数学人教A版 (2019)3.3 幂函数当堂检测题

这是一份数学人教A版 (2019)3.3 幂函数当堂检测题，共27页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2093" 【题型1 对幂函数的概念的理解】 PAGEREF _Tc2093 \h 1
\l "_Tc275" 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 PAGEREF _Tc275 \h 2
\l "_Tc13957" 【题型3 求幂函数的定义域】 PAGEREF _Tc13957 \h 4
\l "_Tc494" 【题型4 求幂函数的值域】 PAGEREF _Tc494 \h 4
\l "_Tc14307" 【题型5 幂函数的图象】 PAGEREF _Tc14307 \h 5
\l "_Tc31526" 【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】 PAGEREF _Tc31526 \h 6
\l "_Tc14569" 【题型7 比较幂值的大小】 PAGEREF _Tc14569 \h 7
\l "_Tc1066" 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 PAGEREF _Tc1066 \h 7
【知识点1 幂函数的概念】
1．幂函数的概念
(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的特征：
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量；
③xα的指数为常数.
只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
【题型1 对幂函数的概念的理解】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=x2−1B．y=x0.3C．y=2xD．y=0.3x
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在函数y=1x2，y=2x3，y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知函数fx=a2−a−1x1a−2为幂函数，则实数a的值为（ ）
A．−1或2B．−2或1C．−1D．1
【变式1-3】（2023·高一课时练习）在函数①y=1x，②y=x2，③y=2x，④y=2，y=2x2，⑥y=x−12中，是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥
【题型2 求幂函数的函数值、解析式】
【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考开学考试）已知幂函数y=fx的图象过4,32点，则f2=（ ）．
A．22B．4C．42D．8
【变式2-1】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数y=fx的图象过点2,2，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2xB．y=xC．y=lgxD．y=x2
【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，则f(9)的值是（ ）
A．-3B．-13C．13D．3
【变式2-3】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点a3,2在幂函数fx=a−1xb的图象上，则（ ）
A．fx=x−1B．fx=2x12
C．fx=x3D．fx=x13
【知识点2 幂函数的图象与性质】
1．常见幂函数的图象与性质
温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
2．一般幂函数的图象与性质
(1)一般幂函数的图象：
①当α=1时，y=x的图象是一条直线.
②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.
③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：
(2)一般幂函数的性质：
通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：
①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).
②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.
③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方
无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.
⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个
幂函数的公共点.
3．对勾函数的图象与性质
参考幂函数的性质，探究函数的性质.
(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.
(2)函数的定义域为；
(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).
(4)奇偶性：，函数为奇函数.
(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在
(-1,0)，(0,1)上单调递减.
【题型3 求幂函数的定义域】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为R的是（ ）
A．y=x−12B．y=x−1C．y=x13D．y=x12
【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=x−1+x12的定义域为（ ）
A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞
C．0,+∞D．0,+∞
【变式3-2】（2023·高一课时练习）5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x54；④y=x23；⑤y=x−45.其中定义域为R的是（ ）
A．只有①②B．只有②③C．只有②④D．只有④⑤
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设α∈−1,12,1,2,3，则使函数y=xα的定义域为R，且该函数为奇函数的α值为（ ）
A．1或3B．−1或1C．−1或3D．−1、1或3
【题型4 求幂函数的值域】
【例4】（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,12)，则函数f(x)的值域为（）
A．(−∞,0)B．(0,+∞)C．(−∞,0)∪(0,+∞)D．(−∞,+∞)
【变式4-1】（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．y=x13B．y=x12C．y=x53D．y=x23
【变式4-2】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为0,+∞的是（ ）
A．fx=xB．fx=x+1x(x>0)
C．fx=1x+1D．fx=1−1x(x>1)
【变式4-3】（2022秋·广东广州·高一校考期末）幂函数y=fx的图象过点2,2，则函数y=x−fx的值域是（ ）
A．−∞,+∞B．−∞,14C．−14,+∞D．−14,+∞
【题型5 幂函数的图象】
【例5】（2023春·福建三明·高二统考期末）已知幂函数的图象经过点P8,4，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1
