还剩52页未读，
继续阅读
所属成套资源：沪科数学8年级下册PPT课件
成套系列资料，整套一键下载
沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形教课内容课件ppt
展开
这是一份沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形教课内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了情景导入，归纳总结，证明判定定理1，问题导入，正方形的定义，数学园地，切割后组拼正方形，阅读与欣赏，完美矩形与完美正方形，习题193等内容，欢迎下载使用。
19 . 3 矩形、菱形、正方形
19 . 3 . 1 矩 形
电脑、电视机的显示屏是什么形状?本书的封面是什么形状?
思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
平行四边形不一定是矩形.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
画一个矩形，度量一下它的四条边长、两条对角线长以及四个角的度数，你能从中得出矩形特有的性质吗?
矩形的四个角都是直角.
求证：∠A ＝∠B＝∠C＝∠D ＝90°.
证明 由定义，矩形必有一个角是直角，设 ∠A ＝90°.
∵ AB∥DC、AD∥BC，
∴ ∠B ＝ ∠C ＝ ∠D ＝ 90° (两直线平行，同旁内角互补)
即矩形ABCD的四个角都是直角.
由此，可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 如图 19－31，已知：矩形 ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB ＝120°，AD ＝4cm. 求矩形对角线的长.
解 因为四边形ABCD是矩形，所以
∴ AC ＝ BD.
∵ ∠AOB ＝ 120°.
BD ＝ 2AD ＝ 2 × 4 ＝ 8 (cm).
1. 证明矩形的性质 2.
解：已知：如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线. 求证：AC ＝ BD.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD ＝ BC， ∠DAB ＝ ∠CBA ＝90° 又∵ AB＝BA， ∴ △ABD≌△BAC. ∴ BD＝AC.
2. 已知矩形的一条对角线长8 cm，两条对角线的夹角为 60°，矩形相邻两边的长各为多少?
矩形的两条对角线的夹角为：∠1＝60°，∵ 四边形ABCD是矩形.∴ OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD.∴ OA ＝ OB.∴ △AOB为等边三角形，
3. 已知直角三角形一条直角边长为3 cm，斜边上的中线 长2.5 cm，求另一条直角边长.
如图19－32，工人师傅在做门窗框架、桌面等包含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你能说出其中的道理吗?
证明 因为四边形ABCD是平行四边形所以
又∵ DC ＝ CD，AC ＝ BD，
∴ △ADC ≌ △BCD .
∴ ∠ADC ＝ ∠ BCD .
又∵ ∠ADC ＋∠BCD＝180° ，
∴ ∠ADC ＝ ∠BCD ＝ 90° .
由此，我们得到矩形的判定方法：
定理1 对角线相等的平行四边形是矩形.
例3 已知：如图19－34，在△ABC 中，AB ＝AC点D是AC 的中点,直线 AE ∥ BC，过点 D作直线 EF ∥ AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形AECF 是矩形.
证明：∵ AE∥BC ∴ ∠1 ＝ ∠2. 在△ADE和△CDF 中， ∴ ∠1 ＝∠2， ∠ADE＝∠ CDF、 AD ＝ CD， ∴ △ADE ≌ △CDF. ∴ AE ＝ CF.
所以四边形 AECF 是平行四边形.又因为四边形 ABFE 是平行四边形，所以 EF ＝ AB. ∵ AC ＝ AB， ∴ EF ＝ AC.所以四边形AECF 是矩形.
例4 已知：如图19 － 35，在四边形ABCD中，∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 90°. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明 ∵ ∠A＝ ∠B＝∠C＝90°，
∴ ∠B＋∠C ＝180°， ∠A＋∠B＝180°.
∴ AB∥CD、AD∥BC.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
所以四边形 ABCD 是矩形.
定理2 三个角是直角的四边形是矩形.
1. 如图，在矩形ABCD中，AB ＝3，BC ＝2，点E为BC 中点，点F在AB 上且BF ＝2AF. 求四边形AFEC 的面积.
∵ 四边形ABCD是矩形.∴ ∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，∵ BC＝2，E为BC的中点.∴ BE＝1，∵ AB＝3，BF＝2AF，∴ BF＝2，
证明：∵ 四边形BCDA是平行四边形，∴ BA＝CD.∵ M是BC的中点，∴ BM＝CM.∵∠MAD＝∠MDA，
∴ DM＝AM.∵ DM＝AM，BM＝CM、BA＝CD，∴ △BAM ≌ △CDM∴ ∠MBA ＝ ∠DCM.∵ 四边形BCDA是平行四边形，∴ BA ∥ CD，∴ ∠MBA ＋ ∠DCM ＝ 180°.
