高一数学（人教A版2019必修第一册）专题3.8 函数的概念与性质全章综合测试卷（提高篇）（原卷版+解析）

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第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷（提高篇）【人教A版2019】考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2023·高一课时练习）已知集合A={1,2,3,k},B=4,7,a4,a2+3a，其中a∈N+，函数f(x)=3x+1的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（    ）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，52．（5分）（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：①y=x34；②y=x23；③y=x−32；④y=x−23；⑤y=x32；⑥y=x−13；⑦y=x13．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）              A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①3．（5分）（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象大致是（    ）  A．   B．  C．   D．  4．（5分）（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ωx万元.其中ωx=x2+10x,040，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（    ）A．720万元 B．800万元C．875万元 D．900万元5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1−m3<3−2a−m3的a的取值范围为（    ）A．0,+∞ B．−23,+∞C．0,32 D．−∞,−1∪23,326．（5分）（2023春·甘肃张掖·高三校考阶段练习）已知函数fx+1是偶函数，当10恒成立，设a=f−12，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（    ）A．c0成立，f1=1，则不等式fx−x>0的解集为（    ）A．−∞,−1∪1,+∞ B．−1,1C．−∞,−1∪0,1 D．−1,0∪1,+∞8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x≥1时f(x)={−x+3,1≤x<41−log2x,x≥4，若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(2−x)≤f(x+1+t)恒成立，则实数t的最大值为（    ）A．−1 B．−23 C．−13 D．13二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·安徽宿州·高二校考阶段练习）下列命题中，正确的有（    ）A．函数y=x+1⋅x−1与函数y=x2−1表示同一函数B．已知函数f(2x+1)=4x−6，若f(a)=10，则a=9C．若函数f(x−1)=x−3x，则fx=x2−x−2x⩾−1D．若函数f(x)的定义域为0,2，则函数f2x的定义域为0,410．（5分）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数f(x)=xa图像经过点3,19，则下列命题正确的有（    ）A．函数f(x)为增函数 B．函数f(x)为偶函数C．若x>1，则f(x)>1 D．若0fx1+x2211．（5分）（2023·山东滨州·校考模拟预测）已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（    ）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函数C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式f3x2−2f(x)x1+x22x1≠x2，则不等式fx−f1−x>x−12的解集为 .16．（5分）（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·高一课时练习）已知f(x)=ax2+(a−4)⋅x−21+x2．(1)若a=4时，求fx的值域；(2)函数g(x)=x2+1f(x)+52，若函数ℎ(x)=g(x)的值域为[0,+∞)，求a的取值范围．