2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题4.2 三角函数的图象与性质【八大题型】- （新高考专用）

这是一份2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题4.2 三角函数的图象与性质【八大题型】- （新高考专用），文件包含专题42三角函数的图象与性质八大题型举一反三新高考专用原卷版docx、专题42三角函数的图象与性质八大题型举一反三新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4.2 三角函数的图象与性质【八大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20684" 【题型1 三角函数的定义域、值域问题】 PAGEREF _Tc20684 \h 2
\l "_Tc923" 【题型2 三角函数的图象识别与应用】 PAGEREF _Tc923 \h 3
\l "_Tc14088" 【题型3 由部分图象求函数的解析式】 PAGEREF _Tc14088 \h 4
\l "_Tc20519" 【题型4 三角函数图象变换问题】 PAGEREF _Tc20519 \h 6
\l "_Tc26058" 【题型5 三角函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc26058 \h 7
\l "_Tc20558" 【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 PAGEREF _Tc20558 \h 7
\l "_Tc25387" 【题型7 三角函数的零点问题】 PAGEREF _Tc25387 \h 8
\l "_Tc30029" 【题型8 三角函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc30029 \h 9
1、三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.
【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1.三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcsx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcsx+b(sinx±csx)+c的三角函数，可先设t=sinx±csx，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1.三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acs(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3.三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题思路】
1.三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【知识点4 三角函数的图象变换问题】
1.三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【题型1 三角函数的定义域、值域问题】
【例1】（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数y=tanx的定义域为（ ）
A．RB．x|x≠kπ2,k∈Z
C．x|x≠π2+kπ,k∈ZD．x|x≠π2+kπ
【变式1-1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数fx=sin2x+π3在0,π2上的值域为（ ）
A．−32,1B．−32,32C．32,1D．0,1
【变式1-2】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,π2上的值域为−1,2，则ω的取值范围为（ ）
A．43,2B．43,83C．23,43D．23,83
【变式1-3】（2023·四川成都·四川省校考模拟预测）当x∈π6,m时，函数f(x)=cs3x+π3的值域是−1,−32，则m的取值范围是（ ）
A．π9,7π18B．2π9,7π18
C．π9,5π18D．2π9,5π18
【题型2 三角函数的图象识别与应用】
【例2】（2023·全国·模拟预测）函数fx=x3sinx2−x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图所示，函数y=csxtanx（0≤x<3π2且x≠π2）的图像是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023·四川南充·模拟预测）函数fx=xsinxex−1的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数y=fx部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（ ）
A．fx=xsin2xB．fx=xsinxC．fx=2xsinxD．fx=2xsin2x
【题型3 由部分图象求函数的解析式】
【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φ（其中ω>0，0<φ<π）的图象如图所示，且满足f0=fx0=−fx0+π3=1，则fx=（ ）

A．2sin2x+π3B．2sin2x−π3
C．2sin3x+π6D．2sin3x−π6
【变式3-1】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数fx=3sinωx+φω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，则（ ）

A．fx=3sin2x+5π8
B．fx图象的一条对称轴方程是x=−5π8
C．fx图象的对称中心是kπ−π8,0，k∈Z
D．函数y=fx+7π8是奇函数
【变式3-2】（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．点5π12,0是fx的对称中心
B．直线x=7π6是fx的对称轴
C．fx的图象向右平移7π12个单位得y=sin2x的图象
D．fx在区间π2,2π3上单调递减
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=3sinωx+φx∈R,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．fx=3sin13x−π12
B．f3π4=32
C．不等式fx≥32的解集为6kπ+π4,6kπ+9π4k∈Z
D．将fx的图象向右平移π12个单位长度后所得函数的图象在6π,8π上单调递增
【题型4 三角函数图象变换问题】
【例4】（2023·四川甘孜·统考一模）为了得到函数y=sin2x+cs2x的图象，可以将函数y=2cs2x的图象（ ）
A．向右平移π8个单位长B．向右平移π6个单位长
C．向左平移π8个单位长D．向左平移π6个单位长
【变式4-1】（2023·四川甘孜·统考一模）已知函数fx=Acs2x+φ(A>0,φ<π)是奇函数，且f3π4=−1，将fx的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为gx，则（ ）
A．gx=sin4xB．gx=sinx
C．gx=cs4x+π4D．gx=csx+π4
【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）函数fx=Asinωx+φ（其中A>0,ω>0,φ<π2）的图象如图所示，为了得到gx=cs2x的图象，则只需将f(x)的图象（ ）
A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度
【变式4-3】（2023·四川成都·统考二模）将最小正周期为π的函数fx=2sin2ωx−π6+1ω>0的图象向左平移π4个单位长度，得到函数gx的图象，则下列关于函数gx的说法正确的是（ ）
A．对称轴为x=−π6+kπ2，k∈ZB．在0,π2内单调递增
C．对称中心为−π6+kπ2,1，k∈ZD．在0,π2内最小值为−1
【题型5 三角函数的单调性问题】
【例5】（2023·青海·校联考模拟预测）下列区间中，函数fx=3sinx+π4单调递增的区间是（ ）
A．0,π2B．π4,5π4
C．5π4,9π4D．π,2π
【变式5-1】（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数fx=csωx+φ的部分图象如图所示，则fx的单调递减区间为（ ）

