高一数学（人教A版2019必修第一册）专题1.6 集合与常用逻辑用语全章六类必考压轴题（举一反三）（原卷版+解析）

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专题1.6 集合与常用逻辑用语全章六类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1交、并、补集的混合运算1．（2023·河北衡水·衡水市校考三模）已知全集I=x∈N∣x≤10，集合M=1,2,3，N=2,4,6,8,10，则∁IM∪N=（    ）A．5,7,9 B．1,2,3,4,6,8,10C．0,5,7,9 D．0,1,2,3,4,6,8,102．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集U=A∪B=x∈N|0≤x≤7，A∩∁UB=1,3,5,7，则集合B=（    ）A．0,2,4,6 B．2,4,6 C．0,2,4 D．2,43．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U=R，集合M=x∈Zx−1<3，N=−4,−2,0,1,5，则下列Venn图中阴影部分的集合为 ．4．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知集合A={x|3≤x<7},B={x|41},B=x∣x≤a−1，若A∪B=R，则实数a的取值范围为（    ）A．−∞,1 B．−∞,2 C．1,+∞ D．2,+∞2．（2023·全国·高三专题练习）设集合A=x|x<2或x≥4，B=xx2 C．a≤4 D．a≥43．（2022秋·高一课时练习）已知A=x∣x2+px−6=0，B=x∣x2+qx+2=0，且A∩∁RB={2}，则p+q的值等于_____．4．（2023·全国·高一假期作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁UB)=A，求实数a的取值范围．5．（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知A=xx2−6x+5=0，B=xax−1=0.(1)若a=1，求A∩∁ZB；(2)从①A∪∁RB=R；②A∩B=B；③B∩∁RA=∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若__________，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.考点4集合与充分、必要条件的综合应用1．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知集合A=x|1−m≤x≤1+m，集合B=x|x2−8x−20≤0.(1)若m=5，求A∩B，A∪B；(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围.2．（2023·全国·高一专题练习）设U=R，已知集合A=x|−2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m−1．(1)当4∈B时，求实数m的范围；(2)设p:x∈A；q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围．3．（2023秋·安徽芜湖·高一校考期末）设全集是R，集合A=x|a0 B．a≥0 C．a≤0 D．a≤12．（2023春·四川宜宾·高二校考期末）已知命题p：∃x∈R,x2+2x+2−a=0为真命题，则实数a的值不能是（    ）A．1 B．2 C．3 D．−33．（2023·高一课时练习）已知命题p:∀x∈[1,2],x2−a≥0，命题q:∀x∈R,x2+2ax+2−a≠0，若命题p和¬q都是真命题，则实数a的取值范围是 ．4．（2023·高一课时练习）命题p：“∀x∈1,2，x2−a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+3x+2−a=0”，若p和q中至少有一个是假命题，求实数a的取值范围．5．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知命题p存在实数x∈R，使x2−ax+1≤0成立．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q:任意实数x∈1,2，使x2−ax+1≤0恒成立，如果命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．考点6集合与命题的综合应用1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，且B≠∅.若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x−3≤x≤10 ，B=x2m+1≤x≤3m−2，且B≠∅．(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合A=x−3≤x<4,B=x2m−1≤x≤m+1（1）若B⊆A，求实数m的取值范围.（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题p:∃x∈R,x2−6x+a2=0，当命题p为真命题时，实数a的取值集合为A．(1)求集合A；(2)设集合B=a3m−2≤a≤m−1，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．5．