41，陕西省西安交通大学附属中学航天学校（西安航天菁英学校）2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份41，陕西省西安交通大学附属中学航天学校（西安航天菁英学校）2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键．
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
2. 如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体是（ ）
A. 长方体B. 圆柱C. 球D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥侧面展开图的特征即可求解．
【详解】解：如图是一个几何体的侧面展开图，
这个几何体是圆锥．
故选：D．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，解题的关键是根据几何体的展开图判断几何体的形状，难度不大．
3. 如图，已知，点在线段上（不与点，点重合），连接．若，，则（ ）
您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3元/份 A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
由为的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出的度数．
【详解】解：∵为的外角，且
即
故选：D．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用积乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算，准确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A. y随x增大而增大B.
C. 直线过点D. 与坐标轴围成的三角形面积为2
【答案】C
【解析】
【分析】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】解：∵一次函数过点，
∴，解得，
∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误；
当时，，故C正确；
该一次函数与x轴交于点，与y轴交于点，
∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
6. 如图，在中，，，为上一点且：：，于，连接，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】的值就是直角中，与的比值，设，则与就可以用表示出来．就可以求解．
【详解】解：根据题意：在中，，，
，
∴，
：：，
，
，
设，则，
在中有，．
则．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A. 1米B. 米C. 2米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
8. 二次函数 部分图象如图所示，其对称轴为直线 ，且与轴的一个交点坐标为 ． 下列结论：① ； ②； ③；④关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根． 其中正确结论的序号是（ ）
A. ③B. ②④C. ③④D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，对称轴，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：∵开口向上，与轴交点在负半轴
∴
∵
∴，
∴①是错误的；②是正确的；
∵轴的一个交点坐标为
∴
把代入
得
即
故③是正确的；
∵
易得顶点纵坐标为
把和代入，得
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．④是错误的．
故选：D
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 比较大小：4_____（填入“＞”或“＜”号）
【答案】＞
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以.
故答案为：＞
考点：二次根式.
10. 分解因式：_______．
【答案】b（a+2）（a-2）
【解析】
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】.
故答案为：b（a+2）（a-2）.
【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式.
11. 如图，在正六边形中，以点为原点建立直角坐标系，边落在轴上．若点的坐标为，则点的坐标是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形内角和，坐标与图形性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
过作轴于，根据正六边形的性质得到，求得，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过作轴于，
在正六边形中，，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】解：＞
的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
＞
＜
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键．
13. 如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点的位置变化时，长的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．证明，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵折叠该菱形，使点落在边上的点处，
∴，
∴，
的最小值为
为菱形，
的最大值为
故答案为：．
三、解答题（本大题共13小题，共81分． 解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍；
根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义和负整数指数幂的意义计算．
【详解】
．
15. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算括号内的减法，再计算除法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】作的平分线交于点，点即为所求，
【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求，

理由如下，
∵在中，，，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
18. 如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】先利用三角形外角性质证明，然后根据判断．
【详解】证明：∵，
即，
而，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
19. 某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？
【答案】可安排4名工人制作甲零件，3名工人制作乙零件
【解析】
【分析】设该车间安排x名工人制作甲零件，安排名工人制作乙零件，由题意可得等量关系：每天制作的甲乙配件的个数相等，得出方程，求出即可．
【详解】解：设该车间安排x名工人制作甲零件，安排名工人制作乙零件．
，
解得，
(名)
答：可安排4名工人制作甲零件，3名工人制作乙零件．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的实际应用-配套问题，根据题意得出等量关系是解题关键．
20. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”． 小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐． 小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐随机从中一次性抽取两张．

（1）若小乐只抽一张，则抽出“秋分”的概率是 ；
（2）请用列表法或树状图法，求小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求简单事件的概率，利用列表法或树状图求概率，解题的关键是掌握概率公式．
（1）求得所有可能的结果数及抽到“春分”的结果数，即可求得概率；
（2）设春用A表示，立夏用B表示，秋风用C表示，大寒用D表示，，画树状图，由图则得可能所有可能结果数，及抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果数，即可求得概率．
【小问1详解】
解：（1）由题意得：所有可能结果数为4，抽到“秋分”的结果数为1，则恰好是“秋分”的概率是
故答案为；
【小问2详解】
解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋风用C表示，大寒用D表示，画树状图如下：

