2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】- （新高考专用）

这是一份2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】- （新高考专用），文件包含专题41同角三角函数关系式诱导公式与三角恒等变换八大题型举一反三新高考专用原卷版docx、专题41同角三角函数关系式诱导公式与三角恒等变换八大题型举一反三新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】
【新高考专用】
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\l "_Tc3988" 【题型1 正、余弦齐次式的计算】 PAGEREF _Tc3988 \h 2
\l "_Tc3842" 【题型2 “和”“积”转换】 PAGEREF _Tc3842 \h 3
\l "_Tc16394" 【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】 PAGEREF _Tc16394 \h 5
\l "_Tc27692" 【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】 PAGEREF _Tc27692 \h 6
\l "_Tc644" 【题型5 三角恒等变换的化简问题】 PAGEREF _Tc644 \h 7
\l "_Tc9714" 【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】 PAGEREF _Tc9714 \h 9
\l "_Tc9271" 【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】 PAGEREF _Tc9271 \h 11
\l "_Tc23535" 【题型8 三角恒等变换的综合应用】 PAGEREF _Tc23535 \h 14
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等.
【知识点1 同角三角函数关系式的常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
2.同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【知识点2 诱导公式及其应用】
1.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1.给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4.三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【题型1 正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1−2sinαcsαcs2α−sin2α=13，则tanα=（ ）
A．13B．12C．13或1D．12或1
【解题思路】利用弦化切可得出关于tanα的等式，即可求得tanα的值.
【解题思路】因为1−2sinαcsαcs2α−sin2α=cs2α+sin2α−2sinαcsαcs2α−sin2α=csα−sinα2csα+sinαcsα−sinα
=csα−sinαcsα+sinα=1−tanα1+tanα=13，解得tanα=12.
故选：B.
【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知α∈0,π，且sinα−3csα=2，则tanα=（ ）
A．−3B．−33C．33D．3
【解题思路】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.
【解题思路】由题设(sinα−3csα)2=sin2α−23sinαcsα+3cs2α=4，
所以sin2α−23sinαcsα+3cs2αsin2α+cs2α=tan2α−23tanα+3tan2α+1=4，且α∈0,π，
故tan2α−23tanα+3=4tan2α+4，即3tan2α+23tanα+1=(3tanα+1)2=0，
所以tanα= −33.
故选：B.
【变式1-2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知tanθ=2，则csθ−2sinθcsθ+sinθ=（ ）
A．0B．−53C．-1D．13
【解题思路】分子分母同时除以csθ进行弦切互化即可求解.
【解题思路】由题知，tanθ=2，
则csθ−2sinθcsθ+sinθ=csθcsθ−2sinθcsθcsθcsθ+sinθcsθ=1−2tanθ1+tanθ
=1−2×21+2=−33=−1.
故选：C.
【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P−2,5，则sin2αcs2α+1=（ ）
A．−752B．−4513C．−1354D．−257
【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
【解题思路】由题意知tanα=−52，
则原式=2sinαcsα2cs2α+sin2α=2tanα2+tan2α=−52+54=−4513.
故选：B.
【题型2 “和”“积”转换】
【例2】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sinα−csα=13，则sinαcsα=（ ）
A．−89B．23C．49D．179
【解题思路】把sinα−csα=13左右两边进行平方，再根据同角三角函数基本关系即可得到答案.
【解题思路】∵sinα−csα=13，∴(sinα−csα)2=19,1−2sinαcsα=19，∴sinαcsα=49.
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sinαcsα=−16, π4<α<3π4，则sinα-csα的值等于（ ）
A．233B．−233C．−63D．43
【解题思路】结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.
【解题思路】由于sinαcsα=−16, π4<α<3π4，所以sinα>0,csα<0，故sinα−csα>0，
所以sinα−csα=sinα−csα2=1−2sinαcsα=1+13=233.
故选：A.
【变式2-2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知sinα−csα=15,α∈−π2,π2，则sinαcsαsinα+csα=（ ）
A．−125B．125C．−1235D．1235
【解题思路】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【解题思路】由题意可得：sinα−csα2=1−2sinαcsα=125，整理得sinαcsα=1225>0，
且α∈−π2,π2，可得α∈0,π2，
即sinα>0,csα>0，可得sinα+csα>0，
因为sinα+csα2=1+2sinαcsα=4925，可得sinα+csα=75，
所以sinαcsαsinα+csα=122575=1235.
