2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专练01 均值不等式应用【原卷版+解析】

这是一份2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专练01 均值不等式应用【原卷版+解析】，共26页。

热点一
直接应用型
1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2. 设，，且，则的最大值为_______.
热点二
拆、并配凑型
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·天津·高三专题练习）已知，则的最小值为____________．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
热点三
常值（1的）代换型
6．（湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二））若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
7．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
8.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
热点四
逐次放缩型
9．（华大新高考联盟2023届高三下学期4月测评）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．20B．40C．D．
10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
11.（2021年天津高考真题）若，则的最小值为____________．
热点五
消元转化型
12．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.
热点六
与三角交汇型
13．【多选题】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为8
C．的最大值为D．的最大值为
14．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．
热点七
与平面向量交汇型
15.（2023春·天津和平·高一耀华中学校考期中）如图，在中，，过点M的直线交射线于点P，交于点Q，若，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
热点八
与解三角形交汇型
16．（2023春·河南南阳·高一统考期中）已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
17．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是_____________．
热点九
与解析几何交汇型
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
19．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）
A．8B．9C．16D．18
20．（2023·陕西西安·统考一模）点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
热点十
与立体几何交汇型
21．（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
热点十一
与函数交汇型
23．【多选题】（云南省曲靖市2023届高三第二次教学质量监测数学试题）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
24．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
热点十二
与导数交汇型
25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.
26．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，且，则m+2n的取值范围是______．
热点十三
与数列交汇型
27．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）
A．1B．C．D．
28．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列满足，，则的最小值为__________．
热点十四
与概率统计交汇型
29．（2023·河北·统考模拟预测）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．26B．30C．32D．36
30．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为______．
热点十五
与复数交汇型
31．（2023春·山东青岛·高一统考期中）已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
热点十六
实际应用问题
32．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
热点题型速览
专练01 均值不等式应用
热点一
直接应用型
1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】A选项，根据不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求解；C选项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.
【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；
B选项，因为，所以，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；
C选项，，
因为，，故，故，C正确；
D选项，不妨设，则
故选：D
2. 设，，且，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】
，，，
即，
当且仅当时等号成立，.
故答案为：
热点二
拆、并配凑型
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D
4．（2023·天津·高三专题练习）已知，则的最小值为____________．
【答案】4
【分析】将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．
【详解】由，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，
故答案为：4．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【答案】
【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值.
【详解】因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为
热点三
常值（1的）代换型
6．（湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二））若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.
【详解】因为正数满足，
所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
7．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.
【详解】由已知可得，，所以.
又，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立.
所以，的最小值是.
故选：C.
8.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.
【详解】解析：由题，
则，
∴，
解得:．
故答案为：.
热点四
逐次放缩型
9．（华大新高考联盟2023届高三下学期4月测评）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．20B．40C．D．
【答案】C
【分析】由两次应用基本不等式即可求解.
10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，.
因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以，，
当且仅当，即时，两个等号同时成立.
所以，.
故选：D.
【详解】，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
11.（2021年天津高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
热点五
消元转化型
12．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
，
（当且仅当时取等号），
所以的最小值为，
故答案为：.
热点六
与三角交汇型
13．【多选题】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为8
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合配凑方法计算判断ABC；利用三角代换，结合辅助角公式，三角函数性质计算判断D作答.
【详解】，且，
对于A，，解得，当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，由得，令，
则，其中锐角由确定，显然，
因此当时，，D正确.
故选：ABD
14．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.
【详解】，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
热点七
与平面向量交汇型
15.（2023春·天津和平·高一耀华中学校考期中）如图，在中，，过点M的直线交射线于点P，交于点Q，若，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据的向量的几何意义，利用，，三点共线，得出，的关系，利用基本不等式求最小值．
【详解】解：因为，所以，
又，，（，）
所以，
所以
，
因为，，三点共线，所以，
所以
当且仅当，即时取等号；
故选：C．
热点八
与解三角形交汇型
16．（2023春·河南南阳·高一统考期中）已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.
【详解】由余弦定理可得
，
所以，，即，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故选：C.
17．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是_____________．
【答案】/
【分析】根据正弦定理得，则，利用两角和与差的正切公式和基本不等式即可得到答案.
【详解】由已知及正弦定理，得，
整理得，易知，
则，且，于是
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：.
热点九
与解析几何交汇型
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意得，且，
故，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：C.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）
A．8B．9C．16D．18
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解.
【详解】由椭圆的定义可得，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时取得等号，
故选:C.
20．（2023·陕西西安·统考一模）点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】设，，由题意得与，的关系，在三角形中由余弦定理得与的关系，求出比值，由基本不等式求出最值即可.
【详解】设，，
则，，
，
当且仅当时取等号，取最大值1，则的最小值为1.
故选：B.
热点十
与立体几何交汇型
21．（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案.
【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为，
圆柱侧面积为，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
22．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，其中，利用勾股定理可求得，并求出的面积，利用锥体的体积公式以及基本不等式可求得结果.
【详解】设，其中，如下图所示：
因为平面，平面，所以，，
因为，所以，，
又因为，所以，，
由可得，，
，
当且仅当时，即当时，该三棱锥体积取最大值为.
故选：D.
热点十一
与函数交汇型
23．【多选题】（云南省曲靖市2023届高三第二次教学质量监测数学试题）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
24．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
【答案】3
【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，.
又，，
所以，.
因为，，根据基本不等式有，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
热点十二
与导数交汇型
25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.
【答案】12
【分析】根据导数的几何意义求得函数在点处的切线方程，可推出，将化为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由函数可得，
则，
故函数在点处的切线方程为，即，
则由题意可得，
故，
当且仅当，即取等号，
即的最小值为12，
故答案为：12
26．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，且，则m+2n的取值范围是______．
【答案】
【分析】求导判定的单调性得，再用对勾函数的单调性求m+2n的范围即可.
【详解】由题意得，设，
令得，，令得，，故在上单调递减，在上单调递增，即，故在定义域上单调递增.
所以，
设，，由对勾函数的单调性可得在上单调递增，
故.
故答案为：.
热点十三
与数列交汇型
27．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质可得，进而由基本不等式即可求解最值.
【详解】由等比数列中，设公比为，且， 由得，故 ，
由得，
，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，
故选：B
28．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列满足，，则的最小值为__________．
【答案】6
【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据基本不等式求解即可．
【详解】由得，
当时，，，…，，
将这个式子累加得，
则，时也适合，
所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：6.
热点十四
与概率统计交汇型
29．（2023·河北·统考模拟预测）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．26B．30C．32D．36
【答案】C
【分析】由题意设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为p，求出p的表达式，分析的表达式和范围，令，利用换元法和基本不等式计算可得p的最大值，由二项分布，结合数学期望公式计算即可求解.
【详解】由题意，设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为p，
则
，
又，所以，
由，得，则，
设，则，
当且仅当即即时等号成立，
即p的最大值为.
记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，则，
若，则，当p最大时，n最小，
则，即甲、乙两人训练至少32轮.
故选：C.
30．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据正态分布的性质得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】因为随机变量，且，
所以，即，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：
热点十五
与复数交汇型
31．（2023春·山东青岛·高一统考期中）已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
【答案】B
【分析】根据复数对应的点共线可得，利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意，，，，
由三点共线可得，，化简可得，
又，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B
热点十六
实际应用问题
32．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
【答案】千套时，取得最小值为180万元
【分析】根据总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用，再根据基本不等式求总费用的最值，并求等号成立的条件.
【详解】由题意得：建造成本费用为，
使用管理费：，所以，
，
当且仅当时，即千套时，取得最小值为180万元．