∵ ∠MBA ＋ ∠DCM ＝ 180°， ∠MBA ＝ ∠DCM，∴ ∠MBA ＝ ∠DCM ＝ 90°.∵ ∠MBA ＝ 90°， 四边形BCDA是平行四边形∴ 平行四边形BCDA是矩形
19 . 3 . 2 菱 形
本章图19－9中的铁栅栏门能活动是由于它拉开时出现的是四边形，这种四边形有什么特点?
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
平行四边形不一定是菱形.
菱形在生活中随处可见.图 19 －36 中的升降机采用菱形部件，就是利用菱形既具有可变性，又具有相对稳定性的性质.
菱形除了具有一般平行四边形的性质外，它的边、角、对角线还具有哪些特殊的性质呢?
由于菱形是平行四边形，所以它的对边相等，又因为菱形的邻边也相等，所以菱形的四条边都相等. 于是，我们得到：
性质1 四边都相等的四边形是菱形.
如图19－37，连接菱形的两条对角线AC和BD设它们相交于点 O.
∵ AB ＝AD、BO＝OD，
∴ AC ⊥ BD.(为什么?)
性质2 菱形的对角线互相垂直.
由性质 2可知，菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
例5 已知菱形的两条对角线长分别为 a，b，求菱形的 面积.
解 设菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O(图19－38). AC＝a，BD＝b.
因为四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD. (菱形的对角线互相垂直)
1. 如图19－39，以点A为端点任意画两条相等的线段AB和AD，再分别以点 B，D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点 C，连接 BC，DC，四边形ABCD是菱形吗?为什么?
2. 如图 19－40，画两条互相垂直的直线l1和l2，两直线相交于点 O，在l1上取两点A，C，使OA ＝OC，在 l2 上取两点 B，D，使OB ＝OD，顺次连接点A，B，C，D，四边形ABCD 是菱形吗?为什么?
由此，我们可以发现，判定四边形为菱形的方法：
定理1 四边都相等的四边形是菱形.
定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝AD.求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明 如图19－40 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形 ∴ AO＝CO. 又∵ DO⊥AC， ∴ DA＝DC. ∴ 四边形ABCD 是菱形.
解 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以
又∵ AB ＝ 5，满足AB2 ＝OA2＋OB2，
∴ △AOB 为直角三角形， 即 OA ⊥ OB.
1. 在菱形 ABCD中，AB ＝ 4 cm，∠ABC＝60°，求菱 形的面积.
如图，连接AC，BD，相交于点O.
2. 菱形 ABCD的边长为13 cm，它的一条对角线 BD ＝ 10 cm，求对角线 AC的长.
3. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形吗? 说明理由.
对角线互相垂直平分的四边形是菱形;理由如下：∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.∴ 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
4. 画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm 和8 cm.
作法：1.画线段AC＝6cm， 2. 取AC的中点O， 3.过点O画线段BD，使OB＝OD＝4cm， 4. 连结AB、BC、CD、DA. 则四边形ABCD就是所要画的菱形。
19 . 3 . 3 正 方 形
正方形是我们所熟悉的图形，如图19 －42 是魔方的一个面.你认为正方形是本节所学的哪种图形的特例，为什么?
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？
矩 形
问题 2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么 发现？
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质.
性质1 正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
以上性质,请同学自己证明.
怎样判定一个四边形是正方形呢?
例7 如图 19－43，点A′，B′ ，C′ ，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′ ＝ BB′ ＝ CC′ ＝ DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明 因为四边形ABCD 是正方形所以
AB＝BC＝CD＝DA.
又∵ AA′＝BB′＝CC′＝DD′，
∴ D′A＝A′B＝B′C＝C′D.
∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∴ △AA′D′ ≌ △BB′A′ ≌ △CC′B′ ≌ △DD′C′.
又∵ ∠1＝∠3， ∠1＋∠2 ＝ 90°
∴ ∠2 ＋ ∠3 ＝ 90°
∴ ∠D′A′B′ ＝ 90°
所以四边形 A′B′C′D′是正方形.
∴ A′B′＝B′C′＝CD′＝D′A'.
∴ 四边形A′B′C′D′是菱形.
1. 判断满足下列条件的四边形是否是正方形，并说明 理由：
(1) 对角线互相垂直且相等的平行四边形；
是 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； 若这个菱形的对角线相等，则这个菱形是正方形.
(2) 对角线互相垂直的矩形；
对角线互相垂直的矩形是正方形 若矩形的对角线互相垂直，则这个矩形是正方形。
(3) 对角线相等的菱形；
对角线相等的菱形是正方形，若这个菱形的对角线相等，则这个菱形是正方形。
(4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形.