故选：D.
【变式2-3】（2023·上海宝山·统考一模）设sinα+csα=x，且sin3α+cs3α=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3=（ ）
A．－1B．12C．1D．2
【解题思路】根据题意，求出sinαcsα=x2−12，则可以得到，
sin3α+cs3α=3x2−x32=a3x3+a2x2+a1x+a0，进而可得a0+a1+a2+a3的值.
【解题思路】sinα+csα=x，故(sinα+csα)2=x2，
得1+2sinαcsα=x2，得到sinαcsα=x2−12，
sin3α+cs3α=(sinα+csα)(sin2α−sinαcsα+cs2α)
=x(3−x2)2=3x2−x32，
所以，3x2−x32=a3x3+a2x2+a1x+a0，
得a0=0，a1=32，a2=0，a3=−12，
则a0+a1+a2+a3=1
故选：C.
【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】
【例3】（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知α∈π2,π，若csπ6−α=−24，则csα+5π6的值为（ ）
A．24B．−24C．−144D．144
【解题思路】根据诱导公式，结合题设，即可求得答案.
【解题思路】由题意得csα+5π6=cs[π−(π6−α)]=−csπ6−α=24，
故选：A.
【变式3-1】（2023上·全国·高一期末）已知sinπ6+α=13，且α∈π3,π，则csπ3−α的值为（ ）
A．−223B．−13C．223D．13
【解题思路】以π6+α为整体，结合诱导公式运算求解.
【解题思路】由题意可得：csπ3−α=csπ2−π6+α=sinπ6+α=13.
故选：D.
【变式3-2】（2023上·高一课时练习）已知 sin(π−α)=13，则sin(α−2021π)的值为（ ）
A．223B．−223
C．13D．−13
【解题思路】根据题意得到sinα=13，再结合诱导公式，准确运算，即可求解.
【解题思路】由sin(π−α)=sinα，可得sinα=13，
则sin(α−2021π)=sin[(α−π)−2020π]=sin(α−π)=−sinα=−13.
故选：D.
【变式3-3】（2023上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若cs(π6+α)=13 ，则cs(5π6−α)−sin(5π3+α)=（ ）
A．0B．23C．1+223D．1−223
【解题思路】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.
【解题思路】依题，令π6+α=t，则sint=13,5π6−α=π−π6+α=π−t，
5π3+α=3π2+π6+α=3π2+t，
所以cs(5π6−α)−sin(5π3+α)
=cs(π−t)−sin(3π2+t)
=−cst+cst=0.
故选：A.
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】
【例4】（2023上·天津·高一校考阶段练习）若tan(7π+α)=a，则sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α的值为（ ）
A．a−1a+1B．a+1a−1C．-1D．1
【解题思路】由诱导公式以及商数公式进行化简运算即可.
【解题思路】由题意得tan(7π+α)=tanα=a，sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α=−sinα−csα−sinα+csα=tanα+1tanα−1=a+1a−1.
故选：B.
【变式4-1】（2023上·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知cs−x+sinπ−x=35，则sinx⋅sinπ2+x=（ ）
A．1625B．−1625C．825D．−825
【解题思路】由诱导公式有sinx⋅sinπ2+x=sinxcsx，已知cs−x+sinπ−x=35，由诱导公式有csx+sinx=35，两边同时平方即可求值.
【解题思路】由cs−x+sinπ−x=35得：csx+sinx=35，
两边平方得：1+2sinxcsx=925，解得：sinxcsx=−825，
∴sinx⋅sinπ2+x=sinxcsx=−825.
故选：D.
【变式4-2】（2023上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）已知sinα+csα=−12，则csπ2+α1−tan−α的值为（ ）
A．−34B．34C．−316D．316
【解题思路】对sinα+csα=−12平方，得到sinαcsα的值，然后对csπ2+α1−tan−α化简求值即可.
【解题思路】因为sinα+csα=−12，所以sinα+csα2=1+2sinαcsα=14，
所以sinαcsα=−38，
所以csπ2+α1−tan−α=−sinα1+tanα=−sinα1+sinαcsα=−sinαcsα+sinαcsα=−sinαcsαcsα+sinα=38−12=−34，
故选：A.