B．①y=x2，②y=x13，③y=x12，④y=x−1
C．①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x−1
D．①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x−1
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y=xpq（p,q∈Z且p,q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且pq>0
B．q为偶数，p为奇数，且pq<0
C．q为奇数，p为偶数，且pq>0
D．q为奇数，p为偶数，且pq<0
【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）
A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2
C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12
【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】
【例6】（2023春·广西玉林·高二校联考阶段练习）若幂函数fx=m2−2m−2xm2−4m+1在区间0,+∞上单调递增，则m=（ ）
A．−1B．3C．−1或3D．1或−3
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=a2−3a+3xa+1为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【变式6-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）“n=1”是“幂函数fx=n2−3n+3x2n−3在0,+∞上是减函数”的一个（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知幂函数fx=x−m2+2m+3m∈Z在区间0,+∞上是单调增函数，且y=fx的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）．
A．−1B．0C．1D．2
【题型7 比较幂值的大小】
【例7】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知a=3513,b=35−13,c=2513，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【变式7-1】（2023·海南海口·校考模拟预测）设a=3412,b=4314,c=2334，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．cC．a【变式7-2】（2022秋·福建南平·高一统考期中）下列比较大小中正确的是（ ）
A．320.5<230.5B．−23−1<−35−1
C．(−2.1)37<(−2.2)−37D．−1243<1343
【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)xm2−m−6，(m∈R)，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则f(−3)，f(−1)，f(π)的大小关系是（ ）
A．f(π)C．f(−3)【题型8 利用幂函数的性质解不等式】
【例8】（2023·高一课时练习）若(a+1)−13<(3−2a)−13，试求a的取值范围．
【变式8-1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx=m2−5m+7x−m−1m∈R为奇函数.
(1)求f12的值；
(2)若f2a+1>fa，求实数a的取值范围.
【变式8-2】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx=xm2−2m−3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在0,+∞上是单调递减函数．
(1)求m的值；
(2)解不等式f1−2x≥f2．
【变式8-3】（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知幂函数fx=3m2−2mxmm∈R在定义域上不单调．
(1)试问：函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若fa+1+f2a−3<0，求实数a的取值范围．
专题3.3 幂函数【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2093" 【题型1 对幂函数的概念的理解】 PAGEREF _Tc2093 \h 1
\l "_Tc275" 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 PAGEREF _Tc275 \h 2
\l "_Tc13957" 【题型3 求幂函数的定义域】 PAGEREF _Tc13957 \h 6
\l "_Tc494" 【题型4 求幂函数的值域】 PAGEREF _Tc494 \h 7
\l "_Tc14307" 【题型5 幂函数的图象】 PAGEREF _Tc14307 \h 9
\l "_Tc31526" 【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】 PAGEREF _Tc31526 \h 11
\l "_Tc14569" 【题型7 比较幂值的大小】 PAGEREF _Tc14569 \h 12
\l "_Tc1066" 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 PAGEREF _Tc1066 \h 14
【知识点1 幂函数的概念】
1．幂函数的概念
(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的特征：
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量；
③xα的指数为常数.
只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
【题型1 对幂函数的概念的理解】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=x2−1B．y=x0.3C．y=2xD．y=0.3x
【解题思路】根据幂函数的定义判断可得出结论.
【解答过程】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.
故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在函数y=1x2，y=2x3，y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据幂函数的定义即可求解．
【解答过程】∵幂函数y＝xa，
∴y=1x2=x−2是幂函数，y=2x3不是幂函数，y=x2+x不是幂函数，
y=1不是幂函数，比幂函数y=x0x≠0的图象多一个点0,1，
∴幂函数的个数为1．
故选：B.
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知函数fx=a2−a−1x1a−2为幂函数，则实数a的值为（ ）
A．−1或2B．−2或1C．−1D．1
【解题思路】直接根据幂函数的定义求解即可．
【解答过程】∵fx=a2−a−1x1a−2为幂函数，
∴a2−a−1=1，
∴a=2，或a=−1，
又a−2≠0，
∴a=−1，
故选：C．
【变式1-3】（2023·高一课时练习）在函数①y=1x，②y=x2，③y=2x，④y=2，y=2x2，⑥y=x−12中，是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥
【解题思路】根据幂函数的定义可判断.