18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知fx=m2−2m−7xm−2是幂函数，且在0,+∞上单调递增．（1）求m的值；（2）求函数gx=fx−2a−1x+1在区间2,4上的最小值ℎa．19．（12分）（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知函数fx对于任意实数x,y∈R恒有fx+y=fx+fy，且当x>0时，fx>0，又f1=1．(1)判断fx的奇偶性并证明；(2)求fx在区间−4,4的最小值；(3)解关于x的不等式：fax2−2fx>fax−2．20．（12分）（2023秋·北京门头沟·高一校考期末）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积x（单位：平方米）之间的函数关系为Cx=m−4x5,0≤x≤10mx,x>10（m为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元），记Fx为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)求常数m的值；(2)写出Fx的解析式；(3)当x为多少平方米时，Fx取得最小值？最小值是多少万元？21．（12分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）已知幂函数fx=p2−3p+3xp2−32p−12是其定义域上的增函数．(1)求函数fx的解析式；(2)若函数ℎx=x+afx，x∈1,9，是否存在实数a使得ℎx的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；(3)若函数gx=b−fx+3，是否存在实数m,n(m40，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（    ）A．720万元 B．800万元C．875万元 D．900万元【解题思路】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.【解答过程】该企业每年利润为fx=70x−x2+10x+25,040当040时，fx=920−x+10000x≤920−2x⋅10000x=720（当且仅当x=100时等号成立），即在x=100时，fx取得最大值720；由875>720，可得该企业每年利润的最大值为875.故选：C.5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1−m3<3−2a−m3的a的取值范围为（    ）A．0,+∞ B．−23,+∞C．0,32 D．−∞,−1∪23,32【解题思路】由条件知m2−2m−3<0，m∈N∗，可得m＝1．再利用函数y=x−13的单调性，分类讨论可解不等式.【解答过程】幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗在0,+∞上单调递减，故m2−2m−3<0，解得−13−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得a<−1或230恒成立，设a=f−12，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（    ）A．c0恒成立，∴当10，即fx2>fx1，∴函数fx在(1,+∞)上为单调增函数，∵函数f(x+1)是偶函数，即f1+x=f1−x，∴函数fx的图象关于直线x=1对称，∴a=f−12=f52，又函数fx在(1,+∞)上为单调增函数，∴f(2)0成立，f1=1，则不等式fx−x>0的解集为（    ）A．−∞,−1∪1,+∞ B．−1,1C．−∞,−1∪0,1 D．−1,0∪1,+∞【解题思路】利用函数fx+1的图象的对称中心是−1,0可得fx是R上的奇函数，由x2fx1−x1fx2x1−x2>0可得fx1x1−fx2x2x1−x2>0，故可得gx=fxx在0,+∞上单调递增，然后分x=0，x>0和x<0三种情况进行求范围即可【解答过程】因为fx+1是fx向左平移1个单位长度得到，且函数fx+1的图象的对称中心是−1,0，所以fx的图象的对称中心是0,0，故fx是R上的奇函数，所以f−1=−f1=−1，对任意的x1，x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x2fx1−x1fx2x1−x2>0成立，所以x2fx1−x1fx2x1x2x1−x2=fx1x1−fx2x2x1−x2>0，令gx=fxx，所以根据单调性的定义可得gx在0,+∞上单调递增，由fx是R上的奇函数可得gx是−∞,0∪0,+∞上的偶函数所以gx在−∞,0上单调递减，当x=0时，不等式fx−x>0得到0−0>0，矛盾；当x>0时，fx−x>0转化成fxx>1=f11即gx>g1，所以x>1；当x<0时，fx−x>0转化成fxx<1=f−1−1，gx0的解集为−1,0∪1,+∞故选：D.8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x≥1时f(x)={−x+3,1≤x<41−log2x,x≥4，若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(2−x)≤f(x+1+t)恒成立，则实数t的最大值为（    ）A．