高一数学（人教A版2019必修第一册）专题1.8 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）（原卷版+解析）

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第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）【人教A版2019】考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2023春·重庆北碚·高二校考阶段练习）命题：∀x∈R，x2+x−1≥0的否定是（　　）A．∃x0∈R，x02+x0−1≥0 B．∃x0∈R，x02+x0−1<0C．∀x∈R，x2+x−1≤0 D．∀x∈R，x2+x−1<02．（5分）（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合x∈N|x3=x用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或R；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（　　）A．3 B．2C．1 D．03．（5分）（2023·全国·高三对口高考）下面有四个命题：①3⊆xx≥3；②若a=22,B=x∈Rx≥2+2，则a∈B；③若−a不属于N∗，则a属于N∗；④若A=xy=1−x2,B=yy=1−x2，则A=B其中真命题的个数为（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ）A．①④ B．①② C．②③ D．③④5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知f(x)=x2−1的定义域为A，集合B={x∈R∣10的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（    ）A．a<13 B．01”是“1a<1”的充分不必要条件B．命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件D．设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件10．（5分）（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）若“∀x∈M，x>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（    ）A．−∞，−5 B．−3，−1 C．3，+∞ D．0，311．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）A．(−∞,4] B．(−∞,3] C．3,4 D．4,512．（5分）（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意A,B⊆R，定义A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}，下列命题中为真命题的是（    ）A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．若A,B⊆R，则∁RA⊕B=∁R(A⊕B)三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0”的否定为真命题，则实数a的取值范围是 .14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设命题p:4x−3≤1；命题q:x2−2a+1x+aa+1≤0，若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 ．15．（5分）（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；其中正确结论的序号是 .16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x0时，B={x∈R∣1a0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（    ）A．a<13 B．0p4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p22=p2，所以p4=p23，故S=1,p2,p22,p23，此时p25∈T,p2∈T，故p24∈S，矛盾，舍.若p1≥2，则p2p1p4p1>p4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p13=p1，所以p4=p14，故S=p1,p12,p13,p14，此时p13,p14,p15,p16,p17⊆T.若q∈T， 则qp13∈S，故qp13=p1i,i=1,2,3,4，故q=p1i+3,i=1,2,3,4，即q∈p13,p14,p15,p16,p17，故p13,p14,p15,p16,p17=T，此时S∪T=p1,p12,p13,p14,p14,p15,p16,p17即S∪T中有7个元素.故A正确.故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）下列命题正确的是（    ）A．“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B．命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件D．设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件【解题思路】对于ACD，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误.【解答过程】对于A，1a<1即为a<0或a>1，因为a>1可得推出a<0或a>1，a<0或a>1推不出a>1，故“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故A正确.对于B，命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”，故B正确.对于C，当x≥2且y≥2时，有x2+y2≥8≥4，取x=y=2，满足x2+y2≥4，但x≥2且y≥2不成立，故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件，故C错误.对于D，取a=1≠0，b=0，此时ab=0，故ab≠0不成立，当ab≠0时，必有a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故D正确.故选：ABD.10．（5分）（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）若“∀x∈M，x>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（    ）A．