【解答过程】幂函数是形如y=xα（α∈R，α为常数）的函数，①是α=−1的情形，②是α=2的情形，⑥是α=−12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数.
故选：C.
【题型2 求幂函数的函数值、解析式】
【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考开学考试）已知幂函数y=fx的图象过4,32点，则f2=（ ）．
A．22B．4C．42D．8
【解题思路】根据幂函数的定义设函数y=fx的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求f2值即可.
【解答过程】因为函数y=fx为幂函数，所以可设f（x）＝xa，
因为y=fx图象过4,32，
所以32=4a ，
所以a=52，即f(x)=x52，
所以f2=252=42
故选：C.
【变式2-1】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数y=fx的图象过点2,2，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2xB．y=xC．y=lgxD．y=x2
【解题思路】根据幂函数定义可设fx=xα，代入所过点坐标即可求得结果.
【解答过程】设幂函数fx=xα，则f2=2α=2，∴α=12，∴fx=x12=x.
故选：B.
【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，则f(9)的值是（ ）
A．-3B．-13C．13D．3
【解题思路】将点(4,2)代入fx=xα中，可得函数解析式，从而得到f(9)的值.
【解答过程】因为幂函数fx=xα的图象经过点4,2，
所以4α=2，解得α=12，则fx=x12，
所以f9=912=3，
故选：D.
【变式2-3】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点a3,2在幂函数fx=a−1xb的图象上，则（ ）
A．fx=x−1B．fx=2x12
C．fx=x3D．fx=x13
【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.
【解答过程】∵函数fx=a−1xb是幂函数，
∴a−1=1，即a=2,∴点8,2在幂函数fx=xb的图象上，
∴8b=2，即b=13，故fx=x13.
故选：D.
【知识点2 幂函数的图象与性质】
1．常见幂函数的图象与性质
温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
2．一般幂函数的图象与性质
(1)一般幂函数的图象：
①当α=1时，y=x的图象是一条直线.
②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.
③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：
(2)一般幂函数的性质：
通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：
①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).
②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.
③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方
无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.
⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个
幂函数的公共点.
3．对勾函数的图象与性质
参考幂函数的性质，探究函数的性质.
(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.
(2)函数的定义域为；
(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).
(4)奇偶性：，函数为奇函数.
(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在
(-1,0)，(0,1)上单调递减.
【题型3 求幂函数的定义域】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为R的是（ ）
A．y=x−12B．y=x−1C．y=x13D．y=x12
【解题思路】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答过程】y=x−12=1x，定义域为xx>0，
y=x−1=1x，定义域为xx≠0，
y=x13=3x，定义域为R，
y=x12=x，定义域为xx≥0．
故选：C．
【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=x−1+x12的定义域为（ ）
A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞
C．0,+∞D．0,+∞
【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【解答过程】因为fx=x−1+x12=1x+x，则x≠0x≥0，可得x>0，
故函数fx的定义域为0,+∞.
故选：D.
【变式3-2】（2023·高一课时练习）5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x54；④y=x23；⑤y=x−45.其中定义域为R的是（ ）
A．只有①②B．只有②③C．只有②④D．只有④⑤
【解题思路】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可.
【解答过程】①y=x−2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
②y=x45的定义域为R，
③y=x54的定义域为(0,+∞)，
④y=x23的定义域为R，
⑤y=x−45的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设α∈−1,12,1,2,3，则使函数y=xα的定义域为R，且该函数为奇函数的α值为（ ）
A．1或3B．−1或1C．−1或3D．−1、1或3
【解题思路】由幂函数的相关性质依次验证得解.
【解答过程】因为定义域为R，所以α>0，α≠12，
又函数为奇函数，所以α≠2，则满足条件的α=1或3.
故选:A.
【题型4 求幂函数的值域】
【例4】（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,12)，则函数f(x)的值域为（）
A．(−∞,0)B．(0,+∞)C．(−∞,0)∪(0,+∞)D．(−∞,+∞)
【解题思路】求出幂函数的解析式，即可得解.