由图知，共有12种等可能结果，而小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能结果有2种，
则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为：．
答：小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为．
21. 庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在处竖立一根标杆，地面上的点、标杆顶端和点在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在点时点在一条直线上，米，米，已，，，，点在同一水平直线上，点在上，求旗帜的宽度．
【答案】旗帜的宽度是1.3米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键；
如图，延长交于，则，证明和，可得和的值，最后由线段的和差可得结论．
【详解】解：如图，延长交于，则，
即
同理得：，
，
米．
答：旗帜的宽度是1.3米．
22. 李师傅将容量为60升货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：
（1）工厂离目的地的路程是千米；
（2）求关于的函数表达式；
（3）请问货车何时会显示加油提醒？
【答案】（1）880 （2）关于的函数表达式：
（3）货车行驶小时后会显示加油提醒
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答；
（1）由图象直接求出工厂离目的地的路程；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）当油箱中剩余油量为10升时，求出值即可．
【小问1详解】
解：由图象，得时，，
∴工厂离目的地的路程为880千米，
答：工厂离目的地的路程为880千米；
【小问2详解】
设，
将和代入得，
解得：，
∴关于的函数表达式：
当时，，
答：关于的函数表达式：；
【小问3详解】
当油箱中剩余油量为10升时，千米，
解得：(小时)，
答：货车行驶小时后会显示加油提醒．
23. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广． 为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛． 为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
频数分布直方图
根据所给信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩是“优”等的有多少人．
【答案】（1）；
（2）见详解 （3）
（4）500人
【解析】
【分析】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力及概率公式；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
（1）根据频率=频数÷总数求解可得；
（2）根据所求m的值即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，先把数值按小到大排序或者大到小排序，取中间位置的数值即为中位数；
（4）用总人数乘以样本中优等生人数所占比例即可．
【小问1详解】
解： ，
故答案为：；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：∵，总人数为200；
∴排在中间位置的人为第100名和101名之间
∵
∴
则这200名学生成绩的中位数会落在分数段；
【小问4详解】
解：依题意，
估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩是“优”等的人数为（人）．
24. 如图，为 的直径，点在 上，与过点 的切线互相垂直，垂足为 ．连接 并延长，交 的延长线于点 ．
（1）求证：;
（2），，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质求出，求出，求出C为的中点，根据三角形的中位线求出即可；
（2）连接，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵切于C，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
在中，
∵，
∴
解得：
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的性质和判定，三角形的中位线，三角形的面积，等腰三角形的性质和勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
25. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图①），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②），求抛物线的解析式；
（2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽、高的汽车？请说明你的理由．
【答案】（1）
（2）一条行车道能行驶这样的汽车
【解析】
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（1）根据题目可知的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设是隔离带的宽，是车辆的宽度．做垂直交抛物线于则可求解．
【小问1详解】
解：根据题目条件的坐标分别是，
设抛物线的解析式为，
将的坐标代入，
得
解得．
所以抛物线的表达式．
【小问2详解】
设是隔离带的宽，是车辆的宽度，
则点坐标是．
过点作垂直交抛物线于，
则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能行驶这样的汽车．
26. 问题提出
（1）如图①，在中，，，．若点是边上一点，则的最小值为 ；
问题探究
（2）如图②，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值；
问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时，的长．（路面宽度忽略不计）
【答案】（1）
（2）的最小值为
（3）的长为200米，的长为400米
【解析】
【分析】（1）过作于，由垂线段最短可知，时，的值最小，由面积法可得；
（2）作关于直线的对称点，连接交于，由关于直线对称，可知，而共线，故此时最小，最小值为的长度，根据，点是的中点，可得，再用勾股定理可得答案；
（3）作关于的对称点，连接，交于，作关于的对称点，连接，延长交于，连接，连接交于，交于，由关于对称，关于对称，，又，共线，知此时最小，根据，可得，即得米，米，米，由，知是等边三角形，从而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米．
【小问1详解】
解：过作于，如图：
由垂线段最短可知，时，的值最小，
故答案为：；
【小问2详解】
作关于直线的对称点，连接交于，如图：
∵关于直线对称，
共线，
∴此时最小，最小值为的长度，
∵点是的中点，
∵关于直线对称，
在中，
∴的最小值为；
【小问3详解】
作关于的对称点，连接，交于，作关于的对称点，连接，延长交于，连接，连接交于，交于，如图：
∵关于对称，关于对称，
∴，
∴，
∵共线，
∴此时最小，
∵，
∴，
∵关于对称，
∴米，
∴，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴是等边三角形，
∴米，
∴米，
∵，
∴，
∵关于对称，，
∴共线，米，，
米米，
米
在中，米，
中，米，
米，
答：的长为200米，的长为400米．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形，含角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题．成绩/分
频数/人
频率
10
0.05
30
0.15
40
0.35
50
0.25