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， 若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形； 若这个平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形； 若这个矩形的对角线互相垂直，则这个矩形是正方形。
2. 如图是2002年8 月在北京召开的第24 届国际数学家大 会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和EFGH 都是正方形. 求证： △ABF≌△DAE.
证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB ＝ DA，∠BAF ＋∠DAE ＝90°， ∵ ∠ADE＋∠DAE ＝90°，
∵ ∠BAF ＝∠ADE，在△ABF与△DAE中 ∠BAF ＝∠ADE ∠AFB＝∠AED AB ＝AD∴ △ABF≌△DAE.
图 19－44 是由5个全等的小正方形组成的十字形的十二边形纸片. 如何用几条直线形切痕，把这个十字形纸片切割成几块，使这几块能重新组拼成一个正方形?
(1) 你是怎样切割的?在图上画出切痕.
(2) 最少需几条切痕?画出这种切法.
如图 19－45 (1)，一个矩形是由6个正方形组成的，如果知道中间最小正方形的面积是 1. 你能求出矩形的面积吗?
容易看出，图 19 － 45(1)中的正方形有两个是一样大的.如果一个矩形的内部能用一些大小各不相同的正方形铺满(既不重叠也无缝隙)，就称它为完美矩形.
1936 年，英国剑桥大学的4 名学生把一个矩形分成大小各不相同的9个正方形(可以证明完美矩形最少由9个大小各不相同的正方形铺成)，如图 19－45(2)，图中数字表示相应正方形的边长.
那么如何寻求矩形的正方形分割呢? 办法是先作一个矩形的正方形分割的草图，然后用尽可能少的未知数标出每个正方形的边长，再写出这些边长应满足的关系式，最后通过解方程组而得到.
如图 19－46 先标出相邻三个正方形边长 x，y，z，然后，不难按下列顺序标出其余正方形的边长 x＋y，2x＋y，y－z，y－2z，y－3z，2y－5z，由矩形对边相等条件，可得出
(2y－5z) ＋(y－2z) ＋(y－z)＝(2x＋y)＋(x＋y)，(2x＋y)＋(2y－5z)＝(x＋y)＋y＋(y－z)，
3x － 2y ＋ 8z ＝ 0，
x － 4z ＝ 0.
令z ＝ 1，得x ＝ 4，y ＝ 10.代入图中即可，这就是图19 － 45(2).
如果一个大正方形能由边长为互不相等的整数的小正方形铺满，我们就称这个大正方形是完美正方形.
如图 19－45(3)是1978 年被荷兰数学家用大型计算机算出的一个完美正方形，这个完美正方形含有小正方形的个数为21，说成是 21 阶(图中最小的正方形边长没有填写，你知道它的边长应是多少).其后，荷兰、苏联数学家证明小于等于 20 阶的完美正方形不存在.
四边形中，我们研究了其中一类特殊四边形—两组对边分别平行的四边形. 但还有另一类四边形，许多建筑都有涉及，图 19－47 是座古代玛雅神庙，其中就含有这类四边形.即只有一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形，像这样的四边形叫做梯形.
我们身边，有很多物体的形状(如图 19－48中堤坝和水渠的横截面)都是梯形.
如图19－49，在梯形ABCD中，DC ∥AB，点E，F分别为两腰AD，BC的中点，连接 EF(EF 就是梯形中位线).则有：
(1) EF ∥ DC ∥ AB；
在梯形ABCD中，当不平行的两腰 AD ＝BC 时，这样的梯形就称为等腰梯形.
等腰梯形是轴对称图形. 经过两底中点的直线是它的对称轴. 那么，等腰梯形还有哪些性质呢? 你能得出吗?
如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD相交于O，∠AOD ＝120°∵ ∠AOD ＝120°∴ ∠AOB ＝60°
1. 已知矩形的两条对角线所成的钝角是 120°， 求证: 矩形较短边长等于对角线长的一半.
2. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点 E. (1) 若 ∠DAE ＝ 2∠BAE，求∠EAC；
∵ 四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90° (矩形的四个角都是直角) ∵ ∠DAE＝2∠BAE.∴ ∠BAE＝30°，∠DAE＝60°.
∴ ∠ADE＝30°.∵ 四边形ABCD是矩形.∴ OA＝OD.∴ ∠OAD＝∠ADE＝30°∴ ∠EAC＝60°－30°＝30°.
(2) 若 BE∶ED ＝ 1∶3，AB ＝ 1，求AD.
