2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A. 任意买1张电影票，座位号是奇数
B. 掷1枚骰子，点数小于等于2
C. 有10000张彩票，其中100张是中奖彩票，从中随机买1张是中奖彩票
D. 一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
2.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n−1+k(n∈N*)，则k的值为( )
A. −1B. 1C. −12D. 12
3.已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.2，P(B)=0.5，则P(A+B)=( )
A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.4
4.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用an表示解下nn≤9,n∈N*个圆环所需要最少移动的次数，数列an满足a1=1，且an+1=2an−1,n为奇数 2an+2,n为偶数，则解下5个环所需要最少移动的次数为
( )
A. 7B. 10C. 16D. 31
5.我国传统文化中有天干地支之说，天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”.其中甲、乙五行属木，归东方，丙、丁五行属火，归南方，戊、己五行属土，归中央，庚、辛五行属金，归西方，壬、癸五行属水，归北方.在天干十个字中随机取两个，则它们五行属性相同的概率是( )
A. 19B. 18C. 17D. 16
6.高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=3，Sn−4=12，Sn=17，则n的值为( )
A. 8B. 11C. 13D. 17
7.Sn是等差数列{an}的前n项和，且S100S99.则Sn0).则( )
A. 数列{an}的公比为pB. 数列{an}为递减数列
C. r=−p−1D. 当p−14r取最小值时，an=3n−1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列{an}中，公差为d，a100则下列结论正确的有( )
A. d>0B. S9=S10C. S190
10.甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，记事件A=“甲独立译出密码”，事件B=“乙独立译出密码”，则( )
A. A与B为相互独立事件B. A与B为对立事件
C. 两人都译出密码的概率为112D. 恰有一人译出密码的概率为512
11.设数列{an}的前n项和为Sn，若an+Sn=An2+Bn+C，则下列说法中正确的有( )
A. 存在A，B，C使得{an}是等差数列
B. 存在A，B，C使得{an}是等比数列
C. 对任意A，B，C都有{an}一定是等差数列或等比数列
D. 存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列
12.在数列{pn}中，如果对任意n≥2(n∈N*)，都有Pn+1Pn−PnPn−1=k(k为常数)，则称数列{pn}为比等差数列，k称为比公差.则下列说法错误的是( )
A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差k=1
B. 等差数列一定不是比等差数列
C. 若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{an⋅bn}一定是比等差数列
D. 若数列{an}满足a1=a2=1，an+1=an+an−1(n≥2)，则该数列不是比等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
视频率为概率，如果这名运动员只射击一次，则他命中的环数小于9环的概率为______．
14.在等比数列{an}中，若a3，a11是方程x2+4x+2=0的两根，则a7的值是______．
15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2035这2035个数中，能被5除余2且被7整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有______项.
16.在数列{an}中，an>0，且前n项和Sn满足4Sn=(an+1)2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}中an+1=an−4，且a1=13，
(1)求an；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值
18.(本小题12分)
在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；
19.(本小题12分)
已知在递增的等差数列{an}中，a3a7=55，a4+a6=16．
(1)求a3和a7；
(2)求{an}的通项公式．
20.(本小题12分)
在①2Sn=2n2+an，②a3+a5=16且S3+S5=42，③SnS2n=n+14n+2且S7=56这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，___.数列{bn}为等比数列，b1=a1，b2=a3，求数列{1Sn+bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
甲、乙两人玩一个游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜，若乙地猜测与摸出的球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮(每轮游戏都由甲摸球)，乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种．
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．
请回答
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止，若乙按照(1)中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
22.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an−2n(n∈N*).
