广东省东莞市部分学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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一．选择题（每小题3分共30分）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解，掌握轴对称图形的定义，图形结合分析是解题的关键．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，B，C，D选项可以找到一条直线使得图形成轴对称图形，A选项不是轴对称图形，
故选：A．
2. 下列各组中的三条线段恰好是一个三角形三条边的是（ ）
A. 3，4，7B. 3，4，10C. 3，7，10D. 4，7，10
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形任两边的和大于第三边即可作出判断．
【详解】A、3+4=7，故这三条线段不能组成三角形的三条边；
B、3+4=7<10，故这三条段不能组成三角形的三条边；
C、3+7=10，故这三条线段不能组成三角形的三条边；
D、4+7=11>10，则这三条线段能组成三角形的三条边；
故选项D符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，实际解题中，只要考虑最短的两条线段之和大于最长的线段，则可判断此三条线段可以构成三角形的三边．
3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≠0C. x≠0且x≠2D. x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此解答．
【详解】解：由题意得，
解得x≠2，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟记解答方法是解题的关键．
4. 若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（ ）
A. 21×10﹣4B. 2.1×10﹣6C. 2.1×10﹣5D. 2.1×10﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将数据0.000021用科学记数法表示为：2.1×10﹣5．
故选C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；根据同底数幂的除法法则计算并判定B；根据幂的乘方法则计算并判定C；根据单项式运算法则和同底数幂乘法法则计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，单项式运算法则和同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6. 若一个多边形内角和等于，这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°．
7. 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A. BC＝EFB. AB＝DEC. ∠B＝∠ED. ∠ACB＝∠DFE
【答案】A
【解析】
【分析】根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF，
A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量=所用A型包装箱的数量-12，由此可得到所求的方程．
【详解】解：根据题意，得：，
故选：A．
【点睛】此题考查分式方程的问题，关键是根据公式：包装箱的个数与文具的总个数÷每个包装箱装的文具个数是等量关系解答．
9. 已知，，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．将两边同时平方后可得出，然后整体代入即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，即，
∴
又，
∴，
即，
故选：C．
10. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质和“等边对等角”可得，根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵垂直平分，
，
．
∵平分，
，
．
故选：B
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 分解因式： ________．
【答案】##
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．
12. 如图，已知，，，°，则_____．
【答案】##100度
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质可得，再求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】，
，
，，
，
．
故答案为：
13. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分度数为的内角为顶角和底角两种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为的内角是顶角时，则顶角的度数为；
当度数为的内角为底角时，则顶角的度数为；
综上所述，顶角的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和为，是解题的关键．
14. 已知点与点关于x轴对称，则_____．
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是熟练掌握坐标的变化规律“横坐标不变，纵坐标互为相反数”．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
则．
故答案为：5．
15. 如图，等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④其中正确的是_____．（填序号）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】①根据等边对等角，可得、，则，据此可求解；②可先求证是等边三角形，再根据三角形的三边关系判断即可；③因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，据此可求解；④先证明，则，．
【详解】解：
①如图1，连接，
，，
，，
，，
，
，
、，
，
故①正确；
②，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，则，，
，
故②不正确；
③由①知：、，
点是线段上一点，
与不一定相等，与不一定相等，
故③不正确；
④如图2，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故④正确．
故答案为：①④
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质的知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（一）（共2小题，每小题5分，共10分）
16. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算完全平方和平方差，再去括号、合并同类项即可．
本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
【详解】
17. 如图，AD∥BC，AE=CF，∠B=∠D，求证：BE=DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由AD∥BC可得：∠A=∠C，由AE=CE，再根据已知条件即可证明△ADF≌CBE，进而证明BE=DF．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
△ADF和△CBE中，
∵ ，