（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设全集U=R，集合A=xlog212≤x2m−1，解得m<2，此时满足B⊆A；②当B≠∅时，要使得B⊆A，则满足m+1≥−22m−1≤52m−1≥m+1，解得2≤m≤3，综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.（2）解：由题意，要使得A⊆B，则满足m+1≤−22m−1≥52m−1≥m+1，此时不等式组无解，所以实数m不存在，即不存在实数m使得A⊆B.5．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x|x<1,B=x|x1},B=x∣x≤a−1，若A∪B=R，则实数a的取值范围为（    ）A．−∞,1 B．−∞,2 C．1,+∞ D．2,+∞【解题思路】根据并集定义，结合数轴即可得到实数a的取值范围.【解答过程】因为A∪B=R,所以a−1≥1，解得a≥2．故选:D.2．（2023·全国·高三专题练习）设集合A=x|x<2或x≥4，B=xx2 C．a≤4 D．a≥4【解题思路】先求得∁RA=x|2≤x<4，再结合集合B=xx2，故选：B.3．（2022秋·高一课时练习）已知A=x∣x2+px−6=0，B=x∣x2+qx+2=0，且A∩∁RB={2}，则p+q的值等于 143 ．【解题思路】根据A∩∁RB={2}，可得2∈A，即可解得p的值，进而可求得集合A={2,−3}，又根据A∩∁RB={2}，可得−3∉∁RB，即−3∈B，即可解得q的值，即可得答案.【解答过程】因为A∩∁RB={2}，所以2∈A，则22+2p−6=0，解得p=1，所以A=x∣x2+x−6=0，解得A={2,−3}，又因为A∩∁RB={2}，所以−3∉∁RB，即−3∈B，所以(−3)2−3q+2=0，解得q=113，所以p+q=1+113=143，故答案为：143.4．（2023·全国·高一假期作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁UB)=A，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）题意说明2∈B，代入B中方程求得a值并检验是否满足题意；（2）题意说明B⊆A，由集合的包含关系求解；（3）题意说明A⊆∁UB，A∩B=∅，只要A中元素1和2不是集合B中方程的解，即可得出结论，说明集合B中方程可以无实数解．【解答过程】（1）x2−3x+2=(x−1)(x−2)=0，x=1或x=2，∴A={x|x2−3x+2=0}={1,2},∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3．当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．综上可得，a的值为－1或－3．（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A．对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3时，B=∅，满足条件；②当Δ=0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．综上可知，a的取值范围是a≤－3．（3）∵A∩(∁UB)=A，∴A⊆∁UB，∴A∩B=∅．对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当Δ<0，即a<－3时，B=∅，满足条件．②当Δ=0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．③当Δ>0，即a>－3时，只需1∉B且2∉B即可．将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a=−1±3，∴a≠－1，a≠－3且a≠−1±3，综上，a的取值范围是{a|a≠−1且a≠−3且a≠−1±3}．5．（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知A=xx2−6x+5=0，B=xax−1=0.(1)若a=1，求A∩∁ZB；(2)从①A∪∁RB=R；②A∩B=B；③B∩∁RA=∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若__________，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】（1）当a=1时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合A∩∁ZB；（2）选①，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据A∪∁RB=R可得出关于a的等式，综合可得出集合C；选②，分析可知B⊆A，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B⊆A可得出关于a的等式，综合可得出集合C；选③，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B∩∁RA=∅，可得出关于a的等式，综合可得出集合C.【解答过程】（1）解：当a=1时，B=xx−1=0=1，又因为A=xx2−6x+5=0=1,5，故A∩∁ZB=5.（2）解：若选①，当a=0时，B=∅，则∁RB=R，满足A∪∁RB=R，当a≠0时，B=1a，若A∪∁RB=R，则1a=1或5，解得a=1或15.综上所述，C=0,15,1；若选②，∵A∩B=B，则B⊆A.当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B=1a，因为B⊆A，则1a=1或5，解得a=1或15.