3. (1) 求证：平行四边形四个内角的平分线围成的四边 形是矩形；
已知：四边形ABCD是平行四边形，AE、BF、CG、 DH分别为四边形内角的平分线，AE与BF和DH 分别交于点E、H，CG与BF、 DH分别交于点F、G，求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴ ∠DAB＋∠ADC＝180°∵ AH、DH平分∠DAB、∠ADC.∴ ∠HAD＋∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可证得： ∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°故四边形EFGH是矩形
(2)求证：矩形四个内角的平分线围成的四边形是正方形.
如图，在矩形ABCD中，AE、BE、CF、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四个内角均为90°，
∵ AE，BE，CF，DF分别是四个内角的平线.∴ ∠NBC＝∠NCB＝45°∴△NBC为等腰直角三角形，∴ ∠N＝90°，同理：∠M＝∠NEM＝∠NFM＝90°，∴四边形MFNE为矩形，
∵AD ＝ BC，∠M ＝ ∠N ＝ 90°， ∠DAM ＝ ∠NBC ＝ 45°，∴△DAM≌△CBN (AAS)∴AM＝BN，∵AE ＝ BE，∴AM－AE＝BN－BF，即FM＝EM.∴四边形MFNE是正方形.
∴AE ＝ DF，AE ∥ DF，∴四边形ADFD是平行四边形，∵AF ＝ DE，∴平行四边形AEFD是矩形，∴∠BAD ＝ 90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴ 平行四边形ABCD是矩形.
5. 以3 cm 和4 cm 为两条邻边画一个矩形，并求它的对 角线长.
如图所示，矩形ABCD即为所求，连接AC，∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC ＝ 90°∵ 在Rt△ABC中，AB ＝ 3cm，BC ＝ 4cm.
如图所示，连接BD，∵ BE⊥CD，CE＝DE.∴ BC＝BD，∵ 四边形ABCD是菱形.∴ CD＝BC，∠A＝∠C. ∠ABC＝∠ADC，
6. 从菱形的钟角顶点向对边引垂线，如果垂线平分对边， 求菱形的钝角度数.
∴ BC＝BD＝CD，∴ △BCD是等边三角形.∴∠C＝60°.∴∠A＝∠C＝60°， ∠ABC＝∠ADC＝180°－∠C＝120°即菱形的钝角度数为120°.
7. 在菱形 ABCD中AC ＝6cm，BD ＝8cm，求平行线AB 与 CD 之间的距离.
过点A作AE⊥CD于点E，在菱形ABCD中，∵AC ＝ 6，BD ＝ 8，∴OA ＝ 3，OD ＝ 4，∴由勾股定理可知：AD ＝ 5，
8. 求证： 依次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE ＝ BE ＝CG ＝DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中， AH＝DH ∠A＝∠D AE ＝DG
∴△AEH≌△DGH(SAS)∴EH ＝HG同理，△AEH≌△DGH≌BEF≌△CGF≌△DGH，∴EH＝HE＝GF ＝EF， ∠EHG ＝∠EFG，∴四边形EFGH为菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AD∥BC ∴ ∠ACB ＝ ∠DAC. ∵ ∠BAC ＝∠DAC. ∴ ∠BAC ＝ ∠ACB.
∴ AB ＝ BC∴ □ABCD是菱形
10. 以3cm 为边画菱形，使菱形的一个内角为 60°.
作法：作等边三角形ABC使边长为3 cm，分别以A、C为圆心以3cm为半径画弧在AC的另一侧相交于点D，连接AD、CD则四边形ABCD就是所求作的萎形。
11. 已知：如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着， 求证：重叠部分为菱形.
证明：根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.如图，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵ 两纸条宽度相同，∴ AE＝AF。∵ 平行四边形ABCD的面积为 AE×CD＝BC×AF.∴ CD＝BC.∴ 平行四边形ABCD为菱形.
12. 已知：如图，点D是Rt△ABC 的斜边 BC的中点， DE ⊥AC，DF ⊥AB垂足分别是点 E，F，且 BF ＝CE. 求证：四边形 AEDF 为正方形.
∵ △ABC是直角三角形∴ ∠A＝90°∵ DE⊥AC，DF⊥AB.∴ ∠AFD＝90°，∠AED ＝90°∴ 四边形ADDF是矩形又∵ 点D是Rt△ABC斜边BC的中点∴ BD＝CD
在Rt△BDF与Rt△CDE中：∵ BD＝CD BF＝CE∴ Rt△BDF≌ Rt△CDE (HL)∴ DF=DE∴ 矩形ADDF是正方形.
19 . 3 矩形、菱形、正方形
19 . 3 . 1 矩 形
电脑、电视机的显示屏是什么形状?本书的封面是什么形状?
