52
【题型6 由函数的最值求参数】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=2x+mx+1在区间0,1上的最大值为52，则实数m=（ ）
A．3B．52C．2D．52或3
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(a−1)x+2a,x<0x2−2x,x≥0有最小值，则a的的取值范围是（ ）
A．−12,1B．−12,1
C．−12,1D．(−12,1]
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）函数y=a−x−3xx>0在x=m时有最大值为3，则a−m的值为（ ）
A．43B．33C．23D．3
【变式6-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一开学考试）已知函数f(x)=2x2−1,g(x)=ax,x∈R，用Mx表示fx,gx中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，若Mx的最小值为−12，则实数a的值为（ ）
A．0B．±1C．±2D．±2
【知识点3 函数的奇偶性】
1．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
(3)奇、偶函数图象对称性的应用
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
【题型7 函数奇偶性的判断】
【例7】（2023·天津·高二学业考试）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y=x−1B．y=−2x2+3C．y=x−12D．y=x2，x∈0,1
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）函数fx=1+x1−x1+x的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【变式7-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）设函数fx=2+x2−x，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．fx−2−2B．fx−2+1C．fx+2−1D．fx+2+1
【变式7-3】（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ）
A．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)⋅g(x)是奇函数
B．若f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数
C．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数
D．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)+g(x)不一定是奇函数
【题型8 函数奇偶性的应用】
【例8】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在R上的函数fx在−∞,3单调递增，且fx+3是偶函数，则不等式fx+1>f2x的解集为（ ）
A．1,35B．−∞,1∪53,+∞C．−∞,1D．1,+∞
【变式8-1】（2023春·山东德州·高二统考期末）定义在R上的偶函数fx满足f−x+2=fx+2，且f1=13，则f2023的值为（ ）
A．−2B．−1C．−13D．13
【变式8-2】（2023春·北京东城·高二校考期末）已知函数fx+1是偶函数，当10恒成立，设a=f−12,b=f2,c=f3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【变式8-3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知fx是定义在R上的偶函数，对于任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠x2），都有fx1−fx2x1−x2<0成立．若fm−1>f2m−3，则实数m的取值范围为（ ）
A．m<43或m>2B．43C．m<23或m>4 D．23【知识点4 函数的图象】
1．函数图象的对称性
(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
2．函数图象的识别、判断
(1)排除法：利用特殊点的值来排除；
(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【题型9 函数图象的识别、判断】
【例9】（2023春·陕西延安·高二校考期末）函数y=x22x+2−x的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax2+bx+c，若a>b>c，且a+b+c=0，则函数fx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2022·全国·高一专题练习）根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】（2023春·广东广州·高二统考期末）函数fx=2x31+x2−x的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【题型10 函数性质的综合应用】
【例10】（2023春·安徽六安·高二校考期末）已知函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，且f1=1．
(1)求函数fx的解析式，判断fx在−1,1上的单调性并证明；
(2)解不等式ft−1+ft2【变式10-1】（2023·山西·高二统考学业考试）已知fx是定义在−2,2上的奇函数，且f−2=−4，若对任意的m，n∈−2,2，m≠n，都有fm−fnm−n>0．
(1)若f2a−1+f−a<0，求实数a的取值范围；
(2)若不等式fx≤a−32a恒成立，求实数a的取值范围．
【变式10-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时，f(x)<0.
(1)求证：f(x)在R上是奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值.
【变式10-3】（2023春·天津河东·高二校考阶段练习）已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=45．
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断当x∈−1,1时，函数fx的单调性，并用定义证明；
(3)若ft2−1<−ft恒成立，求t的取值范围．
专题3.2 函数的基本性质【十大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10531" 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 PAGEREF _Tc10531 \h 3
\l "_Tc19625" 【题型2 利用函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc19625 \h 4
\l "_Tc25749" 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 PAGEREF _Tc25749 \h 6
\l "_Tc28809" 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 PAGEREF _Tc28809 \h 8
\l "_Tc32756" 【题型5 求函数的最值】 PAGEREF _Tc32756 \h 10
\l "_Tc27794" 【题型6 由函数的最值求参数】 PAGEREF _Tc27794 \h 12
\l "_Tc30729" 【题型7 函数奇偶性的判断】 PAGEREF _Tc30729 \h 15
\l "_Tc15328" 【题型8 函数奇偶性的应用】 PAGEREF _Tc15328 \h 17
\l "_Tc28437" 【题型9 函数图象的识别、判断】 PAGEREF _Tc28437 \h 19
\l "_Tc1280" 【题型10 函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc1280 \h 21
【知识点1 函数的单调性】
1．函数的单调性
(1)单调递增、单调递减：
(2)函数的单调性及单调区间：
①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.