综上所述，C=0,15,1；若选③，当a=0时，B=∅，满足B∩∁RA=∅；当a≠0时，则B=1a，因为B∩∁RA=∅，则1a=1或5，解得a=1或15.综上所述，C=0,15,1.考点4集合与充分、必要条件的综合应用1．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知集合A=x|1−m≤x≤1+m，集合B=x|x2−8x−20≤0.(1)若m=5，求A∩B，A∪B；(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）代入若m=5再求解交集并集即可；（2）根据必要条件满足的集合包含关系，列出A,B区间端点满足的不等式求解即可.【解答过程】（1）若m=5则A=x|−4≤x≤6，B=x|x−10x+2≤0=x|−2≤x≤10，故A∩B=x|−2≤x≤6，A∪B=x|−4≤x≤10（2）B=x|−2≤x≤10，若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B或A为空集.当A⊆B时1−m≤1+m−2≤1−m1+m≤10，解得0≤m≤3；当A为空集时1−m>1+m，即m<0.综上有m≤3.2．（2023·全国·高一专题练习）设U=R，已知集合A=x|−2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m−1．(1)当4∈B时，求实数m的范围；(2)设p:x∈A；q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围．【解题思路】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由题可得B是A的真子集，分类讨论B为空集和B不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.【解答过程】（1）由题可得m+1≤4≤2m−1，则52≤m≤3；（2）由题可得B是A的真子集，当B=∅，则m+1>2m−1⇒m<2；当B≠∅，m≥2，则2m−1≤5m+1≥−2（等号不同时成立），解得2≤m≤3综上：m≤3.3．（2023秋·安徽芜湖·高一校考期末）设全集是R，集合A=x|a3或a+1<−1，解得a>4或a<−2，所以实数a的取值范围是−∞,−2∪4,+∞．考点5根据命题的真假求参数1．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（    ）A．a>0 B．a≥0 C．a≤0 D．a≤1【解题思路】结合二次函数的性质来求得a的取值范围.【解答过程】依题意命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，当a=0时，1≥0成立，当a>0时，ax2+1≥0成立，当a<0时，函数y=ax2+1开口向下，ax2+1≥0不恒成立.综上所述，a≥0.故选：B.2．（2023春·四川宜宾·高二校考期末）已知命题p：∃x∈R,x2+2x+2−a=0为真命题，则实数a的值不能是（    ）A．1 B．2 C．3 D．−3【解题思路】利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.【解答过程】因为命题p：∃x∈R,x2+2x+2−a=0为真命题，所以Δ=4−4(2−a)≥0解得a≥1，结合选项可得实数a的值不能是−3，故选:D.3．（2023·高一课时练习）已知命题p:∀x∈[1,2],x2−a≥0，命题q:∀x∈R,x2+2ax+2−a≠0，若命题p和¬q都是真命题，则实数a的取值范围是 (−∞,−2]∪{1} ．【解题思路】先根据命题的真假求出a的范围，取交集可得答案.【解答过程】当p:∀x∈[1,2],x2−a≥0为真时，a≤1；当q:∀x∈R,x2+2ax+2−a≠0为真时，Δ=4a2−42−a<0，即−22成立.②当B不是空集时，∵B⊆A，m+1≥2m−12m−1≥−3m+1<4，∴−1≤m≤2综上①②，m≥−1.（2）∃x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠∅,m+1≥2m−1,m≤2.当A∩B=∅时2m−1≥4m≤2，无解或m+1<−3m≤2，m<−4，∴A∩B≠∅,m∈[−4,2].4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题p:∃x∈R,x2−6x+a2=0，当命题p为真命题时，实数a的取值集合为A．(1)求集合A；(2)设集合B=a3m−2≤a≤m−1，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）由题意可知x2−6x+a2=0有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；（2）结合题意推出B⊆A,且B≠A，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.【解答过程】（1）因为p为真命题，所以方程x2−6x+a2=0有解，即Δ=36−4a2≥0，所以−3≤a≤3，即A=a−3≤a≤3；（2）因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⊆A,且B≠A，i）当B=∅时，3m−2>m−1，解得m>12；ii）当B≠∅时，3m−2≤m−13m−2≥−3m−1≤3，且3m−2≥−3,m−1≤3等号不会同时取得，解得−13≤m≤12，综上，m≥−13.5．（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设全集U=R，集合A=xlog212≤x