【变式4-3】（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知3cs3π2+θsinπ−θ=2，且θ为第二象限角，则csπ+θsinπ2−θ+sinθ−π=（ ）
A．−1−2B．1+2C．2−1D．1−2
【解题思路】先用诱导公式，将已知和要求的因式都转化成单角形式，即只含有sinθ,csθ,tanθ的形式，再用同角三角函数基本关系式转化即可.
【解题思路】因为3cs3π2+θsinπ−θ=3sin2θ=2，所以sin2θ=23，
且tan2θ=sin2θ1−sin2θ=2.
因为θ为第二象限角，所以tanθ=−2.
则csπ+θsinπ2−θ+sinθ−π=−csθcsθ−sinθ=−11−tanθ=1−2，
故选：D.
【题型5 三角恒等变换的化简问题】
【例5】（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知csx+sinx=23，则sin2xcsx−π4＝（ ）
A．−716B．−726C．−76D．−73
【解题思路】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.
【解题思路】sin2xcsx−π4=2sinxcsx22csx+22sinx=sinx+csx2−122×23=3232−1=−73.
故选：D.
【变式5-1】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）设0<θ<π2，若sinθ+csθ2+3cs2θ=3，则sin2θ=（ ）
A．32B．12C．22D．34
【解题思路】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出sin(2θ+π3)=1，结合角的范围求得θ，即可求得答案.
【解题思路】由题意sinθ+csθ2+3cs2θ=3，
则1+2sinθcsθ+3cs2θ=3，即sin2θ+3cs2θ=2，
故2sin(2θ+π3)=2，即sin(2θ+π3)=1，
由于0<θ<π2，所以2θ+π3∈(π3,4π3)，
则2θ+π3=π2，即θ=π12，
故sin2θ=sinπ6=12，
故选：B.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）化简：sin2α−2cs2αsinα−π4=（ ）
A．2csαB．22csαC．2sinαD．22sinα
【解题思路】利用二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式可化简所求代数式.
【解题思路】原式=2sinαcsα−2cs2α22sinα−csα=2csαsinα−csα22sinα−csα=22csα.
故选：B.
【变式5-3】（2023下·浙江嘉兴·高二统考期末）已知α,β∈0,π且满足sinα+sinβ=3csα+csβ，则（ ）
A．tanα+β=3B．tanα+β=−3
C．csα+β=32D．csα+β=−32
【解题思路】运用配凑角α=α+β2+α−β2，β=α+β2−α−β2代入已知等式中可得tanα+β2，再结合角的范围可求得α+β的值，进而可求得tan(α+β)、cs(α+β)的值.
【解题思路】因为sinα+sinβ=sin(α+β2+α−β2)+sin(α+β2−α−β2)=2sinα+β2csα−β2，
csα+csβ=cs(α+β2+α−β2)+cs(α+β2−α−β2)=2csα+β2csα−β2，
sinα+sinβ=3(csα+csβ)，
所以2sinα+β2csα−β2=3×2csα+β2csα−β2，
又因为α，β∈(0,π)，
所以−π2<α−β2<π2，0<α+β2<π，
所以csα−β2>0，
所以sinα+β2=3csα+β2，
所以tanα+β2=3，
又因为0<α+β2<π，
所以α+β2=π3，
所以α+β=2π3
所以tan(α+β)=tan2π3=−3.
所以cs(α+β)=cs2π3=−12，
故选：B.
【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】
【例6】（2023上·天津武清·高三校考阶段练习）已知α、β∈0,π4，且sinα=13，cs(2α+β)=13，则csβ的值为（ ）
A．2327B．13C．2527D．1927
【解题思路】由α、β∈0,π4，可计算出sin2α、cs2α、sin(2α+β)的值，利用csβ=cs2α+β−2α计算即可得.
【解题思路】由sinα=13，α∈0,π4，则csα=1−sin2α=223，
则sin2α=2sinαcsα=429，cs2α=1−2sin2α=79，
由cs(2α+β)=13，则sin(2α+β)=±1−132=±229，
又α、β∈0,π4，则0<2α+β<π，
故sin(2α+β)=229，
csβ=cs2α+β−2α=cs2α+βcs2α+sin2α+βsin2α
=13×79+229×429=2327.