思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
平行四边形不一定是矩形.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
画一个矩形，度量一下它的四条边长、两条对角线长以及四个角的度数，你能从中得出矩形特有的性质吗?
矩形的四个角都是直角.
求证：∠A ＝∠B＝∠C＝∠D ＝90°.
证明 由定义，矩形必有一个角是直角，设 ∠A ＝90°.
∵ AB∥DC、AD∥BC，
∴ ∠B ＝ ∠C ＝ ∠D ＝ 90° (两直线平行，同旁内角互补)
即矩形ABCD的四个角都是直角.
由此，可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 如图 19－31，已知：矩形 ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB ＝120°，AD ＝4cm. 求矩形对角线的长.
解 因为四边形ABCD是矩形，所以
∴ AC ＝ BD.
∵ ∠AOB ＝ 120°.
BD ＝ 2AD ＝ 2 × 4 ＝ 8 (cm).
1. 证明矩形的性质 2.
解：已知：如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线. 求证：AC ＝ BD.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD ＝ BC， ∠DAB ＝ ∠CBA ＝90° 又∵ AB＝BA， ∴ △ABD≌△BAC. ∴ BD＝AC.
2. 已知矩形的一条对角线长8 cm，两条对角线的夹角为 60°，矩形相邻两边的长各为多少?
矩形的两条对角线的夹角为：∠1＝60°，∵ 四边形ABCD是矩形.∴ OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD.∴ OA ＝ OB.∴ △AOB为等边三角形，
3. 已知直角三角形一条直角边长为3 cm，斜边上的中线 长2.5 cm，求另一条直角边长.
如图19－32，工人师傅在做门窗框架、桌面等包含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你能说出其中的道理吗?
证明 因为四边形ABCD是平行四边形所以
又∵ DC ＝ CD，AC ＝ BD，
∴ △ADC ≌ △BCD .
∴ ∠ADC ＝ ∠ BCD .
又∵ ∠ADC ＋∠BCD＝180° ，
∴ ∠ADC ＝ ∠BCD ＝ 90° .
由此，我们得到矩形的判定方法：
定理1 对角线相等的平行四边形是矩形.
例3 已知：如图19－34，在△ABC 中，AB ＝AC点D是AC 的中点,直线 AE ∥ BC，过点 D作直线 EF ∥ AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形AECF 是矩形.
证明：∵ AE∥BC ∴ ∠1 ＝ ∠2. 在△ADE和△CDF 中， ∴ ∠1 ＝∠2， ∠ADE＝∠ CDF、 AD ＝ CD， ∴ △ADE ≌ △CDF. ∴ AE ＝ CF.
所以四边形 AECF 是平行四边形.又因为四边形 ABFE 是平行四边形，所以 EF ＝ AB. ∵ AC ＝ AB， ∴ EF ＝ AC.所以四边形AECF 是矩形.
例4 已知：如图19 － 35，在四边形ABCD中，∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 90°. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明 ∵ ∠A＝ ∠B＝∠C＝90°，
∴ ∠B＋∠C ＝180°， ∠A＋∠B＝180°.
∴ AB∥CD、AD∥BC.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
所以四边形 ABCD 是矩形.
定理2 三个角是直角的四边形是矩形.
1. 如图，在矩形ABCD中，AB ＝3，BC ＝2，点E为BC 中点，点F在AB 上且BF ＝2AF. 求四边形AFEC 的面积.
∵ 四边形ABCD是矩形.∴ ∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，∵ BC＝2，E为BC的中点.∴ BE＝1，∵ AB＝3，BF＝2AF，∴ BF＝2，
证明：∵ 四边形BCDA是平行四边形，∴ BA＝CD.∵ M是BC的中点，∴ BM＝CM.∵∠MAD＝∠MDA，
∴ DM＝AM.∵ DM＝AM，BM＝CM、BA＝CD，∴ △BAM ≌ △CDM∴ ∠MBA ＝ ∠DCM.∵ 四边形BCDA是平行四边形，∴ BA ∥ CD，∴ ∠MBA ＋ ∠DCM ＝ 180°.
∵ ∠MBA ＋ ∠DCM ＝ 180°， ∠MBA ＝ ∠DCM，∴ ∠MBA ＝ ∠DCM ＝ 90°.∵ ∠MBA ＝ 90°， 四边形BCDA是平行四边形∴ 平行四边形BCDA是矩形
19 . 3 . 2 菱 形
本章图19－9中的铁栅栏门能活动是由于它拉开时出现的是四边形，这种四边形有什么特点?
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
平行四边形不一定是菱形.
菱形在生活中随处可见.图 19 －36 中的升降机采用菱形部件，就是利用菱形既具有可变性，又具有相对稳定性的性质.
