压轴大题13 直曲结合解决圆锥曲线综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

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1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线与圆雉曲线相交于，两点，
由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）
则：
则：弦长
或
圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）
设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论),
圆锥曲线的方程为: fx,y=0, 把直线方程代入曲线方程,
可化为 ax2+bx+c=0a≠0或ay2+by+c=0,a≠0,
设直线和曲线的两交点为 Ax1,y1,Bx2,y2, 求根公式为
x=−b±b2−4ac2a
(1) 若消去 y, 得ax2+bx+c=0a≠0
则弦长公式为:
AB=x1−x22+y1−y22=1+k2⋅x1−x2=1+k2⋅−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2a=1+k2Δa
(2) 若消去 x,得ay2+by+c=0a≠0
则弦长公式为:
AB=x1−x22+y1−y22=1+1k2⋅y1−y2=1+1k2⋅−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2a=1+1k2Δa
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可.
压轴训练
一、解答题
1．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.

(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点P的坐标为，求直线AB的斜率.
2．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．
(1)求的内心坐标；
(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知，为双曲线C的焦点，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由.
4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知双曲线，在双曲线的右支上存在不同于点的两点，，记直线的斜率分别为，且，，成等差数列．
(1)求的取值范围；
(2)若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
5．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
6．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点到焦点的距离的5.
(1)求抛物线方程及点的坐标.
(2)过点的直线交于两点，延长，分别交抛物线于两点.令，，，，求的最小值.
7．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.
8．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）已知双曲线．
(1)求C的右支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．
(2)记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．
9．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
10．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知椭圆E：，四点，，，中恰有三点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)点P为椭圆E上的一动点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
①求的值；
②若不与坐标轴垂直的直线l交椭圆E于M，N两点，O为坐标原点，，，求的面积.
11．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
12．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围．
13．（2023秋·江苏连云港·高三校联考阶段练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，点，为C的左，右顶点．P为直线上的动点，与C的另一个交点为M，与C的另一个交点为N．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．
14．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
(1)记直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)设直线与交于点，求的值.
15．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与曲线相交于，两点和，两点，求四边形的面积的最小值.
16．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知点在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A，B，当且时，求弦长的最大值.
17．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知双曲线过点，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线交双曲线于点，，直线，分别交直线于点，，求的值.
18．（2023·江苏常州·校考二模）已知过点的直线与双曲线：的左右两支分别交于、两点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于、两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程.
19．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程．
20．（2023·江苏·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，两点在椭圆：上，且直线与椭圆：有且仅有一个交点，射线与椭圆交于点．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)求四边形的面积．
21．（2023·江苏盐城·校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，.
(1)求C的方程；
(2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
22．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为，左、右顶点分别为，，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若，求的长；
(2)若直线l过点，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线与直线交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
23．（2023·江苏南通·统考三模）已知抛物线与都经过点．
(1)若直线与都相切，求的方程；
(2)点分别在上，且，求的面积．
24．（2023·江苏南京·统考二模）已知拋物线和圆．
(1)若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；
(2)已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．
25．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）设椭圆过点，两点，为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.
26．（2023·江苏·校联考模拟预测）设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
(1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角；
(2)求的值.
27．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点A，B在椭圆C上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点D．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值．
28．（2023·江苏·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点F也是双曲线：的一个焦点，与公共弦的长为.
(1)求的方程；
(2)过F的直线l与交于A，B两点，与上支交于C，D两点，且与同向.
（i）若，求直线l的斜率；
（ii）设在点A处的切线与x轴交于点M，试判断点F与以MD为直径的圆的位置关系.
29．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
30．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，过椭圆：上的动点作轴的垂线，垂足为点，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：交于不同的两点、，向量，，是否存在常数，使得满足的实数有无穷多解？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
31．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)直线，且交于点，，直线与交于点.
证明：①直线与的斜率乘积为定值；
②点在定直线上.
32．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
33．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．
34．（2023·江苏南通·三模）双曲线C：，点是C上位于第一象限的一点，点关于原点O对称，点关于y轴对称．延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中．
(1)求的取值范围；
(2)证明：不可能是的三等分线.
二、证明题
35．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.
(1)求证：；
(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时点的坐标.
36．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．
37．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为.过点的直线交椭圆于两点，直线与的交点为.