故选：A.
【变式6-1】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知tanα+π6=12，tanπ12+β=13，则tan(α−2β)=（ ）
A．−913B．−211C．1011D．25
【解题思路】利用二倍角正切公式求得tanπ6+2β，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求得答案.
【解题思路】由tanπ12+β=13得，tanπ6+2β=2tanπ12+β1−tan2π12+β=2×131−(13)2=34，
而tanα+π6=12，
故tan(α−2β)=tan(α+π6)−(2β+π6)=tan(α+π6)−tan(2β+π6)1+tan(α+π6)⋅tan(2β+π6)
=12−341+12×34=−211，
故选：B.
【变式6-2】（2023下·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知α∈3π4,3π2,β∈π,3π2,csα−π4=−35,sinβ−π4=513，则sin(α+β)的值为（ ）
A．1665B．−1665C．5665D．−5665
【解题思路】先利用诱导公式得sin(α+β)=cs(α+β−π2)，再令cs(α+β−π2)=cs[(α−π4)+(β−π4)]，展开即可求解．
【解题思路】sin(α+β)=cs(α+β−π2)=cs[(α−π4)+(β−π4)]=cs(α−π4)cs(β−π4)−sin(α−π4)sin(β−π4)，
因为α∈3π4,3π2，所以α−π4∈π2,5π4，则α−π4在第二或第三象限，
因为cs(α−π4)=−35，当α−π4在第三象限时，由于cs5π4=−22，
又y=csx在x∈π,3π2上递增，且−35>−22，
所以当α−π4在第三象限时，α−π4>5π4，与α−π2∈π4,5π4矛盾，
所以α−π4在第二象限，
因为cs(α−π4)=−35，所以sin(α−π4)=45．
因为β∈π,3π2，所以β−π4∈3π4,5π4，则cs(β−π4)<0．
因为sin(β−π4)=513，所以cs(β−π4)=−1213．
所以cs(α−π4)cs(β−π4)−sin(α−π4)sin(β−π4)=−35×(−1213)−45×513=1665，
即sin(α+β)=1665．
故选：A．
【变式6-3】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知π2<α<3π2，−π2<β<0，且sinα+sinβ=3(csα+csβ)，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．cs(α−β)=−1B．sin(α−β)=0
C．cs(α+β)=−12D．sin(α+β)=−32
【解题思路】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可.
【解题思路】∵sinα+sinβ=3(csα+csβ)，∴sinα−3csα+sinβ−3csβ=0,
∴2sinα−π3+2sinβ−π3=0,∴2sinα−π3=−2sinβ−π3=2sinπ3−β,
且π2<α<3π2，−π2<β<0，则π6<α−π3<7π6,−5π6<β−π3<−π3，∴π3<π3−β<5π6,
当α−π3=π3−β，α+β=2π3时,csα+β=−12，sinα+β=32,C选项正确，D选项不正确;
当α−π3+π3−β=π，α−β=π时,cs(α−β)=−1,
sinα−β=0,sinα+β=sinπ+2β=−sin2β,−π<2β<0,sinα+β=−sin2β<0,,A,B选项正确，D选项不正确.
故选:D.
【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】
【例7】（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若sin2α=55，sinβ−α=1010，且α∈π4,π，β∈π,32π，则α+β=（ ）
A．7π4B．9π4C．4π3D．5π3
【解题思路】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有∴csα+β=cs2α+β−α，根据三角函数值确定α+β的值.
【解题思路】∵sin2α=2sinαcsα>0，∴sinα,csα符号相同，
又α∈π4,π，∴α∈π4,π2，2α∈π2,π，
由sin2α=55可得cs2α=−255，
又β∈π,3π2，β−α∈π2,5π4，sinβ−α=1010>0，
所以β−α∈π2,π，∴csβ−α=−31010，
∴csα+β=cs2α+β−α=cs2αcsβ−α−sin2αsinβ−α
=255×31010−55×1010=22，
由α∈π4,π2，β∈π,3π2，得α+β∈5π4,2π，∴α+β=7π4，
故选：A．
【变式7-1】（2023上·全国·高一专题练习）若α∈−π2,0，β∈0,π2，且tanα−β=−12，tanβ=17，则2α−β的值为（ ）
A．−3π4B．−π4C．π4D．3π4
【解题思路】求出2α−β的正切值及2α−β的取值范围，即可得出2α−β的值.