−1 B．−23 C．−13 D．13【解题思路】若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(2−x)≤f(x+1+t)恒成立，即对x∈[t,t+1]，不等式f(x)≤f(x+1+t)恒成立，|x-1|≥|x+t|，进而可得答案.【解答过程】∵当1≤x<4时，y=−x+3单调递减，f(x)>f(4)=1−log24=−1，当x≥4时，f(x)单调递减，f(x)≥f(4)=−1，故f(x)在[1,+∞)上单调递减，由f(2−x)=f(x)，得f(x)的对称轴为x=1，若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(2−x)≤f(x+1+t)恒成立，即对x∈[t,t+1]，不等式f(x)≤f(x+1+t)恒成立，∴|x-1|≥|x+t|，即(1−x)2≥(x+t)2，即2(t+1)x+t2−1≤0，{2(t+1)t+t2−1≤02(t+1)(t+1)+t2−1≤0⇒−1≤t≤−13故实数t的最大值为−13.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·安徽宿州·高二校考阶段练习）下列命题中，正确的有（    ）A．函数y=x+1⋅x−1与函数y=x2−1表示同一函数B．已知函数f(2x+1)=4x−6，若f(a)=10，则a=9C．若函数f(x−1)=x−3x，则fx=x2−x−2x⩾−1D．若函数f(x)的定义域为0,2，则函数f2x的定义域为0,4【解题思路】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；解方程组2x+1=a4x−6=10⇒x=4a=9，故B正确；求出fx=x2−x−2x⩾−1，故C正确；函数f2x的定义域为0,1，故D错误.【解答过程】解：f(x)=x+1⋅x−1的定义域是{x|x+1⩾0x−1⩾0}={x|x⩾1}， g(x)=x2−1的定义域是{x|x2−1⩾0} ={x|x⩾1或x⩽−1}，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;函数f(2x+1)=4x−6，若f(a)=10，则2x+1=a4x−6=10，所以x=4a=9，故B正确；若函数fx−1=x−3x=(x−1)2−(x−1)−2，则fx=x2−x−2x⩾−1，故C正确；若函数f(x)的定义域为0,2，则函数f2x中，0≤2x≤2，所以0≤x≤1，即函数f2x的定义域为0,1，故D错误.故选：BC.10．（5分）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数f(x)=xa图像经过点3,19，则下列命题正确的有（    ）A．函数f(x)为增函数 B．函数f(x)为偶函数C．若x>1，则f(x)>1 D．若0fx1+x22【解题思路】先代点求出幂函数的解析式f(x)=x−2，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断A，B，由1x2<1，可判断C，假设fx1+fx22−fx1+x22 >0，对不等式进行证明，即可判断D.【解答过程】将点3,19代入函数f(x)=xα得：19=3α，则α=−2.所以f(x)=x−2，显然f(x)在定义域[0,+∞)上为减函数，所以A错误；f(x)=x−2，所以f(x)为偶函数，所以B正确；当x>1时，1x2<1，即f(x)<1，所以C错误；当若00，整理得1x12+1x22>8(x1+x2)2，化简得，(x1+x2)2x12+(x1+x2)2x22>8，即证明(x1+x2)2x12+(x1+x2)2x22=1+2x2x1+x22x12+x12x22+2x1x2+1 >8成立，利用基本不等式，1+2x2x1+x22x12+x12x22+2x1x2+1≥2+24+2 =8，因为08成立；即fx1+fx225x−2，解得：x<23或x>1；D不对；故选：ABC．12．（5分）（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）某制造企业一种原材料的年需求量为16000千克（该原材料的需求是均匀的，且不存在季节性因素），每千克该原材料标准价为200元.该原材料的供应商规定：每批购买量不足1000千克的，按照标准价格计算；每批购买量1000千克及以上，2000千克以下的，价格优惠5%；每批购买量2000千克及以上的，价格优惠10%.已知该企业每次订货成本为600元，每千克该原材料年平均库存成本为采购单价的15%.