②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)常见函数的单调性：
(4)单调函数的运算性质：
若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的
单调性.
③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，
f(x)与具有相同的单调性.
④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.
⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增).
(5)复合函数的单调性判定：
对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列函数在0,+∞上不是增函数的是（ ）
A．y=3x+5
B．y=x2+4
C．y=3−x
D．y=x2+2x+4
【解题思路】根据基本初等函数的单调性判断即可.
【解答过程】解：对于A：y=3x+5在定义域R上单调递增，故A错误；
对于B：y=x2+4在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，故B错误；
对于C：y=3−x在定义域R上单调递减，故C正确；
对于D：y=x2+2x+4=x+12+3，函数在−∞,−1上单调递减，在−1,+∞上单调递增，故D错误；
故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）函数f(x)=3+2x−x2的单调递增区间是（ ）
A．-∞，1B．1，+∞C．1,3D．−1,1
【解题思路】先求出f(x)定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.
【解答过程】函数f(x)=3+2x−x2的定义域需要满足3+2x−x2≥0，解得f(x)定义域为−1，3，
因为y=3+2x−x2在−1，1上单调递增，所以f(x)=3+2x−x2在−1，1上单调递增，
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2>−1，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f(x)+x是增函数B．y=f(x)+x是减函数
C．y=f(x)是增函数D．y=f(x)是减函数
【解题思路】对题中条件fx1−fx2x1−x2>−1进行变化，构造新函数g(x)=f(x)+x，根据增、减函数的定义即可.
【解答过程】不妨令x1∵fx1−fx2x1−x2>−1⇔f(x1)−f(x2)<−(x1−x2)⇔f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)又x1故选:A.
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（ ）
A．函数y=x2在R上是增函数B．函数y=1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
C．函数y=x2和函数y=x的单调性相同D．函数y=1x和函数y=x+1x的单调性相同
【解题思路】分别判断出y=x2，y=1x，y=x和y=x+1x的单调性，即可判断．
【解答过程】对于A：y=x2定义域为R，由二次函数y=x2的图像可知，y=x2在(0,+∞)是增函数，在(−∞,0)是减函数，故A错误；
对于B：y=1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y=1x的图像可知，y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上是减函数，故B错误；
对于C：y=x2在(0,+∞)是增函数，在(−∞,0)是减函数，
y=x，当x≥0时，y=x，易知为增函数，当x<0时，y=−x，易知为减函数，所以函数y=x2和函数y=x的单调性相同，故C正确；
对于D：y=1x定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y=1x的图像可知，y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上是减函数；
设y=f(x)=x+1x定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，取0则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2，
当00，即f(x)在(0,1)上单调递减，
当1同理可证，f(x)在(−1,0)上单调递减，在(−∞,−1)上单调递增，故D错误，
故选：C．
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2023秋·湖南常德·高一校考期末）若函数f(x)=ax2+x+a在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A．(0,+∞)B．(0,1]C．[1,+∞)D．[0,+∞)
【解题思路】分a=0和a≠0两种情况进行讨论即可
【解答过程】当a=0时，则f(x)=x，在[1,+∞)上单调递增，满足题意；
当a≠0时，f(x)=ax2+x+a的对称轴为x=−12a，
要使函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，只需−12a≤1a>0，解得a>0
综上，a的取值范围是[0,+∞)
故选：D.
【变式2-1】（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知a∈R，则“0A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求得“函数fx=ax2−2x−5在−1,1内单调递减”时a的取值范围，根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【解答过程】若函数fx=ax2−2x−5在−1,1内单调递减，
当a=0时，fx=−2x−5在−1,1内单调递减，符合题意.
当a>0时，fx=ax2−2x−5的开口向上，对称轴为x=1a，
则1a≥1，解得0当a<0时，fx=ax2−2x−5的开口向下，对称轴为x=1a，
则1a≤−1，解得−1≤a<0.