菱形除了具有一般平行四边形的性质外，它的边、角、对角线还具有哪些特殊的性质呢?
由于菱形是平行四边形，所以它的对边相等，又因为菱形的邻边也相等，所以菱形的四条边都相等. 于是，我们得到：
性质1 四边都相等的四边形是菱形.
如图19－37，连接菱形的两条对角线AC和BD设它们相交于点 O.
∵ AB ＝AD、BO＝OD，
∴ AC ⊥ BD.(为什么?)
性质2 菱形的对角线互相垂直.
由性质 2可知，菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
例5 已知菱形的两条对角线长分别为 a，b，求菱形的 面积.
解 设菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O(图19－38). AC＝a，BD＝b.
因为四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD. (菱形的对角线互相垂直)
1. 如图19－39，以点A为端点任意画两条相等的线段AB和AD，再分别以点 B，D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点 C，连接 BC，DC，四边形ABCD是菱形吗?为什么?
2. 如图 19－40，画两条互相垂直的直线l1和l2，两直线相交于点 O，在l1上取两点A，C，使OA ＝OC，在 l2 上取两点 B，D，使OB ＝OD，顺次连接点A，B，C，D，四边形ABCD 是菱形吗?为什么?
由此，我们可以发现，判定四边形为菱形的方法：
定理1 四边都相等的四边形是菱形.
定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝AD.求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明 如图19－40 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形 ∴ AO＝CO. 又∵ DO⊥AC， ∴ DA＝DC. ∴ 四边形ABCD 是菱形.
解 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以
又∵ AB ＝ 5，满足AB2 ＝OA2＋OB2，
∴ △AOB 为直角三角形， 即 OA ⊥ OB.
1. 在菱形 ABCD中，AB ＝ 4 cm，∠ABC＝60°，求菱 形的面积.
如图，连接AC，BD，相交于点O.
2. 菱形 ABCD的边长为13 cm，它的一条对角线 BD ＝ 10 cm，求对角线 AC的长.
3. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形吗? 说明理由.
对角线互相垂直平分的四边形是菱形;理由如下：∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.∴ 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
4. 画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm 和8 cm.
作法：1.画线段AC＝6cm， 2. 取AC的中点O， 3.过点O画线段BD，使OB＝OD＝4cm， 4. 连结AB、BC、CD、DA. 则四边形ABCD就是所要画的菱形。
19 . 3 . 3 正 方 形
正方形是我们所熟悉的图形，如图19 －42 是魔方的一个面.你认为正方形是本节所学的哪种图形的特例，为什么?
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？
矩 形
问题 2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么 发现？
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质.
性质1 正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
以上性质,请同学自己证明.
怎样判定一个四边形是正方形呢?
例7 如图 19－43，点A′，B′ ，C′ ，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′ ＝ BB′ ＝ CC′ ＝ DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明 因为四边形ABCD 是正方形所以
AB＝BC＝CD＝DA.
又∵ AA′＝BB′＝CC′＝DD′，
∴ D′A＝A′B＝B′C＝C′D.
∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∴ △AA′D′ ≌ △BB′A′ ≌ △CC′B′ ≌ △DD′C′.
又∵ ∠1＝∠3， ∠1＋∠2 ＝ 90°
∴ ∠2 ＋ ∠3 ＝ 90°
∴ ∠D′A′B′ ＝ 90°
所以四边形 A′B′C′D′是正方形.
∴ A′B′＝B′C′＝CD′＝D′A'.
∴ 四边形A′B′C′D′是菱形.
1. 判断满足下列条件的四边形是否是正方形，并说明 理由：
(1) 对角线互相垂直且相等的平行四边形；
是 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； 若这个菱形的对角线相等，则这个菱形是正方形.
(2) 对角线互相垂直的矩形；
对角线互相垂直的矩形是正方形 若矩形的对角线互相垂直，则这个矩形是正方形。
(3) 对角线相等的菱形；
对角线相等的菱形是正方形，若这个菱形的对角线相等，则这个菱形是正方形。
(4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形.
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， 若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形； 若这个平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形； 若这个矩形的对角线互相垂直，则这个矩形是正方形。
2. 如图是2002年8 月在北京召开的第24 届国际数学家大 会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和EFGH 都是正方形. 求证： △ABF≌△DAE.
证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB ＝ DA，∠BAF ＋∠DAE ＝90°， ∵ ∠ADE＋∠DAE ＝90°，
∵ ∠BAF ＝∠ADE，在△ABF与△DAE中 ∠BAF ＝∠ADE ∠AFB＝∠AED AB ＝AD∴ △ABF≌△DAE.