【解答过程】f(x)=xα的图象过点(2,12) ，∴2a=12，∴a=−1，∴f(x)=x−1，
则函数f(x)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
故选：C.
【变式4-1】（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．y=x13B．y=x12C．y=x53D．y=x23
【解题思路】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.
【解答过程】由y=x13=3x可知，x∈R,y∈R，定义域、值域相同；
由y=x12=x可知x∈[0,+∞)，y∈[0,+∞)，定义域、值域相同；
由y=x53=3x5可知，x∈R,，定义域、值域相同y∈R；
由y=x23=3x2可知，x∈R，y∈[0,+∞)，定义域、值域不相同.
故选：D.
【变式4-2】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为0,+∞的是（ ）
A．fx=xB．fx=x+1x(x>0)
C．fx=1x+1D．fx=1−1x(x>1)
【解题思路】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【解答过程】由已知f(x)=x值域为0,+∞，故A错误；
∵x>0，∴fx=x+1x≥2x×1x=2，x=1时，等号成立，所以fx=x+1x(x>0)的值域是2,+∞，B错误；
f(x)=1x+1因为定义域为x∈−1,+∞，x+1>0 ，函数值域为(0,+∞)，故C正确；
f(x)=1−1x(x>1)，1x∈0,1，−1x∈−1,0，所以fx∈0,1，故D错误.
故选：C.
【变式4-3】（2022秋·广东广州·高一校考期末）幂函数y=fx的图象过点2,2，则函数y=x−fx的值域是（ ）
A．−∞,+∞B．−∞,14C．−14,+∞D．−14,+∞
【解题思路】设fx=xa，带点计算可得fx=x12，得到y=x−x12，令t=x12转化为二次函数的值域求解即可.
【解答过程】设fx=xa，
代入点2,2得2a=2
∴a=12，
∴fx=x12
则y=x−x12，令t=x12，t≥0
∴y=t2−t=t−122−14≥−14
函数y=x−fx的值域是−14,+∞.
故选：C.
【题型5 幂函数的图象】
【例5】（2023春·福建三明·高二统考期末）已知幂函数的图象经过点P8,4，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设幂函数为fx=xα，然后将P8,4坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.
【解答过程】设幂函数为fx=xα，则8α=4，23α=22，得3α=2，得α=23，
所以fx=x23，定义域为R，所以排除AD，
因为f−x=(−x)23=x23=fx，所以函数为偶函数，所以排除B，
故选：C.
【变式5-1】（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1
B．①y=x2，②y=x13，③y=x12，④y=x−1
C．①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x−1
D．①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x−1
【解题思路】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.
【解答过程】函数y=x3为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数y=x2≥0，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
y=x12=x的定义域、值域都是0,+∞，该函数图像应与③对应；
y=x−1=1x，其图像应与④对应．
故选：A．
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y=xpq（p,q∈Z且p,q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且pq>0
B．q为偶数，p为奇数，且pq<0
C．q为奇数，p为偶数，且pq>0
D．q为奇数，p为偶数，且pq<0
【解题思路】根据函数的单调性可判断出pq<0；根据函数的奇偶性及p，q互质可判断出p为偶数，q为奇数.
【解答过程】因为函数y=xpq的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递减，
所以pq<0，
因为函数y=xpq的图象关于y轴对称，
所以函数y=xpq为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）
A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2
C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12
【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.
【解答过程】解：根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象:
当n>0时，n越大，y=xn递增速度越快，故C1的n=2，C2的n=12；
当n<0时，n越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=−12，曲线C4的n=−2.
故选:B.
【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】
【例6】（2023春·广西玉林·高二校联考阶段练习）若幂函数fx=m2−2m−2xm2−4m+1在区间0,+∞上单调递增，则m=（ ）
A．−1B．3C．−1或3D．1或−3
【解题思路】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
【解答过程】因为函数fx=m2−2m−2xm2−4m+1为幂函数，且在区间0,+∞上单调递增，
所以m2−2m−2=1且m2−4m+1>0，
由m2−2m−3=0，得m=−1或m=3，
当m=−1时，m2−4m+1>0，满足题意；
当m=3时，足m2−4m+1<0，不符合题意.