该企业资金充足，该原材料不允许缺货，则下列结论正确的是（    ）（采购总成本=采购价格成本Ap+订货成本ABQ+库存成本C2Q，A为原料年需求量，B为平均每次订货成本，C为单位原料年库存成本，Q为订货批量即每批购买量，p为采购单价）A．该原材料最低采购单价为180元/千克 B．该原材料最佳订货批量为800千克C．该原材料最佳订货批量为2000千克 D．该企业采购总成本最低为2911800元【解题思路】设TQ表示采购总成本，写出TQ的表达式，分析函数TQ的单调性，对Q的取值进行分类讨论，求出TQ在不同情况下的最小值，即可得出结论.【解答过程】设TQ表示采购总成本，则TQ=Ap+ABQ+C2Q，设fQ=ABQ+C2Q，其中Q>0，任取Q1、Q2∈0,+∞且Q1>Q2，则fQ1−fQ2=ABQ1+CQ12−ABQ2+CQ22=ABQ2−Q1Q1Q2+CQ1−Q22=Q1−Q2CQ1Q2−2AB2Q1Q2.当00，CQ1Q2−2AB<0，则fQ1Q2>2ABC时，Q1−Q2>0，CQ1Q2−2AB>0，则fQ1>fQ2，所以，函数fQ在0,2ABC上单调递减，在2ABC,+∞上单调递增，在Q=2ABC处取得最小值，最小值为f2ABC=2ABC.（1）当订货批量在区间0,1000时，没有数量折扣，采购单价p=200，因2ABC=2×16000×600200×15%=800<1000，此时TQ在Q=800时取最小值，且该原材料的采购总成本最低为T800=16000×200+16000×600800+800×200×15%2=3224000（元）或T800=16000×200+2×16000×600×200×15%=3224000（元）.（2）当订货批量在区间1000,2000时，存在数量折扣5%，采购单价p=2001−5%=190（元），因2ABC=2×16000×600190×15%=6495×1000<1000，此时TQ在Q=1000时取最小值，该原材料的采购总成本最低为T1000=16000×190+16000×6001000+1000×190×15%2=3063850（元），（3）当订货批量在区间2000，+∞时，存在数量折扣10%，采购单价p=2001−10%=180元，因2ABC=2×16000×600180×15%=3245×1000<2000，此时TQ在Q=2000时取最小值，该原材料的采购总成本最低为T2000=16000×180+16000×6002000+2000×180×15%2=2911800（元）.综上，采购总成本最低时的采购批量即为最佳订货批量，故最佳订货批量为2000千克，最低采购单价为180元/千克，采购总成本最低为2911800元，故选：ACD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数fx的定义域为−1,1 则y=fx+1x2−2x−3的定义域为 −2,−1 .【解题思路】抽象函数定义域求解，x+1需整体在−1,1范围内，从而 解出x的范围，同时注意需保证x2−2x−3>0，最后求出交集即可得解.【解答过程】由已知，fx的定义域为−1,1，所以对于y=fx+1x2−2x−3x需满足−1≤x+1≤1x2−2x−3>0,解得x∈−2,−1故答案为：−2,−1.14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=m−12xm2−4m+2在0,+∞上单调递增，函数gx=2x−3t，任意x1∈1,5时，总存在x2∈1,5使得fx1=gx2，则t的取值范围是 13，73 ．【解题思路】根据题意得到fx=x2，再计算值域为fx=x2∈1,25，得到g5≥25，g1≤1计算得到答案.【解答过程】幂函数fx=m−12xm2−4m+2则m−12=1∴m=0或m=2， 当m=2时，fx=x−2在0,+∞上单调递减，舍去；故fx=x2，当x∈1,5时：fx=x2∈1,25，故g5=25−3t≥25，∴t≤73；g1=2−3t≤1，∴t≥13，综上所述：t∈13，73，故答案为：13，73.15．（5分）（2023春·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足fx+f−x=x2，∀x1,x2∈0,+∞均有fx1−fx2x1−x2>x1+x22x1≠x2，则不等式fx−f1−x>x−12的解集为 12,+∞ .【解题思路】构造函数gx=fx−12x2，通过题干条件得到gx为奇函数，且在R上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集.【解答过程】因为定义在R上的函数fx满足fx+f−x=x2，所以设gx=fx−12x2，则gx=−g−x，所以gx=fx−12x2为奇函数，因为∀x1,x2∈0,+∞，都有fx1−fx2x1−x2>x1+x22x1≠x2，当x1>x2时，则有fx1−fx2>x1+x2x1−x22，即fx1−x122>fx2−x222，所以gx1>gx2，所以gx在0,+∞上单调递增，当x1x−12变形为：fx−12x2>f1−x−121−x2，即gx>g1−x，所以x>1−x，解得：x>12.故答案为：12,+∞.16．