压轴小题08 逆流而上巧解不等式及最值综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

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基本不等式
，当且仅当时取等号
其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数
通常表达为：（积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
糖水不等式
结论：若,则有
(1);
(2);
(3);
(4)若,则.
几个重要平均数的大小关系
时有，，当且仅当时取等
即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数
如图，设
为算术平均值，为几何平均值，为平方平均值，为调和平均值，大小关系得证.
权方和不等式
若则当且仅当时取等.
(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)
广义上更为一般的权方和不等式:
设,
上述两个不等式中的等号当且仅当时取等
注意观察这个不等式的结构特征,分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键，特别的,高考题中以最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.
压轴训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）设a，b，c为正数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考开学考试）已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，，，，若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
5．（2022秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
二、多选题
6．（2023秋·江苏南通·高三校考阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
7．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8B．的最小值为8
C．的最小值为D．的最小值为
8．（2023秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏南通·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·江苏·高三专题练习）已知a，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·江苏宿迁·高三泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知实数x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
15．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
16．（2023·江苏·统考一模）直线与曲线：及曲线：分别交于点A，B.曲线在A处的切线为，曲线在B处的切线为.若，相交于点C，则面积的最小值为 .
17．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为 .
18．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知函数的图像与直线：交于点，，其中，与直线：交于两点、，其中，则的最小值为 .
19．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则最小值为 ．
20．（2022·江苏·高三专题练习）在锐角中，，则的取值范围为 .
21．（2022秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最大值是 .
22．（2022秋·江苏泰州·高三姜堰中学校联考阶段练习）已知，，则的最小值 .
23．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知中有且仅有一个元素，则的最小值为 ．
24．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）若，，且，则的最小值为 .
25．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为 ．
基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号