资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 压轴小题03 奇思妙解函数与导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用） 试卷 1 次下载
- 压轴小题04 追本溯源三角函数与解三角形综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用） 试卷 2 次下载
- 压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用） 试卷 1 次下载
- 压轴小题08 逆流而上巧解不等式及最值综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用） 试卷 1 次下载
- 压轴小题07 三维想象解决立体几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用） 试卷 2 次下载
压轴小题05 一文搞定平面向量疑难问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）
展开
这是一份压轴小题05 一文搞定平面向量疑难问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用），文件包含压轴小题05一文搞定平面向量疑难问题原卷版docx、压轴小题05一文搞定平面向量疑难问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.
形如条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3、中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
4.平面向量系数和
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
5.极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
极化恒等式的适用条件
共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下
第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
6.奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
7.奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
8.奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.
压轴训练
一、单选题
1．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（ ）．
A．B．
C．D．1
6．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（ ）
A．[0，100]B．[－12，48]C．[－9，64]D．[－8，72]
7．（2022秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·江苏南通·高三开学考试）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022秋·江苏泰州·高三姜堰中学校联考阶段练习）已知平面向量满足对任意都有成立，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
10．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）已知点，及圆上的两个动点C、D，且，则的最大值是（ ）
A．6B．12C．24D．32
11．（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
12．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江苏常州·校考一模）已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则
A．B．4C．3D．1
14．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
15．（2023春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
16．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
17．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．当时，
18．（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，且，则△为等边三角形
19．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
20．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点.设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
A．点坐标为B．
C．D．若最小，则
21．（2022秋·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知向量．则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．存在，使得
C．与共线的单位向量为 D．向量与夹角的余弦值范围是
三、填空题
22．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末）已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为 ．
23．（2022·江苏南京·统考模拟预测）平面向量，，满足，，，则 ．
24．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校考阶段练习）在中，，D为BC上一点，E为AD上一点，F为EC上一点，且，，，，则 ．
四、双空题
25．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，已知，，，当A，B运动时，周长的最大值为 ；M为线段AB的中点，H为直线OC上一点，若，则的最大值为 ．
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.
形如条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3、中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
4.平面向量系数和
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
5.极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
极化恒等式的适用条件
共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下
第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
6.奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
7.奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
8.奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.
压轴训练
一、单选题
1．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（ ）．
A．B．
C．D．1
6．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（ ）
A．[0，100]B．[－12，48]C．[－9，64]D．[－8，72]
7．（2022秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·江苏南通·高三开学考试）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022秋·江苏泰州·高三姜堰中学校联考阶段练习）已知平面向量满足对任意都有成立，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
10．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）已知点，及圆上的两个动点C、D，且，则的最大值是（ ）
A．6B．12C．24D．32
11．（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
12．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江苏常州·校考一模）已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则
A．B．4C．3D．1
14．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
15．（2023春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
16．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
17．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．当时，
18．（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，且，则△为等边三角形
19．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
20．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点.设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
A．点坐标为B．
C．D．若最小，则
21．（2022秋·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知向量．则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．存在，使得
C．与共线的单位向量为 D．向量与夹角的余弦值范围是
三、填空题
22．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末）已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为 ．
23．（2022·江苏南京·统考模拟预测）平面向量，，满足，，，则 ．
24．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校考阶段练习）在中，，D为BC上一点，E为AD上一点，F为EC上一点，且，，，，则 ．
四、双空题
25．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，已知，，，当A，B运动时，周长的最大值为 ；M为线段AB的中点，H为直线OC上一点，若，则的最大值为 ．
相关试卷
压轴大题14 披荆斩棘搞定导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）： 这是一份压轴大题14 披荆斩棘搞定导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用），文件包含压轴大题14披荆斩棘搞定导数综合问题原卷版docx、压轴大题14披荆斩棘搞定导数综合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
压轴大题11 归纳总结梳理数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）： 这是一份压轴大题11 归纳总结梳理数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用），文件包含压轴大题11归纳总结梳理数列综合问题原卷版docx、压轴大题11归纳总结梳理数列综合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
压轴小题10 迎刃而解平面解析几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）： 这是一份压轴小题10 迎刃而解平面解析几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用），文件包含压轴小题10迎刃而解平面解析几何综合问题原卷版docx、压轴小题10迎刃而解平面解析几何综合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