综上所述，若函数fx=ax2−2x−5在−1,1内单调递减，则−1≤a≤1.
所以“0故选：A.
【变式2-2】（2023春·山西运城·高二统考期末）已知函数f1−x=x+xa+x，若对于任意x1，x2∈−2,−1，都有fx1−fx2x1−x2>−1，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪0,+∞B．−∞,−3∪−2,+∞
C．−∞,−3∪−2,0D．−∞,−3
【解题思路】根据题意，利用换元法分析求出f(x)的解析式，对fx1一fx2x1−x2<−1变形分析可得f(x)+x在区间−2,−1上为增函数，据此分析可得答案．
【解答过程】根据题意，已知函数f(1−x)=x+xa+x=x+1−aa+x，
设t=1−x，则x=1−t，有f(t)=(2−t)+at−1−a，故f(x)=2−x+ax−1−a，
不妨设x1−1，即f(x1)−f(x2)<−(x1−x2)，
变形可得f(x1)+x1设g(x)=f(x)+x=2+ax−1−a，则g(x)在区间−2,−1上为增函数，
当a>0时，g(x)在1+a,+∞和−∞,a+1上单调递减，不符合要求，舍去，
当a<0时，g(x)在1+a,+∞和−∞,a+1上单调递增，要使g(x)在区间−2,−1上为增函数，则必有1+a≤−2或−1≤1+a，解可得a≤−3或0>a≥−2，
当a=0时，g(x)=f(x)+x=2为常函数，不符合要求，
综上，a的取值范围为−∞,−3∪−2,0
故选：C．
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=−x2−ax−9,x≤1ax,x>1在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．−5,0B．(−∞,−2)
C．−5,−2D．(−∞,0)
【解题思路】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【解答过程】由题意，x∈R，
在fx=−x2−ax−9,x≤1ax,x>1中，函数单调递增，
∴−−a2×−1≥1a<0−1−a−9≤a1，解得：−5≤a≤−2，
故选：C.
【题型3 利用函数的单调性比较大小】
【例3】（2023·高一课时练习）已知对fx定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，fx1−fx2x1−x2>0恒成立，设a=f−13，b=f3，c=f5，则（ ）
A．b【解题思路】由增函数的定义知，fx在R上是增函数，即可得出a,b,c的大小.
【解答过程】由fx1−fx2x1−x2>0可得函数fx在R上是增函数，
所以f−13故选：D.
【变式3-1】（2023·高一课时练习）已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上是增函数，则f1，f52，f72的大小顺序是（ ）
A．f1C．f52【解题思路】先利用f2−x=fx+2，将自变量转化到0,2上，再利用fx在0,2上是增函数，可比较出大小.
【解答过程】因为f2−x=fx+2，
所以f52=f12+2=f2−12=f32，
f72=f32+2=f2−32=f12，
因为fx在0,2上是增函数，且0<12<1<32<2，
所以f12故选：B.
【变式3-2】（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）已知函数y=fx的图象关于直线x=12对称，且在(－∞，12]上单调递增，a=f−12，b=f(1)，c=f(2)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c【解题思路】由f(x)的图象关于x=12对称，将问题转化为比较f(1)，f(32)，f(2)的大小.
【解答过程】f(x)的图象关于x=12对称，所以a=f(−12)=f(32)，
又因为f(x)在−∞,12上单调递增，所以f(x)在12,+∞上单调递减，
所以f(1)>f(32)>f(2).
故选：B.
【变式3-3】（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0,f2−x=fx，且fx在−1,1内单调递增，则（ ）
A．f−5.3B．f−5.3C．f2D．f5.5【解题思路】根据题意可得函数f(x)是周期为4的函数，且在−1,1内单调递增，在1,3内单调递减，然后利用周期和单调性即可求解.
【解答过程】根据题意，函数fx满足f−x+fx=0，f2−x=fx，
则有f2−x=−f−x，变形可得fx+2=−fx，
则有fx+4=fx，即函数fx是周期为4的周期函数，
对称轴为x=1，fx在−1,1内单调递增，所以fx在1,3内单调递减，f1.5=f5.5，f−5.3=f2.7−8=f2.7，∵1<1.5<2<2.7<3，
∴f(1.5)>f(2)>f2.7，即f−5.3故选：B.