图 19－44 是由5个全等的小正方形组成的十字形的十二边形纸片. 如何用几条直线形切痕，把这个十字形纸片切割成几块，使这几块能重新组拼成一个正方形?
(1) 你是怎样切割的?在图上画出切痕.
(2) 最少需几条切痕?画出这种切法.
如图 19－45 (1)，一个矩形是由6个正方形组成的，如果知道中间最小正方形的面积是 1. 你能求出矩形的面积吗?
容易看出，图 19 － 45(1)中的正方形有两个是一样大的.如果一个矩形的内部能用一些大小各不相同的正方形铺满(既不重叠也无缝隙)，就称它为完美矩形.
1936 年，英国剑桥大学的4 名学生把一个矩形分成大小各不相同的9个正方形(可以证明完美矩形最少由9个大小各不相同的正方形铺成)，如图 19－45(2)，图中数字表示相应正方形的边长.
那么如何寻求矩形的正方形分割呢? 办法是先作一个矩形的正方形分割的草图，然后用尽可能少的未知数标出每个正方形的边长，再写出这些边长应满足的关系式，最后通过解方程组而得到.
如图 19－46 先标出相邻三个正方形边长 x，y，z，然后，不难按下列顺序标出其余正方形的边长 x＋y，2x＋y，y－z，y－2z，y－3z，2y－5z，由矩形对边相等条件，可得出
(2y－5z) ＋(y－2z) ＋(y－z)＝(2x＋y)＋(x＋y)，(2x＋y)＋(2y－5z)＝(x＋y)＋y＋(y－z)，
3x － 2y ＋ 8z ＝ 0，
x － 4z ＝ 0.
令z ＝ 1，得x ＝ 4，y ＝ 10.代入图中即可，这就是图19 － 45(2).
如果一个大正方形能由边长为互不相等的整数的小正方形铺满，我们就称这个大正方形是完美正方形.
如图 19－45(3)是1978 年被荷兰数学家用大型计算机算出的一个完美正方形，这个完美正方形含有小正方形的个数为21，说成是 21 阶(图中最小的正方形边长没有填写，你知道它的边长应是多少).其后，荷兰、苏联数学家证明小于等于 20 阶的完美正方形不存在.
四边形中，我们研究了其中一类特殊四边形—两组对边分别平行的四边形. 但还有另一类四边形，许多建筑都有涉及，图 19－47 是座古代玛雅神庙，其中就含有这类四边形.即只有一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形，像这样的四边形叫做梯形.
我们身边，有很多物体的形状(如图 19－48中堤坝和水渠的横截面)都是梯形.
如图19－49，在梯形ABCD中，DC ∥AB，点E，F分别为两腰AD，BC的中点，连接 EF(EF 就是梯形中位线).则有：
(1) EF ∥ DC ∥ AB；
在梯形ABCD中，当不平行的两腰 AD ＝BC 时，这样的梯形就称为等腰梯形.
等腰梯形是轴对称图形. 经过两底中点的直线是它的对称轴. 那么，等腰梯形还有哪些性质呢? 你能得出吗?
如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD相交于O，∠AOD ＝120°∵ ∠AOD ＝120°∴ ∠AOB ＝60°
1. 已知矩形的两条对角线所成的钝角是 120°， 求证: 矩形较短边长等于对角线长的一半.
2. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点 E. (1) 若 ∠DAE ＝ 2∠BAE，求∠EAC；
∵ 四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90° (矩形的四个角都是直角) ∵ ∠DAE＝2∠BAE.∴ ∠BAE＝30°，∠DAE＝60°.
∴ ∠ADE＝30°.∵ 四边形ABCD是矩形.∴ OA＝OD.∴ ∠OAD＝∠ADE＝30°∴ ∠EAC＝60°－30°＝30°.
(2) 若 BE∶ED ＝ 1∶3，AB ＝ 1，求AD.
3. (1) 求证：平行四边形四个内角的平分线围成的四边 形是矩形；
已知：四边形ABCD是平行四边形，AE、BF、CG、 DH分别为四边形内角的平分线，AE与BF和DH 分别交于点E、H，CG与BF、 DH分别交于点F、G，求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴ ∠DAB＋∠ADC＝180°∵ AH、DH平分∠DAB、∠ADC.∴ ∠HAD＋∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可证得： ∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°故四边形EFGH是矩形
(2)求证：矩形四个内角的平分线围成的四边形是正方形.