综上m=−1.
故选：A.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=a2−3a+3xa+1为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【解答过程】∵幂函数fx=a2−3a+3xa+1为偶函数，
∴a2−3a+3=1，且a+1为偶数，
则实数a=1，
故选：C.
【变式6-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）“n=1”是“幂函数fx=n2−3n+3x2n−3在0,+∞上是减函数”的一个（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据幂函数的定义和性质即可求解.
【解答过程】因为fx=n2−3n+3x2n−3是幂函数，
所以n2−3n+3=1即n2−3n+2=0解得n=1或n=2，
当n=1时，fx=x−1=1x在0,+∞上是减函数，
当n=2时，fx=x在0,+∞上是增函数，
所以“n=1”是“幂函数fx=n2−3n+3x2n−3在0,+∞上是减函数”的充要条件，
故选:C.
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知幂函数fx=x−m2+2m+3m∈Z在区间0,+∞上是单调增函数，且y=fx的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）．
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】根据函数的单调性得到−m2+2m+3>0，代入验证函数的奇偶性得到答案.
【解答过程】幂函数fx=x−m2+2m+3m∈Z在区间0,+∞上是单调增函数，故−m2+2m+3>0，
解得−1当m=0时，fx=x3不满足条件；
当m=1时，fx=x4满足条件；
当m=2时，fx=x3不满足条件；
故选：C.
【题型7 比较幂值的大小】
【例7】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知a=3513,b=35−13,c=2513，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【解题思路】根据幂函数的单调性进行判断即可.
【解答过程】b=35−13=5313，因为函数y=x13是实数集上的增函数，
所以由53>35>12可得：5313>3513>2513，即c故选：C.
【变式7-1】（2023·海南海口·校考模拟预测）设a=3412,b=4314,c=2334，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．cC．a【解题思路】易得b=4314>1，再由a=3412=91614<1,c=2334=82714<1，利用幂函数的单调性判断.
【解答过程】因为a=3412=91614<1,b=4314>1,c=2334=82714<1，
且0<827<916<1，y=x14 在0,+∞上递增，
所以82714<91614，即c综上：c故选：A.
【变式7-2】（2022秋·福建南平·高一统考期中）下列比较大小中正确的是（ ）
A．320.5<230.5B．−23−1<−35−1
C．(−2.1)37<(−2.2)−37D．−1243<1343
【解题思路】利用函数的单调性进行判断即可.
【解答过程】解：对于A选项，因为y=x0.5在[0,+∞)上单调递增，所以(23)0.5<(32)0.5，故A错误，
对于B选项，因为y=x−1在(−∞,0)上单调递减，所以(−23)−1>(−35)−1，故B错误，
对于C选项，y=x37为奇函数，且在[0,+∞)上单调递增，所以y=x37在(−∞,0)上单调递增，
因为(−2.2)−37=−115−37=−51137，又−2.137<−51137，
所以(−2.1)37<(−2.2)−37，故C正确，
对于D选项，y=x43在[0,+∞)上是递增函数，
又(−12)43=(12)43，所以(12)43>(13)43，所以(−12)43>(13)43，故D错误.
故选：C.
【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)xm2−m−6，(m∈R)，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则f(−3)，f(−1)，f(π)的大小关系是（ ）
A．f(π)C．f(−3)【解题思路】由幂函数的定义即可求f(x)解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较f(−3)，f(−1)，f(π)的大小.
【解答过程】对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即f(x)在(0,+∞)上单调减，又f(x)是幂函数，知：
{m2−4m+4=1m2−m−6≠0，解得m=1或m=3（舍去），
∴f(x)=x−6，f(x)是偶函数，
∴f(−1)=f(1)，f(−3)=f(3)，而f(1)>f(3)>f(π)，即f(−1)>f(−3)>f(π)，
故选：A.
【题型8 利用幂函数的性质解不等式】
【例8】（2023·高一课时练习）若(a+1)−13<(3−2a)−13，试求a的取值范围．
【解题思路】根据y=x−13的性质，由(a+1)−13<(3−2a)−13可得相应不等式组，即可求得答案.
