湖北省荆州市田家炳中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷+解析）

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1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 弧长相等的弧是等弧B. 圆就是线段绕着一个端点旋转形成的图形
C. 半径相等的两个半圆是等弧D. 平分弦的直径必垂直于弦
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆的性质，根据等弧定义，圆定义，垂径定理逐个判断即可．
【详解】A.半径相等且弧长相等的弧是等弧，选项说法错误；
B.圆就是线段绕着一个端点旋转形成的图形，选项说法正确；
C.半圆不是弧，选项说法错误；
D.平分弦（不是直径的弦）的直径必垂直于弦，选项说法错误；
故选：B．
3. 方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
【详解】∵
∴，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：D．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，BC为半径的圆与AB相交于点D，则AD的长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直角三角形30°的性质求出AB，证明△BCD是等边三角形求出BD，可得结论．
【详解】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，
∵CB＝CD，
∴△CBD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用线段和差定义解决问题．
5. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.
【详解】解：将抛物线化为顶点式，
即：
，
将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：
，
A选项代入，，不符合；
B选项代入， ，符合；
C选项代入， ，不符合；
D选项代入，，不符合；
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．
6. 如图，在，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，平行线的性质．先利用平行线的性质得到，则可计算出，再根据旋转的性质得等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可计算出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，
∴等于旋转角，
∴，
∴，
故选：B．
7. 抛物线 过点， 则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，对二次函数，开口向上，对称轴，各点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断的大小．
【详解】∵抛物线 ，开口向上，对称轴，
∴抛物线上各点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，
∵三个点横坐标离对称轴距离分别为：，，
∴，
故选：C．
8. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
【详解】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数图像与系数的关系．
9. 已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（ ）
A. 若，函数的最大值是5
B. 若，当时，y随x的增大而增大
C. 无论a为何值时，函数图象一定经过点
D. 无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.
【详解】当时，，
∴当时，函数取得最大值5，故A正确；
当时，，
∴函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，故B正确；
当x=1时，，
∴无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C正确；
当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 若方程是倍根方程， 且相异两点都在抛物线 上，则一元二次方程的两根之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，由方程是倍根方程，可设，由已知条件得到得到抛物线的对称轴，可得一元二次方程的根,进而可得答案．
【详解】∵方程是倍根方程，
∴设方程两个根分别为，且，
∵相异两点都在抛物线 上，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∵，
∴，，
∴一元二次方程的两根之积为，
故选：A．
二． 填空题(共6小题， 每小题3分， 共 18分)
11. 若与点关于原点对称， 则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，据此求解即可．
【详解】∵与点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 某商品的原价为元，如果经过两次降价（每次降价的百分率都相同）后价格为元，那么该商品每次的降价率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】设该商品每次的降价率是x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论．
【详解】解：设该商品每次的降价率是x，
依题意，得：，
解得：
经检验：不合题意，舍去，取．
答：该商品每次的降价率是
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. 已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与直线交点问题，方程的解即为交点的横坐标．
【详解】∵抛物线 与直线相交于点和点，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，判断出ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，，故也是等边三角形，的长度即为AC的长度．
【详解】解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，落在BC的中点处，
∵是由ABC旋转得到，∴，而，
根据勾股定理：，
又∵，且，∴为等边三角形，
∴旋转角，
∴，且，故也是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．
15. 已知a和b是方程： 的两个根，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，方程的解，先根据方程的解得到，，然后根据根与系数的关系得到、，得到，再把它们代入原式化简，即可得到原式的值．
【详解】∵a和b是方程： 的两个根，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论：
①当时，则，②， ③当时， x的取值范围是， ④当时， 有．
其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由图象开口方向可知，由对称轴可知，与x轴的另一个交点坐标为，结合图象可判断③，根据对称轴可求得时，函数有最大值为，进而可判断①，根据与x轴的一个交点坐标为，可求得，进而可知，即可判断②，根据当时，可知，，，得，即，再结合，，即可判断④．
【详解】解：由图象开口方向可知：，
∵抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴，与x轴的另一个交点坐标为，
结合图象可知，当时， x的取值范围是，故③错误；
∴，则当时，，
∴，则当时，函数有最大值，最大值为，
当时，，
∴当时，则，故①正确；
，故②错误，
当时，则，，，即：，
∴，即：，
∴，
∵，则，
∴，即：，亦即：，
∴，故④正确；
综上，正确的有①④，
故答案为：①④．
三． 解答题(共8大题， 共72分)
17. （1）解方程：；