【题型4 利用函数的单调性解不等式】
【例4】（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知定义在R上的奇函数fx满足对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2<0，若f1=0，则xfx≥0的解集为（ ）
A．−1,1B．[−1,0]∪[1,+∞)C．−1,0∪0,1D．(−∞,−1]∪[0,1]
【解题思路】根据条件可知函数fx在0,+∞上单调递减，再根据奇函数性质即可得出函数fx的单调性，结合条件xfx≥0并对x进行分类讨论即可解出不等式.
【解答过程】对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2<0，
即fx在0,+∞上是减函数，因为x∈R，所以fx在−∞,0上是减函数，
y=fx为奇函数，可得f0=0，f1=0，可得f−1=0，
因为xfx≥0，
所以当x=0时，xfx=0；
当x>0时，fx>0=f1，根据fx在0,+∞上单调递减可得0当x<0时，fx<0=f−1，根据fx在−∞,0上单调递减可得−1综上可知，不等式xfx<0的解集为−1,1.
故选：A.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x−1)A．13,23B．[13,23)C．12,23D．[12,23)
【解题思路】由已知有0≤2x−1<13，即可求取值范围.
【解答过程】因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数，满足f(2x−1)所以0≤2x−1<13，解得12≤x<23.
故选：D.
【变式4-2】（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）定义在R上的函数f（x）满足f2−x=fx，且当x≥1时，f(x)单调递增，则不等式f2−x≥f(x+1)的解集为（ ）
A．12,+∞B．0,12C．−∞,−12D．−∞,12
【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.
【解答过程】由f2−x=f(x)，得f(x)的对称轴方程为x=1，故2−x−1≥x+1−1，即(1−x)2≥x2，解得x≤12．
故选：D.
【变式4-3】（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若∀x∈(−∞,0]，且x1≠x2，x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2>0，则不等式a2f(a2)−(a−1)f(a−1)>0的解集为（ ）
A．(−1−52,−1+52)B．(−1,1)
C．(−1−52,1)D．(0,1)
【解题思路】由x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2>0判断xf(x)在(−∞,0]单调递增，再根据f(x)的奇偶性判断xf(x)的奇偶性，将函数的不等式关系转换为a2【解答过程】因为f(x)为奇函数，所以xf(x)是定义在R上的偶函数函数，由题意可知xf(x)在(−∞,0]单调递增，则xf(x)在0,+∞单调递减，
设gx=xf(x)，a2f(a2)−(a−1)f(a−1)>0⇒a2f(a2)>(a−1)f(a−1)⇒ga2>ga−1
所以a2a2a−1<−a2，解得−1−52故选：A.
【知识点2 函数的最值】
1．函数的最大（小）值
(1)函数的最大（小）值：

(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
【题型5 求函数的最值】
【例5】（2023春·天津东丽·高二期末）已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8，−4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值53，无最小值B．f(x)有最大值53，最小值75
C．f(x)有最大值75，无最小值D．f(x)有最大值2，最小值75
【解题思路】将f(x)化为fx=2+3x−1，判断在[−8，−4)的单调性，即可得到最值．
【解答过程】解：函数f(x)=2x+1x−1=2+3x−1
即有f(x)在[−8，−4)递减，
则x=−8处取得最大值，且为53，
由x=−4取不到，即最小值取不到．
故选：A．
【变式5-1】（2023·江苏·高一假期作业）函数y=f(x) (−2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．f(2)，f(−2)
B．f(12)，f(−1)
C．f(12)，f(−32)
D．f(12)，f(0)
【解题思路】由函数最值定义，结合函数图象可得出答案.
【解答过程】根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x=−32时，f(x)取得最小值f(−32)；当x=12时，f(x)取得最大值f(12)．
故选：C.
【变式5-2】（2022春·重庆沙坪坝·高二校考期末）设函数fx=x−22x2+4的最大值为M，最小值为m，则M+m=（ ）
A．0B．1C．2D．4
【解题思路】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案.
【解答过程】由函数fx=x2−4x+4x2+4=1−4xx2+4，显然f0=1，当x≠0，fx=1−4x+4x，
当x>0时，x+4x≥4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，则0<4x+4x≤1，故1>fx≥f2=0；
当x<0时，x+4x≤−4，当且仅当x=4x，即x=−2时，等号成立，则0>4x+4x≥−1故1综上可得，M=2，m=0，则M+m=2.