−∞，−5 B．−3，−1 C．3，+∞ D．0，3【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，x>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.【解答过程】∵ ∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，x>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB.11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）A．(−∞,4] B．(−∞,3] C．3,4 D．4,5【解题思路】根据题意B⊆A讨论B≠∅和B≠∅情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.【解答过程】由题意集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，因为B⊆A，所以当B=∅时，a+2>2a−1，即a<3 ；当B≠∅时，有−1≤a+2≤2a−1≤7 ，解得3≤a≤4，故M=(−∞,4],则M的一个真子集可以是(−∞,3]或3,4，故选：BC.12．（5分）（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意A,B⊆R，定义A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}，下列命题中为真命题的是（    ）A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．若A,B⊆R，则∁RA⊕B=∁R(A⊕B)【解题思路】根据定义A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，得到A⊕B=∁RA∩B∪A∩∁RB，对四个选项一一验证.【解答过程】根据定义A⊕B=∁RA∩B∪A∩∁RB.对于A：若A⊕B=B,则∁RA∩B=B,A∩∁RB=∅,∁RA∩B=B⇒B⊆∁RA,A∩∁RB=∅⇒A⊆B,∴A=∅,故A正确;对于B：若A⊕B=∅,则∁RA∩B=∅,A∩∁RB=∅,A∩B=A⇒A⊆B,A∩B=B⇒B⊆A,∴A=B,故B正确;对于C：若 A⊕B⊆A,则A⊕B⊆A,A∩∁RB⊆A,则B⊆A.故C错;对于D：左边∁RA⊕B=A∩B∪∁RA∩∁RB,右边∁R(A⊕B)=∁R∁RA∩B∪A∩∁RB=A∩B∪∁RA∩∁RB所以左=右.故D正确.故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0”的否定为真命题，则实数a的取值范围是 aa≤1 .【解题思路】问题等价于ax2+2x+1=0有解，即Δ=4−4a≥0a≠0或a=0，解得答案.【解答过程】已知问题等价于ax2+2x+1=0有解，即Δ=4−4a≥0a≠0或a=0，解得a≤1.故答案为：aa≤1.14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设命题p:4x−3≤1；命题q:x2−2a+1x+aa+1≤0，若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 0≤a≤12 ．【解题思路】根据题意，得到q是p的必要不充分条件，进行求解即可.【解答过程】p:4x−3≤1,∴12≤x≤1,q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0,∴a≤x≤a+1,因为¬p是¬q的必要而不充分条件，∴q是p的必要不充分条件,∴a≤12a+1≥1,∴0≤a≤12,∴实数a的取值范围是0≤a≤12,故答案为0≤a≤12.15．（5分）（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；其中正确结论的序号是 ②④ .【解题思路】①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P判断；③举例P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；【解答过程】①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P，则x+y=2k1+k2∈A,x−y=2k1−k2∈A,xy=2k1⋅k2∈A，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P1∪P2不为幸运集，如x=2,y=3时，x+y=5∉P1∪P2，故错误；④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；故答案为：②④.16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若xp4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p22=p2，所以p4=p23，故S=1,p2,p22,p23，此时p25∈T,p2∈T，故p24∈S，矛盾，舍去；若p1≥2，则p2p1p4p1>p4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p13=p1，所以p4=p14，故S=p1,p12,p13,p14，此时p13,p14,p15,p16,p17⊆T，若q∈T，则qp13∈S，故qp13=p1i,i=1,2,3,4，故q=p1i+3,i=1,2,3,4，即q∈p13,p14,p15,p16,p17，故p13,p14,p15,p16,p17=T，此时S∪T=p1,p12,p13,p14,p15,p16,p17，即S∪T中有7个元素.故答案为：7.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·高一课时练习）已知集合A=x|ax2+4x+4=0,a∈R,x∈R.（1）若A中只有一个元素，求a及A；（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【解题思路】（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，当A中只有一个元素时，求a的取值；（2）讨论集合A=ϕ或有一个元素时，a的取值范围.【解答过程】（1）当a=0时，4x+4=0，解得：x=−1 ，所以A中只有一个元素，即A=−1，当a≠0时，Δ=16−16a=0，解得：a=1，x2+4x+4=0，解得：x=−2，此时A=−2 综上可知a=0时A=−1，a=1时A=−2.（2）当集合A=ϕ时，Δ=16−16a<0，解得：a>1 由（1）可知集合A有1个元素时，a=0或a=1，综上可知：a=0或a≥1，即a∈0∪1,+∞.18．（12分）（2023·高一课时练习）已知集合M=x−2≤x≤5.