【解题思路】因为α∈−π2,0，β∈0,π2，则−π<α−β<0，
又因为tanα−β=−12>−1，则−π4<α−β<0，
由二倍角正切公式可得tan2α−β=2tanα−β1−tan2α−β=2×−121−−122=−43，
所以，tan2α−β=tan2α−β+β=tan2α−β+tanβ1−tan2α−βtanβ=−43+171−−43×17=−1，
因为−π4<α−β<0，0<β<π2，则−π2<2α−β+β<π2，即−π2<2α−β<π2，
因此，2α−β=−π4.
故选：B.
【变式7-2】（2023·全国·高三校联考期末）已知0<α<β<π2,cs2α+cs2β+1=2cs(α−β)+cs(α+β)，则（ ）
A．α+β=π6B．α+β=π3
C．β−α=π6D．β−α=π3
【解题思路】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据α，β的范围即可求出结果.
【解题思路】由已知可将2α=(α+β)+(α−β)，2β=(α+β)−(α−β)，
则cs[(α+β)+(α−β)]+cs[(α+β)−(α−β)]+1=2cs(α−β)+cs(α+β)，
2cs(α+β)cs(α−β)−2cs(α−β)−cs(α+β)+1=0，
[cs(α+β)−1][2cs(α−β)−1]=0，即cs(α+β)=1或cs(α−β)=12．
又0<α<β<π2，所以0<α+β<π,−π2<α−β<0，
所以cs(α+β)≠1，所以选项A，B错误，
即cs(α−β)=12，则α−β=−π3，所以β−α=π3．则C错，D对，
故选：D.
【变式7-3】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知tanβ=csα1−sinα，tanα+β=1+sinαcsα，若β∈0,π2，则β=（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.
【解题思路】因为tanα=tanα+β−β=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)⋅tanβ，
又因为tanβ=csα1−sinα，tanα+β=1+sinαcsα，
所以tanα=1+sinαcsα−csα1−sinα1+1+sinαcsα⋅csα1−sinα=(1+sinα)⋅(1−sinα)−csα⋅csαcsα(1−sinα)csα⋅(1−sinα)+csα⋅(1+sinα)csα(1−sinα)，
所以tanα=(1+sinα)⋅(1−sinα)−csα⋅csαcsα⋅(1−sinα)+csα⋅(1+sinα)=1−sin2α−cs2α2csα
因为sin2α+cs2α=1，所以tanα=0，
所以α=kπ,k∈Z，
所以当k为奇数时，csα=−1，sinα=0，
当k为偶数时，csα=1，sinα=0，
因为tanβ=csα1−sinα，所以tanβ=±1，
因为β∈0,π2，所以β=π4.
故选：C.
【题型8 三角恒等变换的综合应用】
【例8】（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数fx=cs4x−sin4x−23sinxcsxx∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)当x∈0,π2时，求fx的最大值与最小值的和.
【解题思路】（1）利用三角恒等变换整理得fx=2cs2x+π3，进而可得最小正周期；
（2）以2x+π3为整体，结合余弦函数的有界性求最值.
【解题思路】（1）由题意可得：fx=cs4x−sin4x−23sinxcsx
=cs2x−sin2xcs2x+sin2x−3sin2x
=cs2x−3sin2x=2cs2x+π3，
所以fx的最小正周期T=2π2=π.
（2）因为x∈0,π2，则2x+π3∈π3,4π3，
当2x+π3=π，即x=π3时，fx取到最小值−2；
当2x+π3=π3，即x=0时，fx取到最大值1；
所以fx的最大值与最小值的和为−1.
【变式8-1】（2023上·吉林·高一校联考期末）已知函数fx=2sin2x+23sin2π+xcsπ−x．
(1)求fx在0,π2上的最大值；
(2)若tanα=2，求fα的值；
(3)若fβ=−15,β∈π6,5π12，求cs2β的值．
【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值；
（2）利用齐次式化简求值；
（3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算.