【解答过程】因为函数y=x−13的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
且在(−∞,0),(0,+∞)上都是单调递减函数，且x>0时，y>0；x<0时，y<0；
故(a+1)−13<(3−2a)−13得a+1>03−2a>0a+1>3−2a或a+1<03−2a<0a+1>3−2a或a+1<03−2a>0，
解得23故a的取值范围为(−∞,−1)∪23,32.
【变式8-1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx=m2−5m+7x−m−1m∈R为奇函数.
(1)求f12的值；
(2)若f2a+1>fa，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）根据幂函数的定义得到m=2或m=3，根据奇偶性即可得到m的值，再计算f(12)即可；
（2）根据幂函数的单调性结合条件可得2a+10>a，进而即得.
【解答过程】（1）由m2−5m+7=1，得m=2或m=3，
当m=2时，fx=x−3是奇函数，满足题意，
当m=3时，fx=x−4是偶函数，不满足题意，
所以fx=x−3，f12=12−3=8；
（2）因为fx=x−3的定义域为−∞,0∪0,+∞，单调减区间为−∞,0，0,+∞，
由f2a+1>fa，可得2a+10>a，
解得a<−1或−12所以实数a的取值范围为a<−1或−12【变式8-2】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx=xm2−2m−3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在0,+∞上是单调递减函数．
(1)求m的值；
(2)解不等式f1−2x≥f2．
【解题思路】（1）先利用幂函数在0,+∞上是单调递减函数，得到m2−2m−3<0，再验证其图象关于y轴对称进行求值即可；
（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解即可．
【解答过程】（1）因为幂函数fx=xm2−2m−3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数fx是偶函数，
∴m2−2m−3为偶数，∴m2−2m为奇数，
因为函数在0,+∞上是单调递减函数，所以m2−2m−3<0，解得−1因为m∈Z，则m=0，1，2，
当m=0时，m2−2m=0为偶数，舍去；
当m=1时，m2−2m=−1为奇数，
当m=2时，m2−2m=0为偶数，舍去；
故m=1；
（2）由（1）可得fx=x−4，定义域为{x|x≠0}，且在0,+∞上是单调递减函数，fx为偶函数，
又f1−2x≥f2，即1−2x≤2，且1−2x≠0，解得−12≤x≤32且x≠12，
所以不等式的解集为−12,12∪12,32．
【变式8-3】（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知幂函数fx=3m2−2mxmm∈R在定义域上不单调．
(1)试问：函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若fa+1+f2a−3<0，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由幂函数的定义可得m=−13或m=1，结合函数f(x)的单调性排除增根，由此确定
fx的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【解答过程】（1）由题意3m2−2m=1，解得m=−13或m=1，
当m=1时，fx=x，
函数fx=x在R上单调递增，不合题意；
当m=−13时，fx=x−13，
函数fx=x−13的定义域为−∞,0∪0,+∞，
函数fx=x−13在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递减，
但f−1=−1,f1=1，
所以函数fx=x−13在定义域−∞,0∪0,+∞上不单调，符合题意，
所以fx=x−13，
因为函数fx=x−13的定义域关于原点对称，
且f−x=−x−13=−x−13=−fx，
所以fx为奇函数；
（2）由fa+1+f2a−3<0及fx为奇函数，
可得fa+1<−f2a−3=f3−2a，
即a+1−13<3−2a−13，
而fx在(−∞,0)上递减且恒负，在(0,+∞)上递减且恒正，
所以a+1>03−2a>0a+1>3−2a或a+1<03−2a<0a+1>3−2a或a+1<03−2a>0，
解得a<−1或23图象
定义域
R
R
R
值域
R
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上为增函数
，增函数
，减函数
在R上为增函数
在上为增函数
，增函数
，减函数
定点
（1,1）
（p、q互质）
p，q都是奇数
p是偶数，q是奇数
p是奇数，q是偶数
幂函数
图象
定义域
R
R
R
值域
R
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上为增函数
，增函数
，减函数
在R上为增函数
在上为增函数
，增函数
，减函数
定点
（1,1）
（p、q互质）
p，q都是奇数
p是偶数，q是奇数
p是奇数，q是偶数