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）a,b∈R，记maxa,b=aa≥bbaA．3−52B．3+52C．1+52D．1−52
【解题思路】讨论x+1≥x2，x+1【解答过程】当x+1≥x2，即x+1≥x2或x+1≤−x2，解得1−52≤x≤1+52时，
fx=maxx+1,x2=x+1=x+1，函数单调递增，
所以fxmin=1−52+1=3−52；
当x<1−52时，fx=maxx+1,x2=x2，函数单调递减，
fx>f1−52=3−52；
当x>1+52时，fx=maxx+1,x2=x2，函数单调递增，
fx>f1+52=3+52；
综上，fxmin=3−52.
故选：A.
【题型6 由函数的最值求参数】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=2x+mx+1在区间0,1上的最大值为52，则实数m=（ ）
A．3B．52C．2D．52或3
【解题思路】函数fx化为fx=2+m−2x+1，讨论m=2，m>2和m<2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【解答过程】函数fx=2x+mx+1，即fx=2+m−2x+1，x∈0,1，
当m=2时，fx=2不成立；
当m−2>0，即m>2时，fx在0,1递减，可得f0为最大值，
即f0=0+m1=52，解得m=52成立；
当m−2<0，即m<2时，fx在0,1递增，可得f1为最大值，
即f1=2+m2=52，解得m=3不成立；
综上可得m=52．
故选：B．
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(a−1)x+2a,x<0x2−2x,x≥0有最小值，则a的的取值范围是（ ）
A．−12,1B．−12,1
C．−12,1D．(−12,1]
【解题思路】先求出x≥0时的最小值，然后对于x<0时，讨论fx=a−1x+2a的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到a的取值范围.
【解答过程】当x≥0时，fx=x−12−1 ，此时fxmin=f1=−1；
当x<0时，fx=a−1x+2a.
①a=1时，fx=2为常函数，此时在R上满足函数f(x)有最小值为−1，
②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
需a−1<0(a−1)×0+2a≥−1 解得−12≤a<1，
综上，满足题意的实数a的取值范围为：−12,1 ，
故选：C．
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）函数y=a−x−3xx>0在x=m时有最大值为3，则a−m的值为（ ）
A．43B．33C．23D．3
【解题思路】利用基本不等式求出x+3x≥23，得出函数y=a−x−3x的最大值为a−23，从而求出a和m的值．
【解答过程】解：因为x>0时，x+3x≥2x⋅3x=23，当且仅当x=3x，即x=3时取“=”，
所以函数y=a−x−3x=a−x+3x≤a−23=3，解得a=33，m=3，
所以a−m=33−3=23．
故选：C．
【变式6-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一开学考试）已知函数f(x)=2x2−1,g(x)=ax,x∈R，用Mx表示fx,gx中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，若Mx的最小值为−12，则实数a的值为（ ）
A．0B．±1C．±2D．±2
【解题思路】先画出两个函数的图象，得到Mx的图象，根据最小值为−12进行数形结合可知，交点处函数值为−12，计算即得结果.
【解答过程】依题意，先作两个函数f(x)=2x2−1,g(x)=ax,x∈R的草图，
因为M(x)=max{f(x),g(x)}，故草图如下：可知在交点A出取得最小值−12，
令2x2−1=−12，得x=±12，故A±12,−12，代入直线g(x)=ax，得−12=±12a，
故a=±1.
故选：B.
【知识点3 函数的奇偶性】
1．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
(3)奇、偶函数图象对称性的应用
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
【题型7 函数奇偶性的判断】
【例7】（2023·天津·高二学业考试）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y=x−1B．y=−2x2+3C．y=x−12D．y=x2，x∈0,1
【解题思路】分别判断出各个选项的奇偶性即可得到正确选项.
【解答过程】选项A：令f(x)=x−1，则f(x)定义域为xx≠0，
则f(−x)=−x−1=−x−1=−f(x)，则f(x)为奇函数.判断错误；
选项B：令ℎ(x)=−2x2+3，则ℎ(x)定义域为R，
则ℎ(−x)=−2−x2+3=−2x2+3=ℎ(x)，则ℎ(x)是偶函数.判断正确；
选项C：y=x−12定义域关于原点不对称是非奇非偶函数. 判断错误；
选项D：y=x2，x∈0,1定义域关于原点不对称是非奇非偶函数. 判断错误.