【解题思路】（1）fx=2sin2x+23sin2π+xcsπ−x
=1−cs2x−23sinxcsx
=1−cs2x−3sin2x=1−2sin2x+π6，
∵x∈0,π2∴2x+π6∈π6,76π,sin2x+π6∈−12,1，
则1−2sin2x+π6∈−1,2，故fx在0,π2上的最大值为2；
（2）fα=2sin2α−23sinαcsα=2sinα−23sinαcsαsin2α+cs2α=2tan2α−23tanαtan2α+1=8−435；
（3）由（1）当fβ=−15,则1−2sin2β+π6=−15,sin2β+π6=35，
∵β∈π6,5π12,∴2β+π6∈π2,π,cs2β+π6=−45，
故cs2β=cs2β+π6−π6=32cs2β+π6+12sin2β+π6=−43+310.
【变式8-2】（2023上·浙江嘉兴·高一嘉兴一中校考阶段练习）已知函数f(x)=csxsin(x+π3)−3cs2x+34，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；
(2)求f(x)在闭区间−π4,π4上的最大值和最小值．
【解题思路】（1）利用两角和差的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；
（2）根据已知条件求出2x−π3的范围，结合三角函数的性质即可求解.
【解题思路】（1）函数f(x)=csxsin(x+π3)−3cs2x+34=12sinxcsx+32cs2x−3cs2x+34
=14sin2x−34cs2x=12sin(2x−π3)，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；
令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，
所以f(x)的减区间为[512π+kπ,1112π+kπ]，k∈Z．
（2）由（1）知，fx=12sin(2x−π3)，
∵x∈−π4,π4，
∴2x−π3∈−5π6,π6，
当2x−π3=π6，即x=π4时，函数f(x)取得最大值为12sinπ6=14，
当2x−π3=−π2，即x=−π12时，函数f(x)取得最小值为12sin−π2=−12．
【变式8-3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数fx=3sin2x−sin2023π+xsinx+π2−32．
(1)求函数fx的最小正周期和单调递增区间；
(2)若α∈3π4,π，且fα−π6=725，求sin2α−5π12的值．
【解题思路】（1）首先化简函数的解析式，再根据三角函数的的性质，代入公式，即可求解；
（2）由（1）的结果可得fα−π6=sin2α−2π3=725，再根据角的变换sin2α−5π12=sin2α−2π3+π4，利用两角和的正弦公式，即可求解.
【解题思路】（1）由题意知
fx=3sin2x−sin2023π+xsinx+π2−32 =3sin2x+sinxcsx−32
=3×1−cs2x2+12sin2x−32=12sin2x−3cs2x2=sin2x−π3．
故函数fx的最小正周期T=2π2=π．
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z．解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z．
所以fx的单调递增区间为−π12+kπ,5π12+kπ,k∈Z，
（2）因为fα−π6=sin2α−π6−π3=sin2α−2π3=725．
又α∈3π4,π．所以2α−2π3∈5π6,4π3，
所以cs2α−2π3=−1−sin22α−2π3=−2425，
所以
sin2α−5π12=sin2α−2π3+π4=sin2α−2π3csπ4+cs2α−2π3sinπ4=−17250．
1．（2022·浙江·统考高考真题）设x∈R，则“sinx=1”是“csx=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【解题思路】因为sin2x+cs2x=1可得：
当sinx=1时，csx=0，充分性成立；
当csx=0时，sinx=±1，必要性不成立；
所以当x∈R，sinx=1是csx=0的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知α为锐角，csα=1+54，则sinα2=（ ）．
A．3−58B．−1+58C．3−54D．−1+54
【解题思路】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【解题思路】因为csα=1−2sin2α2=1+54，而α为锐角，
解得：sinα2= 3−58=5−1216=5−14．
故选：D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设甲：sin2α+sin2β=1，乙：sinα+csβ=0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【解题思路】当sin2α+sin2β=1时，例如α=π2,β=0但sinα+csβ≠0，
即sin2α+sin2β=1推不出sinα+csβ=0；
当sinα+csβ=0时，sin2α+sin2β=(−csβ)2+sin2β=1，
即sinα+csβ=0能推出sin2α+sin2β=1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知sinα−β=13,csαsinβ=16，则cs2α+2β=（ ）．
A．79B．19C．−19D．−79
【解题思路】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【解题思路】因为sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=13，而csαsinβ=16，因此sinαcsβ=12，
则sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23，
所以cs(2α+2β)=cs2(α+β)=1−2sin2(α+β)=1−2×(23)2=19.