（5分）（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是 8,229 cm.【解题思路】由已知可确定S1，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果．【解答过程】由题意得：长方形纸片的面积为10×8=80cm2，又S1:S2=1:3，∴ S1=20cm2,S2=60cm2 ，当折痕如下图MN所示时，设AM=x,AN=y，则12xy=200≤x≤100≤y≤8，解得：xy=405≤x≤10，∴ MN2=x2+y2=x2+1600x2≥80 ，即MN≥45，当且仅当x=210时取等号；令t=x2,t∈[25,100] ，则f(t)=t+1600t ，f(t) 在[25,40]上单调递减，在[40,100]上单调递增，又f(25)=89,f(40)=80,f(100)=116 ，故f(t)∈[80,116] ，故MN∈[45,229] ；当折痕如下图所示时，设AM=x,DN=y，则12(x+y)×8=200≤x≤100≤y≤10，解得：x+y=50≤x≤5，MN2=(x−y)2+64=(2x−5)2+64,0≤x≤5，当x=52时，MN2=(2x−5)2+64取得最小值64，当x=0或5时，MN2=(2x−5)2+64取得最大值89，则MN∈[8,89]；当折痕如下图所示时，设AM=x,BN=y，则12(x+y)×10=200≤x≤80≤y≤8，解得：x+y=40≤x≤4，则MN2=(x−y)2+100=(2x−4)2+100，令ℎ(x)=(2x−4)2+100,(0≤x≤4)，则ℎ(x)在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，又ℎ(2)=100,ℎ(0)=ℎ(4)=116，故ℎ(x)∈[100,116]，∴ MN∈[10,229]；综上所述：折痕长的取值范围为[8,229]，故答案为：8,229.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·高一课时练习）已知f(x)=ax2+(a−4)⋅x−21+x2．(1)若a=4时，求fx的值域；(2)函数g(x)=x2+1f(x)+52，若函数ℎ(x)=g(x)的值域为[0,+∞)，求a的取值范围．【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）由a=4，则fx=4x2−21+x2=41+x2−61+x2=4−61+x2，由不等式性质，则x2≥0，1+x2≥1，0<11+x2≤1，0>−61+x2≥−6，4>4−61+x2≥−2，故fx∈−2,4，即fx的值域为−2,4.（2）由题意，gx=x2+1ax2+a−4x−21+x2+52=ax2+a−4x+12，由函数ℎ(x)=g(x)的值域为[0,+∞)，则gx≤0有解且gx无最大值，当a=0时，符合题意；当a≠0时，根据二次函数的性质，可得a>0Δ=a−42−2a≥0，其中a−42−2a≥0，a2−8a+16−2a≥0，a2−10a+16≥0，a−2a−8≥0，解得a≤2或a≥8，综上，故a∈0,2∪8,+∞.18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知fx=m2−2m−7xm−2是幂函数，且在0,+∞上单调递增．（1）求m的值；（2）求函数gx=fx−2a−1x+1在区间2,4上的最小值ℎa．【解题思路】（1）根据函数是幂函数知m2−2m−7=1，求解后根据函数在0,+∞上单调递增即可求m（2）化简gx=fx−2a−1x+1=x2−2a−1x+1，根据二次函数的对称轴与2,4的关系分三类讨论，可求出函数的最小值.【解答过程】（1）fx=m2−2m−7xm−2是幂函数，∴m2−2m−7=1，解得m=4或m=−2；又fx在0,+∞上单调递增，∴m−2>0，∴m的值为4；（2）函数gx=fx−2a−1x+1=x2−2a−1x+1，当a<52时，gx在区间2,4上单调递增，最小值为ℎa=g2=7−4a；当52≤a≤92时，gx在区间2,4上先减后增，最小值为ℎa=g2a−12=−2a−124+1，当a>92时，gx在区间2,4上单调递减，最小值为ℎa=g4=21−8a．19．（12分）（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知函数fx对于任意实数x,y∈R恒有fx+y=fx+fy，且当x>0时，fx>0，又f1=1．(1)判断fx的奇偶性并证明；(2)求fx在区间−4,4的最小值；(3)解关于x的不等式：fax2−2fx>fax−2．【解题思路】(1)令x=y=0,得f0=0，再令y=−x，结合奇偶性定义可证；(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；(3)先化为fax2+2>f2x+ax，再利用单调性转化为ax2−a+2x+2>0，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可.