故选：B.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）函数fx=1+x1−x1+x的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【解题思路】求出fx的定义域不关于原点对称，即可判断fx为非奇非偶函数.
【解答过程】由函数fx=1+x1−x1+x的定义域可得1−x1+x≥0，
则1+x1−x≥0x≠−1⇒−1由于定义域不关于原点对称，故fx为非奇非偶函数.
故选：C.
【变式7-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）设函数fx=2+x2−x，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．fx−2−2B．fx−2+1C．fx+2−1D．fx+2+1
【解题思路】先求出函数f(x)的对称中心，然后根据函数图像的变换求出过原点时函数的解析式即可．
【解答过程】f(x)=−(2−x)+42−x=−1−4x−2，该函数是由y=−4x（该函数图像关于原点对称，即为奇函数）向右平移2个单位，然后再沿y轴向下平移1个单位得到的，
故将f(x)的图像向左平移2个单位，然后再沿y轴向上平移1个单位得到关于原点对称的奇函数y=−4x的图像，
可知g(x)=f(x+2)+1．
故选：D．
【变式7-3】（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ）
A．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)⋅g(x)是奇函数
B．若f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数
C．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数
D．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)+g(x)不一定是奇函数
【解题思路】由函数的奇偶性的定义即可判断.
【解答过程】对于A，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=−g(x)，
令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=ℎ(x)，
所以f(x)⋅g(x)是偶函数，故A错误；
对于B，因为f(x)和g(x)都是偶函数，所以f(−x)=f(x)，g(−x)=g(x)，
令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=ℎ(x)，
所以f(x)⋅g(x)是偶函数，故B正确；
对于C，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，
令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)=−ℎ(x)，
所以f(x)⋅g(x)是奇函数，故C错误；
对于D，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=−g(x)，
令ℎ(x)=f(x)+g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−ℎ(x)，
所以f(x)+g(x)是奇函数，故D错误.
故选：B.
【题型8 函数奇偶性的应用】
【例8】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在R上的函数fx在−∞,3单调递增，且fx+3是偶函数，则不等式fx+1>f2x的解集为（ ）
A．1,35B．−∞,1∪53,+∞C．−∞,1D．1,+∞
【解题思路】由可得函数fx关于x=3对称，fx在3,+∞上单调递减，进而可得x+1−3<2x−3，即得.
【解答过程】∵fx+3为偶函数，
∴f−x+3=fx+3，即函数fx关于x=3对称，
又函数fx在−∞,3上单调递增，
∴函数fx在3,+∞上单调递减，
由fx+1>f2x，可得x+1−3<2x−3，
整理得3x2−8x+5>0，解得x<1或x>53，
即不等式fx+1>f2x的解集为−∞,1∪53,+∞.
故选：B.
【变式8-1】（2023春·山东德州·高二统考期末）定义在R上的偶函数fx满足f−x+2=fx+2，且f1=13，则f2023的值为（ ）
A．−2B．−1C．−13D．13
【解题思路】根据题意可判断fx是以4为周期的周期函数，即可利用周期性和奇偶性求解.
【解答过程】由fx为偶函数且f−x+2=fx+2得f−x=fx+4=fx，
所以fx是以4为周期的周期函数，所以f2023=f−1=f1=13，
故选：D.
【变式8-2】（2023春·北京东城·高二校考期末）已知函数fx+1是偶函数，当10恒成立，设a=f−12,b=f2,c=f3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【解题思路】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.
【解答过程】因为当10恒成立，即fx2>fx1恒成立，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，
因为f(x+1)是偶函数，
所以f(x)的图象关于x=1对称，
因为a=f−12=f52，b=f2，c=f3，
因为2<52<3，
所以f2所以b故选：D．
【变式8-3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知fx是定义在R上的偶函数，对于任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠x2），都有fx1−fx2x1−x2<0成立．若fm−1>f2m−3，则实数m的取值范围为（ ）
A．m<43或m>2B．43C．m<23或m>4 D．23【解题思路】根据函数的奇偶性以及单调性，即可转化为m−1<2m−3，即可求解.