(1)若N=xm+1≤x≤2m−1，N⊆M，求实数m的取值范围；(2)若N=xm−6≤x≤2m−1，M⊆N，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)分N为空集和N不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；(2)M⊆N，则M是N的子集，列出不等式组求解即可.【解答过程】（1）①若N=∅，则m+1>2m−1，即m<2，此时N⊆M；②若N≠∅，则m+1≤2m−1−2≤m+12m−1≤5，解得2≤m≤3.综合①②，得实数m的取值范围是mm≤3.（2）（2）若M⊆N，则m−6≤−22m−1≥5，解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围是m3≤m≤4.19．（12分）（2022秋·吉林四平·高三校考阶段练习）已知命题p：“实数a满足xm≤x≤m+1⊂x1≤x≤a”，命题q：“∀x∈R，ax2+ax+3都有意义”．(1)已知m=1，p为假命题，q为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p是¬q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）将m=1代入，化简p、q，然后根据p为假命题，q为真命题，列出不等式，即可得到结果.（2）先根据条件化简p、q得到¬q，然后根据p是¬q的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.【解答过程】（1）当m=1时，由{x|1≤x≤2}⊂{x|1≤x≤a}，得a>2，即：若p为真命题，则a>2；若q为真命题，即ax2+ax+3≥0恒成立，则当a=0时，3≥0满足题意；当a≠0时，a>0Δ=a2−12a≤0，解得012．因为p是¬q的充分不必要条件，所以m+1>12，解得m>11．故m的取值范围是mm>11.20．（12分）（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）已知集合A=x∈N130时，B=xx≥1a，要使A⊆B，则1a≤1，解得a≥1；当a<0时，B=xx≤1a ，此时1a<0，不满足A⊆B，舍去.综上，实数a的取值范围为1,+∞.选择②.当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅；当a>0时，B=xx≥1a，要使A∩B=∅，则1a>3，解得00时，B=xx≥1a，∁RB=xx<1a，要使A∩∁RB≠∅，则1a>1，解得01a，此时1a<0，A∩∁RB=A≠∅，满足题意.综上，实数a的取值范围为−∞,1.21．（12分）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合A=x∣a−1≤x≤2a+1,B=x∣−2≤x≤4.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当a=3时，求∁RA∩B；(2)若______，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.【解答过程】（1）当a=3时，A=x∣2≤x≤7，而B=x∣−2≤x≤4，所以A∩B=x∣2≤x≤4，则∁RA∩B={x∣x<2或x>4}.（2）选①：因为A∪B=B，所以A⊆B，当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A⊆B，则a<−2；当A≠∅时，a≥−2，由A⊆B得a−1≥−22a+1≤4，解得−1≤a≤32；综上：a<−2或−1≤a≤32，即实数a的取值范围为−∞,−2∪−1,32；选②：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足题意，则a<−2；当A≠∅时，a≥−2，则a−1≥−22a+1≤4，且不能同时取等号，解得−1≤a≤32；综上：a<−2或−1≤a≤32，即实数a的取值范围为−∞,−2∪−1,32；选③：因为A∩B=∅，所以当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A∩B=∅，则a<−2；当A≠∅时，a≥−2，由A∩B=∅得2a+1<−2或a−1>4，解得a<−32或a>5，又a≥−2，所以−2≤a<−32或a>5；综上：a<−32或a>5，实数a的取值范围为−∞,−32∪5,+∞.22．（12分）（2023春·北京顺义·高二校考阶段练习）设A是非空实数集，且0∉A．若对于任意的x,y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P1；若对于任意的x,y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P2．(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质P1的集合A；(2)若非空实数集A具有性质P2，求证：集合A具有性质P1；(3)设全集U=xx≠0,x∈R，是否存在具有性质P1的非空实数集A，使得集合∁UA具有性质P2？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．【解题思路】（1）根据题意直接写出A=−1,1即可；（2）根据性质P2可知1∈A，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质P1即可．（3）由题意可知1∈∁UA，且∁UA不是单元素集1，令a∈A,b∈∁UA,c∈∁UA，且c≠1， 若ac∈∁UA，则a∈∁UA，这与a∈A矛盾；若ac∈A，则1a∈∁UA，c÷1a=ac∈∁UA，这与ac∈A矛盾，综上可得到结论．【解答过程】（1）由−1×−1=1,−1×1=−1,1×1=1，可得恰含有两个元素且具有性质P1的集合A=−1,1；（2）若集合A具有性质P2，不妨设a∈A，由非空数集A具有性质P2，有aa=1∈A．①若A=1，易知此时集合A具有性质P1．②若实数集A只含有两个元素，不妨设A=1,a1，由1a1=a1，且a1≠1，解得：a1=−1，此时集合A具有性质P1．③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素a1,a2∈A，则有1a1∈A，由于集合A具有性质P2，所以有a2÷1a1=a1a2∈A，这说明集合A具有性质P1；（3）不存在具有性质P1的非空实数集A，使得集合∁UA具有性质P2，由于非空实数集A具有性质P1，令集合B=∁UA，依题意不妨设b∈B，a∈A，因为集合B具有性质P2，所以bb=1∈B，若B=1，则a≠1，1a∈A，因为非空实数集A具有性质P1，故a×1a=1∈A，这与B=1矛盾，故集合B不是单元素集1，令c∈B，且c≠1，①若ac∈B，可得acc∈B，即a∈B，这与B=∁UA矛盾；②若ac∈A，由于a∈A，1∉A，所以1a∈B，因此c÷1a=ac∈B，这与ac∈A矛盾，综上可得：不存在具有性质P1的非空实数集A，使得集合∁UA具有性质P2．