压轴小题03 奇思妙解函数与导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

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八大常用函数的求导公式
（为常数）
；例：，，，
，，
，，
导数的四则运算
和的导数：
差的导数：
积的导数：（前导后不导前不导后导）
商的导数：，
复合函数的求导公式
函数中，设（内函数），则（外函数）
导数的几何意义
导数的几何意义
导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：
用导数判断原函数的单调性
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
能成立（有解）问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
能成立（有解）问题的解决策略
= 1 \* GB3 ①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
= 4 \* GB3 ④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．
利用导数研究函数零点的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
利用曲线的切线进行放缩证明不等式
设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．
设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．
利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．
利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式
由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．
综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：
与有关的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）．
与有关的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（），（）；
（4）（），（）．
用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．
压轴训练
一、单选题
1．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．B．0C．1D．3
2．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校联考阶段练习）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x的不等式对于任意恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
4．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
5．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
7．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2022秋·江苏徐州·高三期末）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知偶函数满足且，当时,，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
10．（2023秋·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
11．（2023·江苏常州·校考一模）已知实数，，满足，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·江苏常州·校考一模）在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是（ ）
A．函数为周期函数，且为其一个周期
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的导函数的最大值为4.
16．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）下列不等式正确的是（其中为自然对数的底数，，）（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A．B．C．D．
18．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）两条曲线与存在两个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）若存在实数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称直线为和的一条“划分直线”．列命题正确的是（ ）
A．函数和之间没有“划分直线”
B．是函和之间存在的唯一的一条“划分直线”
C．是函数和之间的一条“划分直线”
D．函数和之间存在“划分直线”，且的取值范围为
20．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
21．（2023·江苏南京·校考一模）定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值，极大值为
B．有两个零点
C．若在上恒成立，则
D．
22．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数，，若与图象的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
23．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，为其导函数，则下列判断正确的是（ ）
A．在单调递增
B．在仅有1个零点
C．在有1个极大值
D．当时，
24．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
25．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数有两个极值点，且，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
26．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数有两个极值点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．当时，
28．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
29．（2023·江苏·江苏省邗江中学校联考模拟预测）若函数是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，且方程在区间上有两个不同解，则实数的取值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
30．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知函数，，则（ ）
A．函数在上存在唯一极值点
B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若，则的最大值为
31．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知，，若与图像的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
32．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．若的图象在处的切线与直线垂直，则实数
C．当时，不存在极值
D．当时，有且仅有两个零点，且
33．（2023秋·江苏无锡·高三校考开学考试）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
34．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）函数，关于x的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的单调减区间为
C．当时，则方程有6个不相等的实数根
D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
35．（2023秋·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）已知函数，其中，则（ ）
A．不等式对恒成立
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为
36．（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极小值B．的最小值为
C．在上单调递增D．的最小值为
37．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，则以下判断正确的是（ ）
A．函数的零点是
B．不等式的解集是．
C．设，则在上不是单调函数
D．对任意的，都有．
38．（2023秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，则（ ）
A．不等式对恒成立
B．若关于x的方程有且只有两个实根，则k的取值范围
C．方程恰有3个实根
D．若关于x的不等式恰有1个正整数解，则a的取值范围为
39．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
40．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（ ）
A．B．
C．D．