如图，在矩形ABCD中，AE、BE、CF、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四个内角均为90°，
∵ AE，BE，CF，DF分别是四个内角的平线.∴ ∠NBC＝∠NCB＝45°∴△NBC为等腰直角三角形，∴ ∠N＝90°，同理：∠M＝∠NEM＝∠NFM＝90°，∴四边形MFNE为矩形，
∵AD ＝ BC，∠M ＝ ∠N ＝ 90°， ∠DAM ＝ ∠NBC ＝ 45°，∴△DAM≌△CBN (AAS)∴AM＝BN，∵AE ＝ BE，∴AM－AE＝BN－BF，即FM＝EM.∴四边形MFNE是正方形.
∴AE ＝ DF，AE ∥ DF，∴四边形ADFD是平行四边形，∵AF ＝ DE，∴平行四边形AEFD是矩形，∴∠BAD ＝ 90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴ 平行四边形ABCD是矩形.
5. 以3 cm 和4 cm 为两条邻边画一个矩形，并求它的对 角线长.
如图所示，矩形ABCD即为所求，连接AC，∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC ＝ 90°∵ 在Rt△ABC中，AB ＝ 3cm，BC ＝ 4cm.
如图所示，连接BD，∵ BE⊥CD，CE＝DE.∴ BC＝BD，∵ 四边形ABCD是菱形.∴ CD＝BC，∠A＝∠C. ∠ABC＝∠ADC，
6. 从菱形的钟角顶点向对边引垂线，如果垂线平分对边， 求菱形的钝角度数.
∴ BC＝BD＝CD，∴ △BCD是等边三角形.∴∠C＝60°.∴∠A＝∠C＝60°， ∠ABC＝∠ADC＝180°－∠C＝120°即菱形的钝角度数为120°.
7. 在菱形 ABCD中AC ＝6cm，BD ＝8cm，求平行线AB 与 CD 之间的距离.
过点A作AE⊥CD于点E，在菱形ABCD中，∵AC ＝ 6，BD ＝ 8，∴OA ＝ 3，OD ＝ 4，∴由勾股定理可知：AD ＝ 5，
8. 求证： 依次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE ＝ BE ＝CG ＝DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中， AH＝DH ∠A＝∠D AE ＝DG
∴△AEH≌△DGH(SAS)∴EH ＝HG同理，△AEH≌△DGH≌BEF≌△CGF≌△DGH，∴EH＝HE＝GF ＝EF， ∠EHG ＝∠EFG，∴四边形EFGH为菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AD∥BC ∴ ∠ACB ＝ ∠DAC. ∵ ∠BAC ＝∠DAC. ∴ ∠BAC ＝ ∠ACB.
∴ AB ＝ BC∴ □ABCD是菱形
10. 以3cm 为边画菱形，使菱形的一个内角为 60°.
作法：作等边三角形ABC使边长为3 cm，分别以A、C为圆心以3cm为半径画弧在AC的另一侧相交于点D，连接AD、CD则四边形ABCD就是所求作的萎形。
11. 已知：如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着， 求证：重叠部分为菱形.
证明：根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.如图，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵ 两纸条宽度相同，∴ AE＝AF。∵ 平行四边形ABCD的面积为 AE×CD＝BC×AF.∴ CD＝BC.∴ 平行四边形ABCD为菱形.
12. 已知：如图，点D是Rt△ABC 的斜边 BC的中点， DE ⊥AC，DF ⊥AB垂足分别是点 E，F，且 BF ＝CE. 求证：四边形 AEDF 为正方形.
∵ △ABC是直角三角形∴ ∠A＝90°∵ DE⊥AC，DF⊥AB.∴ ∠AFD＝90°，∠AED ＝90°∴ 四边形ADDF是矩形又∵ 点D是Rt△ABC斜边BC的中点∴ BD＝CD
在Rt△BDF与Rt△CDE中：∵ BD＝CD BF＝CE∴ Rt△BDF≌ Rt△CDE (HL)∴ DF=DE∴ 矩形ADDF是正方形.
相关课件
沪科版八年级下册第19章 四边形19.3 矩形 菱形 正方形课文配套ppt课件： 这是一份沪科版八年级下册第19章 四边形19.3 矩形 菱形 正方形课文配套ppt课件，共15页。PPT课件主要包含了有一组邻边相等，平行四边形，想一想，一展身手，⑴求证DQCP，★从角上来谈，●从边上来谈，▲从对角线上来谈，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形课文内容ppt课件： 这是一份初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形课文内容ppt课件，共17页。PPT课件主要包含了平行且相等，平行且四边相等，对角相等邻角互补，四个角都是直角，互相平分，互相平分且相等，中心对称图形，主要画图，典型举例，BEDF等内容，欢迎下载使用。
初中数学19.3 矩形 菱形 正方形教案配套ppt课件： 这是一份初中数学19.3 矩形 菱形 正方形教案配套ppt课件，共19页。