（2）解方程：
【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=3，x2=
【解析】
【分析】（1）先计算，然后利用公式法直接代入即可；
（2）先进行移项，然后提取公因式，令各项为0，即可得出方程的解．
【详解】解：（1），
，
∴，
∴，；
（2）
，
，
∴，．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的解法：公式法和提公因式法，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得的△A1BC1，并写出A1点的坐标；
（2）画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出C2点的坐标．
【答案】（1）图见解析，A1点的坐标（﹣1，1）；（2）图见解析，C2点的坐标（﹣3，﹣1）
【解析】
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【详解】解：（1）如图，△A1BC1即为所求，A1点的坐标（﹣1，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，C2点坐标（﹣3，﹣1）．
【点睛】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19. 如图，线段与圆O交于点A，过P点的直线与圆O交于B，C两点，，若，，， 求线段的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，先根据等腰直角三角形求出，再在中求出，最后根据垂径定理可得即可解题．
详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴,
∴．
20. 如图，二次函数 的图像与x轴的交于点， ， 与y轴的交于点C ， 且顶点P在直线上．
（1）求该二次函数表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数解析式，二次函数与面积；
（1）根据与轴交点确定对称轴为，即可求出顶点坐标，再代入求解析式即可；
（2）根据计算即可．
【小问1详解】
∵二次函数 的图像与x轴的交于点， ，
∴对称轴为，
∵顶点P在直线上，
∴顶点，
∴，解得，
∴该二次函数的表达式为；
【小问2详解】
设直线与轴交于点，则，过作轴于，则，，
∵，，
∴，，，
∴．
21. 关于x的一元二次方程有实根．
（1）求实数m的最大整数解；
（2）若，是方程的两个根， 并且满足 求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．
（1）根据，得到关于m的不等式，即可求出实数m的最大整数解；
（2）将，，代入，得出关于m的不等式，解之可得．
【小问1详解】
∵关于x的一元二次方程有实根，
∴，且
解得且，
∴实数m的最大整数解为；
【小问2详解】
∵，
∴
∵，，
∴，
解得，
由（1）可得且，
∴．
22. 如图， 在中， ， D是 边上一点（点 D与 A， B不重合）， 连接 ， 将线段绕点 C按逆时针方向旋转90°得到线段 ， 连接 交 于点 F， 连接 ．
（1）当时， 求的度数；
（2）点G是 边的中点， 连接，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；
（1）先证明，即可得到，，根据等腰三角形求出度数，最后根据求解即可；
（2）由（1）可得，当时最小，此时．
【小问1详解】
∵在中， ，
∴，
∵ 将线段绕点 C按逆时针方向旋转90°得到线段 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）可得，
∴，
∴当时最小，此时
∴，
∴，
∵点G是 边的中点，
∴，
∴，
即的最小值为．
23. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
（1）直接完成下列填空
①每件商品的进价为 元/件
②y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件商品售价为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（50＜m＜70），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，求出周销售的最大利润．
【答案】（1）①20；②y=-2x+200
（2）每件售价为60元时，利润W最大，为3200元
（3）当50【解析】
【分析】（1）①根据表中数据可以求出每件进价；②设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润=单件×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）进价提高4元，根据利润=单件×销售量列出函数解析式，再根据m的取值分情况讨论函数的最值．
【小问1详解】
由表中数据知，每件商品进价为：40-2400÷120=20（元），
∴每件进价 20元；
设一次函数解析式为y=kx+b，
根据题意，得
，
解得：k=-2，b=100，
所以y与x的函数表达式为y=-2x+200；
故答案为：①20；②y=-2x+200；
【小问2详解】
由题意，得w=（-2x+200）（x-20）=-2x2+240x-4000=-2（x-60）2+3200，
∵-2＜0，
∴当x=60时，w有最大值，最大值为3200，
∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；
【小问3详解】
根据题意得，w=（x-20-4）（-2x+200）=-2x2+248x-4800=-2（x-62）2+2888，
∵-2＜0，对称轴为x=62，24≤x≤m，50＜m＜70，
∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为-2m2+248m-4800，
当62≤m<70时，周销售最大利润为2888元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
24. 已知抛物线 与x轴交于，， 与y轴交于点 C．
（1） ， ；
（2）如图1， 过点的直线交抛物线与E，F，轴于G， 轴于 H，求证：为定值；
（3）如图2， 已知 ，将抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）沿x轴向上翻折，得到图像 T（虚线部分），点 M为图像 T的顶点． 现将图像T 保持其顶点在直线上平移，得到的图像 与线段至少有一个交点，求图像 的顶点横坐标t的取值范围．
【答案】（1）；3
（2）见解析 （3）图象顶点横坐标的取值范围：
【解析】
【分析】（1）待定系数法解抛物线的解析式；
（2）设过点的直线为，令，整理得出，设，是方程的两个根，且，根据根与系数的关系得出，，说明，得出，，求出，即可得出答案；
（3）两种极值情况求得m的值，两值之间范围即符合题意．
小问1详解】
解：将，代入抛物线的解析式得：

解得：，，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；3．
【小问2详解】
证明：设过点的直线为，
令，
整理得：，
设，是方程的两个根，且，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵过点的直线交抛物线与E，F，轴于G， 轴于 H，
∴，，
∴，
∴为定值；
【小问3详解】
解：设抛物线：的顶点为G，则点关于x轴对称点M的坐标为：，
把代入得：，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，，
∴同理可得：直线的解析式为，
∵图象T顶点在直线上，
∴设图象顶点为，
如图，在平移时，点A的对应点K在上，
由点与的坐标关系，根据平移特点可知，点A的对应点为：
，
即，
当点K在直线上，，
解得：；
∴，
∵，
∴点K在线段上；
设图象所在抛物线方程为：，点L为直线与抛物线的交点，
则点L的坐标满足下列方程组：

点L的横坐标是方程：的解，
方程化为一般形式为：，
当图象与直线相切时有：
，
解得： ，
∴此时，
∵，
∴点L在线段上，
∴图象顶点横坐标的取值范围：.
【点睛】主要考查了二次函数综合题型，二次函数的解析式的求法，二次函数的折叠，轴对称的变换，求一次函数解析．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围．售价x（元/件）
40
50
周销售量y（件）
120
100
周销售利润w（元）
2400
3000