∴△ADF≌CBE，
∴BE=CF．
【点睛】考查平行线的性质以及全等三角形的判等于性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
四、解答题（二）（共3小题，每小题7分，共21分）
18. 如图，在中，的平分线交于点D．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，先求出．先根据，，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质，求出即可．
【详解】解：∵，．
．
∵是的平分线，
，
∴．
19. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可
【详解】解：原式=
根据分式有意义的条件可知，
∴当x取范围内的整数时，只有x=0．
∴当x=0时，原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为．点B的坐标为，点C的坐标为．

（1）作出关于y轴对称的，其中，，分别是A，B，C的对应点；
（2）写出的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）见详解 （2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）先做出A，B，C三点关于y轴对称点，，，再顺次连接，，即可；
（2）点的坐标为；
（3）做B点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求作的P点．
此题考查关于坐标轴成轴对称点的坐标特点及将军饮马的作图问题．其关键是要理解会运用：关于x轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【小问1详解】
如图即为所求；
【小问2详解】
点的坐标为；
【小问3详解】
如图，点P即为所求作．
五、解答题（三）（共3小题，每小题8分，共24分）
21. 如图，在△ABC中，D、E为BC上的点，AD平分∠BAE，CA=CD．
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠B＝50°，∠C＝3∠DAB，求∠C的大小．
【答案】（1）证明见解析（2）48°
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA，根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠BAD，于是得到结论；
（2）设∠DAB＝x，得到∠C＝3x，根据角平分线的定义得到∠EAB＝2∠DAB＝2x，求得∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝50°+2x，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AD平分∠BAE，
∴∠EAD＝∠BAD，
∵∠B＝∠CDA﹣∠BAD，∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，
∴∠CAE＝∠B；
（2）设∠DAB＝x，
∵∠C＝∠3∠DAB，
∴∠C＝3x，
∵∠CAE＝∠B，∠B＝50°，
∴∠CAE＝50°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠EAB＝2∠DAB＝2x，
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝50°+2x，
∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，
∴50°+2x+50°+3x＝180°，
∴x＝16°，
∴∠C＝3×16°＝48°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22. 在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【解析】
【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．
（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．
【详解】解：（1）设乙队单独完成需x天．
根据题意，得：．
解这个方程得：x=90．
经检验，x=90是原方程的解．
∴乙队单独完成需90天．
（2）设甲、乙合作完成需y天，则有，
解得，y=36；
①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23. 如图， 为等边三角形，，、相交于点P、于点Q、，．
（1）求证：；
（2）求的度数和的长．
【答案】（1）见详解 （2），
【解析】
【分析】（1）根据证明，则可得；
（2）由可得，由此可得，，根据“直角三角中角所对边等于斜边一半”可得，则，由“全等三角形对应边相等”可得．
本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及“直角三角形中角所对边的斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
∵为等边三角形，
，．
又，
∴
．
【小问2详解】
，
，
，
．
又，
，
，
，
．
，
．
六、解答题（四）（共2小题，每小题10分，共20分）
24. 某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题：
（1）填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ．
（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由．
【答案】（1），
（2）户型二的单价较低，理由见详解
【解析】
【分析】（1）户型一是边长为的正方形，根据完全平方公式计算即可．分别计算户型一入户花园面积与户型二入户花园面积，作差即可．
（2）先根据总价÷总面积＝单价，计算两种户型的单价，再利用作差法，即可作出判断．
【小问1详解】
户型一的面积为： ，
，
故答案为：，．
【小问2详解】
户型一的单价为：万元，
户型二的单价为：万元，
，
，
，，
，
∴户型二的单价较低．
【点睛】本题考查了比较代数式大小及分式加减法的应用等知识，掌握整式混合运算与分式加减法的运算法则，并利用作差法比较大小是解题的关键．
25. 直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
①CM= ，当N在F→C路径上时，CN= ．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①CM=，CN=；②t=3.5或5或6.5．
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①由折叠的性质可得出答案；
②动点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【详解】（1）∵AD⊥直线，BE⊥直线，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8-t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t；
故答案为：8-t；6-3t；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，8-t=6-3t，
解得，t=-1（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，CN=3t-6，
则8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t，
解得，t=5，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8-t=3t-18，
解得，t=6.5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．