【解答过程】由任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠x2），都有fx1−fx2x1−x2<0可知fx在0,+∞ 单调递减，
由于fx是定义在R上的偶函数，所以fx在−∞,0单调递增，
由fm−1>f2m−3得m−1<2m−3，平方可得3m2−10m+8>0 ，解得m<43或m>2 ，
故选：A.
【知识点4 函数的图象】
1．函数图象的对称性
(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
2．函数图象的识别、判断
(1)排除法：利用特殊点的值来排除；
(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【题型9 函数图象的识别、判断】
【例9】（2023春·陕西延安·高二校考期末）函数y=x22x+2−x的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由函数奇偶性和值域，用排除法得到结论.
【解答过程】函数f(x)=x22x+2−x，定义域为R，
f(−x)=−x22−x+2x=x22x+2−x=f(x)，函数为偶函数，排除CD；
由x2≥0，2x+2−x>0，则f(x)=x22x+2−x≥0，排除B.
故选：A.
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax2+bx+c，若a>b>c，且a+b+c=0，则函数fx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据条件得到a>0,c<0，由开口方向和特殊点的函数值得到答案.
【解答过程】由a>b>c且a+b+c=0，得a>0,c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；
又f0=c<0，排除B.
故选：D.
【变式9-2】（2022·全国·高一专题练习）根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合图象根据函数的奇偶性以及单调性判断即可．
【解答过程】解：对于A，是奇函数且递增，符合题意；
对于B，C，是非奇非偶函数，不合题意；
对于D，不是奇函数，不合题意；
故选：A．
【变式9-3】（2023春·广东广州·高二统考期末）函数fx=2x31+x2−x的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算f12,f2即可判断.
【解答过程】因为fx=2x31+x2−x=2x3−x−x31+x2=x3−x1+x2，易知fx的定义域为R.
因为f−x=−x3−−x1+−x2=−x3+x1+x2=−x3−x1+x2=−fx，所以fx为奇函数，
图象关的原点对称.排除A，D选项；
又f12=123−121+122<0，f2=23−21+22>0，所以排除C选项.
故选：B.
【题型10 函数性质的综合应用】
【例10】（2023春·安徽六安·高二校考期末）已知函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，且f1=1．
(1)求函数fx的解析式，判断fx在−1,1上的单调性并证明；
(2)解不等式ft−1+ft2【解题思路】（1）根据奇函数的定义求得函数解析式，再由单调性的定义证明单调性；
（2）利用奇偶性变形不等式，然后由单调性化简后求解．
【解答过程】（1）函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，f−x=−ax+b1+x2=−ax+b1+x2=−fx，解得：b=0，
∴fx=ax1+x2，而f1=1，解得a=2，
∴fx=2x1+x2，x∈−1,1．
函数fx=2x1+x2在−1,1上为增函数；证明如下：
任意x1，x2∈−1,1且x1则fx1−fx2=2x11+x12−2x21+x22=2x1−x21−x1x21+x121+x22，
因为x10，
所以fx1−fx2<0，即fx1（2）由题意，不等式ft−1+ft2即解不等式ft2<−ft−1，所以ft2所以−1【变式10-1】（2023·山西·高二统考学业考试）已知fx是定义在−2,2上的奇函数，且f−2=−4，若对任意的m，n∈−2,2，m≠n，都有fm−fnm−n>0．
(1)若f2a−1+f−a<0，求实数a的取值范围；
(2)若不等式fx≤a−32a恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用单调性的定义，证得fx在−2,2上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式f(2a−1)+f(−a)<0，求得a的取值范围.
（2）由（1）可得函数fx在−2,2上的最大值为4，由条件可得4≤a−32a，解不等式可得a的取值范围．
【解答过程】（1）任取两个实数x1,x2，满足−2≤x1由题意可得fx1−fx2=fx1−fx2x1−x2x1−x2<0，
即fx1∴f(x)在定义域[−2,2]上是增函数.
因为fx是定义在−2,2上的奇函数，
所以当−2≤x≤2时，f−x=−fx，
所以f2a−1+f−a<0，可化为f2a−1<−f−a
所以f(2a−1)所以−2≤2a−1解得−12≤a<1，
∴a的取值范围为−12,1.