故选：B.
5．（2022·全国·统考高考真题）若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sinβ，则（ ）
A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1
【解题思路】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【解题思路】[方法一]：直接法
由已知得：sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ−sinαsinβ=2csα−sinαsinβ,
即：sinαcsβ−csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ=0，
即：sinα−β+csα−β=0
所以tanα−β=−1
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取α=π2，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β=π4，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
sin(α+β)+cs(α+β)=2sin（α+β+π4）=2sin[（α+π4）+β]=2sin（α+π4）csβ+2cs（α+π4）sinβ=22cs（α+π4）sinβ
所以2sin（α+π4）csβ=2cs（α+π4）sinβ
sin（α+π4）csβ−cs（α+π4）sinβ=0即sin（α+π4−β）=0
∴sin（α−β+π4）=sin（α−β）csπ4+cs（α−β）sinπ4=22sin（α−β）+22cs（α−β）=0 ∴sin（α−β）=−cs（α−β）即tan(α−β）=−1,
故选：C.
6．（2021·全国·统考高考真题）若tanθ=−2，则sinθ1+sin2θsinθ+csθ=（ ）
A．−65B．−25C．25D．65
【解题思路】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1=sin2θ+cs2θ)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tanθ=−2即可得到结果．
【解题思路】将式子进行齐次化处理得：
sinθ1+sin2θsinθ+csθ=sinθsin2θ+cs2θ+2sinθcsθsinθ+csθ=sinθsinθ+csθ
=sinθsinθ+csθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθ1+tan2θ=4−21+4=25．
故选：C．
7．（2023·全国·统考高考真题）若θ∈0,π2,tanθ=12，则sinθ−csθ= −55 ．
【解题思路】根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果.
【解题思路】因为θ∈0,π2，则sinθ>0,csθ>0，
又因为tanθ=sinθcsθ=12，则csθ=2sinθ，
且cs2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ=55或sinθ=−55（舍去），
所以sinθ−csθ=sinθ−2sinθ=−sinθ=−55.
故答案为：−55.
8．（2023·全国·统考高考真题）若fx=(x−1)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a= 2 ．
【解题思路】利用偶函数的性质得到f−π2=fπ2，从而求得a=2，再检验即可得解.
【解题思路】因为y=fx=x−12+ax+sinx+π2=x−12+ax+csx为偶函数，定义域为R，
所以f−π2=fπ2，即−π2−12−π2a+cs−π2=π2−12+π2a+csπ2，
则πa=π2+12−π2−12=2π，故a=2，
此时fx=x−12+2x+csx=x2+1+csx，
所以f−x=−x2+1+cs−x=x2+1+csx=fx，
又定义域为R，故fx为偶函数，
所以a=2.
故答案为：2.
9．（2022·浙江·统考高考真题）若3sinα−sinβ=10,α+β=π2，则sinα= 31010 ，cs2β= 45 ．
【解题思路】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．
【解题思路】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵α+β=π2，∴sinβ=csα，即3sinα−csα=10，
即1031010sinα−1010csα=10，令sinθ=1010，csθ=31010，
则10sinα−θ=10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，
∴sinα=sinθ+π2+2kπ=csθ=31010 ，
则cs2β=2cs2β−1=2sin2α−1=45.
故答案为：31010；45.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵α+β=π2，∴sinβ=csα，即3sinα−csα=10，
又sin2α+cs2α=1，将csα=3sinα−10代入得10sin2α−610sinα+9=0，解得sinα=31010，
则cs2β=2cs2β−1=2sin2α−1=45.
故答案为：31010；45.
10．（2023·北京·统考高考真题）设函数f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφω>0,|φ|<π2．
(1)若f(0)=−32，求φ的值．
(2)已知f(x)在区间−π3,2π3上单调递增，f2π3=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
条件①：fπ3=2；
条件②：f−π3=−1；
条件③：f(x)在区间−π2,−π3上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）把x=0代入f(x)的解析式求出sinφ，再由|φ|<π2即可求出φ的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f(x)的解析式化简，根据f(x)在−π3,2π3上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出ω的值；把ω的值代入f(x)的解析式，由f−π3=−1和|φ|<π2即可求出φ的值；若