(1)求证：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=lg2(an+2)，Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求证：Tn≥12．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对A，由对称性可知任意买1张电影票，座位号是奇数的概率为12；
对B，掷1枚骰子，点数小于等于2的概率为16；
对C，有10000张彩票，其中100张是中奖彩票，从中随机买1张是中奖彩票的概率为10010000=1100；
对D，一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球的概率为810=45，
∴发生的可能性最大的为D对应的事件，
故选：D．
根据古典概型的概率公式即可求解．
本题考查古典概型的概率公式的应用，属基础题．
2.【答案】C
【解析】解：等比数列{an}中，当q≠1时，Sn=a1(1−qn)1−q=a11−q−a11−q⋅qn，
因为等比数列{an}的前n项和Sn=2n−1+k=k+12×2n，
所以k=−12．
故选：C．
由已知结合等比数列的求和公式的特点即可求解k．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意事件A与事件B相互独立，P(A)=0.2，P(B)=0.5，
所以P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.2+0.5−0.2×0.5=0.6，
故选：B．
由题意两个相互独立事件的和事件的概率应该为两事件概率之和减去这两事件同时发生的概率，可得答案．
本题考查了相互独立事件及其概率的计算公式，和事件的概率计算公式，解题的关键是熟知相互独立事件和和事件的概率计算公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：数列的递推公式求数列的项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用数列的递推公式的应用求出结果．
【解答】
解：数列{an}满足a1=1，且an+1=2an−1,n为奇数2an+2,n为偶数，
则：a5=2a4+2=2(2a3−1)+2
=4(2a2+2)=8(2a1−1)+8=16a1=16．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：从天干十个字中随机取两个，所有取的种类为C102=45，
共有金木水火土五行，所以随机取的两个五行相同的概率为545=19．
故选：A．
根据古典概型概率公式，结合排列数求法，即可得解．
本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列公式及性质的应用，属于中档题．
由题意得S4+(Sn−Sn−4)=4(a1+an)=8，从而可得a1+an=2，再代入前n项和公式即可．
【解答】
解：∵S4=3，Sn−4=12，Sn=17，
∴S4+(Sn−Sn−4)=4(a1+an)=8，
∴a1+an=2，
又∵Sn=12(a1+an)n=17，
∴n=17．
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：∵{an}是等差数列，S1000，则公比p+1p=1+1p>1，所以数列{an}为递增数列，B选项错误；
p−14r=p+14p≥2 p⋅14p=1，
当且仅当p=14p，即p=12时取等号，此时公比为1+1212=3，
所以数列{an}的通项公式为an=a1⋅3n−1=3n−1，D选项正确．
故选：D．
利用退一相减法可得数列的递推公式，进而可得公比为p+1p，r=−p，进而可判断数列{an}的单调性，再根据基本不等式可得当且仅当p=12时，p−14r取最小值，进而可得公比与通项公式．
本题考查等比数列的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，a100，必有a11>0，
依次分析选项：
对于A，d=a11−a10>0，A正确；
对于B，S10−S9=a10S10，B错误；
对于C，S19=(a1+a19)×192=19a100，D正确．
故选：ACD．
根据题意，分析可得a100，结合等差数列的性质和前n项和公式分析选项，即可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，故A与B为相互独立事件，故A正确，B错误；
记事件C={两人都译出密码}，则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=13×14=112，故C正确；
记事件D=“恰有一人译出密码”，
则P(D)=P(AB−∪A−B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=13×34+23×14=512，故D正确．
故选：ACD．
根据相互独立事件的概念判断A、B，再根据独立事件与互斥事件的概率公式计算即可判断C、D．
本题主要考查相互独立事件，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查等差数列与等比数列的判断，属于中档题．
把n换成n−1写出新的等式，原等式与新等式作差，分别举特例逐一判断即可．
【解答】
解：∵an+Sn=An2+Bn+C，
∴当n=1时，a1+S1=2a1=A+B+C，即a1=A+B+C2，
当n≥2时，an−1+Sn−1=A(n−1)2+B(n−1)+C，
两式作差得：2an−an−1=2An+B−A，
当A=B=1，C=−2时，2an−an−1=2n，an=2n−2满足此式，故A正确；
当A=B=0，C=1时，anan−1=12，∴数列{an}是等比数列，故B正确；
当A=0且B≠0，C≠B时，2(an−B)=an−1−B，可得：an−B=(a1−B)(12)n−1，
∴an=(a1−B)(12)n−1+B，
∴数列{an}既不是等差也不是等比数列，故C错误，D正确．
故答案选：ABD．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，若{an}为等比数列，公比q≠0，则an+1an=q，anan−1=q，
所以an+1an−anan−1=0=k≠1，
故选项A错误；
对于选项B，若bn=1，{bn}是等差数列，则bn+1bn−bnbn−1=0，故{bn}为比等差数列，故选项B错误；
对于选项C，令an=0，bn=1，
则an⋅bn=0，
此时an+1bn+1anbn−anbnan−1bn−1无意义，
故选项C错误；
对于选项D，因为数列{an}满足a1=a2=1，an+1=an+an−1(n≥2)，
所以a3=2，a4=3，
故a3a2−a2a1=1≠a4a3−a3a2=−12，
所以{an}不是比等差数列，
故选项D正确．
故选：ABC．
根据比等差数列定义直接验证可判断选项A；令bn=1，依定义验证可判断选项B；令an=0，bn=1，然后依定义验证可判断选项C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断选项D．
本题考查了等差数列及等比数列的性质，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
13.【答案】0.6
【解析】解：由题意，小于9环的概率为0.1+0.2+0.3=0.6．
故答案为：0.6．
由概率的加法公式即可求得答案．
本题考查概率的求法，是基础题．
14.【答案】− 2
【解析】解：因为等比数列{an}中，
若a3，a11是方程x2+4x+2=0的两根，
则a3⋅a11=2>0，a3+a11=−4