（2）由（1）知函数f(x)在定义域[−2,2]上是增函数，
所以当x=2时，函数f(x)取最大值，最大值为f2，
又fx是定义在−2,2上的奇函数，
所以f−2=−f2，又f−2=−4，
所以函数f(x)在定义域[−2,2]上的最大值为4，
因为不等式fx≤a−32a恒成立，
所以a−32a≥4，所以a>0，
故不等式a−32a≥4可化为a−32≥4a，
所以a2−10a+9≥0，
解得a≥9或a≤1，
所以a的取值范围为−∞,1∪9,+∞．
【变式10-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时，f(x)<0.
(1)求证：f(x)在R上是奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值.
【解题思路】（1）根据条件，通过赋值得到f(0)=0，再令y=−x即可证明结果；
（2）利用（1）中结果和条件f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)<0，再利用单调性的定义即可证明结果；
（3）利用（2）中结果，得到f(x)在−3,3上也是减函数，再利用单调性和条件即可求出结果.
【解答过程】（1）因为函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，
令x=y=0，得f(0)=0，
令y=−x，得f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f(−x)=−f(x)，
所以f(x)在R上是奇函数.
（2）在R上任取x1>x2，
则x1−x2>0，又因为f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)，
因为x>0时，f(x)<0，所以f(x1−x2)<0，得到f(x1)所以f(x)在R上是减函数.
（3）因为f(x)是R上的减函数，
所以f(x)在−3,3上也是减函数，
所以f(x)在−3,3上的最大值和最小值分别为f(−3)和f(3)，
而f3=3f1=−2，f(−3)=−f3=2，
所以f(x)在−3,3上的最大值为2，最小值为－2.
【变式10-3】（2023春·天津河东·高二校考阶段练习）已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=45．
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断当x∈−1,1时，函数fx的单调性，并用定义证明；
(3)若ft2−1<−ft恒成立，求t的取值范围．
【解题思路】（1）根据奇函数得到f0=b=0，再根据f12=45计算得到答案.
（2）确定函数单调递增，设−1fx1得到证明.
（3）变换得到ft2−1【解答过程】（1）函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，则f0=b=0，
f12=12a14+1=45，解得a=2，故fx=2xx2+1，
x∈−1,1时，f−x=−2xx2+1=−fx，函数为奇函数，
综上所述：fx=2xx2+1.
（2）当x∈−1,1时，函数fx单调递增，
设−1−10，x2−x1>0，1−x1x2>0，
故fx2−fx1>0，即fx2>fx1，
故fx在−1,1上单调递增.
（3）ft2−1<−ft，即ft2−1fx在−1,1上单调递增，故t2−1<−t−1定义
图形表示
几何意义
单调递增
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 .
单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 .
函数
单调性
一次函数y=ax+b
(a≠0)
a>0时，在R上单调递增；
a<0时，在R上单调递减.
反比例函数
a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；
a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,).
二次函数y=a(x-m)²+n
(a≠0)
a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；
a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
增
增
增
不能确定单调性
增
减
不能确定单调性
增
减
减
减
不能确定单调性
减
增
不能确定单调性
减
t=g(x)
y=f(t)
y=f(g(x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
名称
定义
几何意义
函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)x∈1，都有f(x)≤M；
(2)x0∈1，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.
函数的最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：
(1)x∈1，都有f(x)≥m；
(2)x0∈1，使得f(x0)=m.
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.
函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.
定 义
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.
非奇非
偶函数
既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.
定义域
特征
定义域必须是关于原点对称的区间.
等价
形式
设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且
f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.
名称
定义
图形表示
几何意义
单调递增
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 .
单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 .
函数
单调性
一次函数y=ax+b
(a≠0)
a>0时，在R上单调递增；
a<0时，在R上单调递减.
反比例函数
a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；
a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,).
二次函数y=a(x-m)²+n
(a≠0)
a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；
a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
增
增
增
不能确定单调性
增
减
不能确定单调性
增
减
减
减
不能确定单调性
减
增
不能确定单调性
减
t=g(x)
y=f(t)
y=f(g(x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
名称
定义
几何意义
函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)x∈1，都有f(x)≤M；
(2)x0∈1，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.
函数的最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：
(1)x∈1，都有f(x)≥m；
(2)x0∈1，使得f(x0)=m.
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.
函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.
定 义
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.
非奇非
偶函数
既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.
定义域
特征
定义域必须是关于原点对称的区间.
等价
形式
设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且
f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.