【解答过程】（1）fx为奇函数，理由如下：函数fx的定义域为R，关于原点对称， 令x=y=0得f0=2f0，解得f0=0，令y=−x得fx+f−x=f0=0所以f−x=−fx对任意x∈R恒成立，所以fx为奇函数，（2）任取x1,x2∈−∞,+∞，且x10.因为当x>0时，fx>0，所以fx2−x1>0.fx2−fx1=fx2+f−x1=fx2−x1>0，即fx1fax−2，得fax2+2>2fx+fax=fx+fx+fax=f2x+ax，由f2=2得fax2+f2=fax2+2>f2x+ax，由fx在R上单调递增得ax2+2>2x+ax整理得ax2−a+2x+2>0，即ax−2x−1>0，当a=0时，−2x+2>0，解得x<1；当a≠0时，ax−2ax−1>0，当a<0时，x−2ax−1<0，2a<0，解集为2a,1，当a>0时，x−2ax−1>0，当a=2时，(x−1)2>0，解集为x|x≠1，当01，解集为−∞,1∪2a,+∞，当a>2时，0<2a<1，解集为−∞,2a∪1,+∞，综上所述：当a=0时，解集为−∞,1；当a<0时，解集为2a,1；当a=2时，解集为x|x≠1；当02时，解集为−∞,2a∪1,+∞．20．（12分）（2023秋·北京门头沟·高一校考期末）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积x（单位：平方米）之间的函数关系为Cx=m−4x5,0≤x≤10mx,x>10（m为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元），记Fx为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)求常数m的值；(2)写出Fx的解析式；(3)当x为多少平方米时，Fx取得最小值？最小值是多少万元？【解题思路】（1）根据题意可知x=5时，Cx=12，代入即可求得m的值；（2）根据题意可知Fx=10Cx+0.5x，由此化简可得；（3）分段讨论Fx的最小值，从而得到Fx的最小值及x的值.【解答过程】（1）依题意得，当x=5时，Cx=12，因为Cx=m−4x5,0≤x≤10mx,x>10，所以当0≤x≤10时，Cx=m−4x5，所以m−4×55=12，解得m=80，故m的值为80.（2）依题意可知Fx=10Cx+0.5x，又由（1）得，Cx=80−4x5,0≤x≤1080x,x>10，所以Fx=10×80−4x5+0.5x,0≤x≤1010×80x+0.5x,x>10=−7.5x+160,0≤x≤10800x+0.5x,x>10.（3）当0≤x≤10时，Fx=−7.5x+160，显然Fx在0,10上单调递减，所以Fxmin=F10=85；当x>10时，Fx=800x+0.5x≥2800x×0.5x=40，当且仅当800x=0.5x，即x=40时，等号成立，故Fxmin=40；综上：Fxmin=40，此时x=40，所以当x为40平方米时，Fx取得最小值，最小值是40万元.21．（12分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）已知幂函数fx=p2−3p+3xp2−32p−12是其定义域上的增函数．(1)求函数fx的解析式；(2)若函数ℎx=x+afx，x∈1,9，是否存在实数a使得ℎx的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；(3)若函数gx=b−fx+3，是否存在实数m,n(mx2，作差fx1−fx2，因式分解后判断fx1−fx2的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（3）记fx在区间2,4内的值域为A，gx在区间0,1内的值域为B，将问题转化为A⊆B时求实数m的取值范围，利用单调性求出f(x)的值域，分m=0、02四种情况讨论，结合单调性求出gx的值域，即可得到答案．【解答过程】（1）解：因为函数fx=4x−ax2+b是定义在R上的奇函数，则f0=−ab=0，可得a=0，则fx=4xx2+b，则f2=822+b=1，解得b=4，所以，fx=4xx2+4，下面验证函数fx为奇函数.对任意的x∈R，x2+4≥4，故函数fx=4xx2+4的定义域为R，则f−x=−4x−x2+4=−4xx2+4=−fx，故函数fx=4xx2+4为奇函数，合乎题意，因此，a=0，b=4.（2）解：函数fx在2,+∞上单调递减，证明如下：任取x1、x2∈2,+∞且x1>x2，即x1>x2≥2，则x2−x1<0，x1x2>4，则fx1−fx2=4x1x12+4−4x2x22+4=4x1x22+4−4x2x12+4x12+4x22+4=4x2−x1x1x2−4x12+4x22+4<0，所以，fx12时，0<1m<12，gx在0,1m上单调递减，在1m,1上单调递增，则gxmax=g1=0，gxmin=g1m=−1m+2−m得gx在区间0,1内的值域为B=−1m+2−m,0，不符合题意.综上，实数m的取值范围为0,1.