A．kπ−14,kπ+34，k∈ZB．2kπ−14,2kπ+34，k∈Z
C．k−14,k+34，k∈ZD．2k−14,2k+34，k∈Z
【变式5-2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数fx=cs2x+φ0≤φ<2π在−π6,π4上单调递增，则φ的取值范围为（ ）
A．π≤φ≤4π3B．π2≤φ≤4π3
C．4π3≤φ≤2πD．4π3≤φ≤3π2
【变式5-3】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数fx=2sinωx−π6(ω>0)在0,π3上存在最值，且在2π3,π上单调，则ω的取值范围是（ ）
A．0,23B．1,53C．52,83D．114,173
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例6】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)−π2<φ<π2在3π8,7π8内单调递减，x=3π8是函数f(x)的一条对称轴，且函数y=fx+π8为奇函数，则f7π24=（ ）
A．−32B．−1C．12D．32
【变式6-1】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数f(x)=tan2x+π3，则下列说法正确的是（ ）
A．fx为奇函数B．fx在区间π12,7π12上单调递增
C．fx图象的一个对称中心为π12,0D．fx的最小正周期为π
【变式6-2】（2023·河南新乡·统考三模）已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中心是Aπ8,0，点B0,22在f(x)的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．f(x)=cs2x+π4B．直线x=5π8是f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在7π8,11π8上单调递减D．fx+π8是奇函数
【变式6-3】（2023·山东·统考二模）已知函数fx=asin2x+bcs2xab≠0的图象关于直线x=π6对称，则下列说法正确的是（ ）
A．fx−π6是偶函数B．fx的最小正周期为2π
C．fx在区间−π3,π6上单调递增D．方程fx=2b在区间0,2π上有2个实根
【题型7 三角函数的零点问题】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+3csωx−2ω>0在0,π内恰有一个零点，其图象在0,π内恰有一条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．512,76B．512,54C．712,54D．712,76
【变式7-1】（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数f(x)=cs|x|−2|sinx|，以下结论正确的是（ ）
A．π是f(x)的一个周期B．函数在0,2π3单调递减
C．函数f(x)的值域为[−5,1]D．函数f(x)在[−2π,2π]内有6个零点
【变式7-2】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)（ω>0且−π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，fT4=−1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．17π6,23π6B．17π6,236πC．7π3,10π3D．7π3,10π3
【变式7-3】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φω>0的最小正周期T<π，f(π5)=1，且fx在x=π10处取得最大值．现有下列四个结论：①sinφ=22；②ω的最小值为152；③若函数fx在(π20,π4)上存在零点，则ω的最小值为352；④函数fx在(13π20,11π15)上一定存在零点．其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型8 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例8】（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数fx=4sinωx+π3ω>0在π6,π上单调递减.
(1)求ω的最大值；
(2)若fx的图象关于点3π2,0中心对称，且fx在−9π20,m上的值域为−2,4，求m的取值范围.
【变式8-1】（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数fx=sin2x−π3.
(1)求函数fx的单调递增区间和最小正周期；
(2)当x∈−π2,π2时，求不等式fx≥12的解集.
(3)求fx在区间π12,7π12上的最大值和最小值.
【变式8-2】（2023上·广东江门·高一校考期末）已知函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）图象的相邻两条对称轴的距离是π2，当x=π6时取得最大值2.
(1)求函数fx的解析式；
(2)求函数fx在区间0,π2的最大值和最小值；
(3)若函数gx=fx−65的零点为x0，求csπ3−2x0.
【变式8-3】（2023·江苏常州·江苏校考模拟预测）已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)+1．
(1)若fx1≤fx≤fx2，x1−x2min=π2，求f(x)的对称中心；
(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，x=π3是gx的一个零点，若函数gx在[m,n]（m,n∈R且m(3)已知函数ℎ(x)=acs(2x−π6)−2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得ℎ(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
1．（2023·天津·统考高考真题）函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（ ）

A．5ex−e−xx2+2B．5sinxx2+1
C．5ex+e−xx2+2D．5csxx2+1
2．（2023·天津·统考高考真题）已知函数fx的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则fx的解析式可能为（ ）
A．sinπ2xB．csπ2x
C．sinπ4xD．csπ4x
3．（2023·全国·统考高考真题）函数y=fx的图象由函数y=cs2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则y=fx的图象与直线y=12x−12的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ),ω>0在区间π6,2π3单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y=fx的图像的两条相邻对称轴，则f−5π12=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
A．y=−x3+3xx2+1B．y=x3−xx2+1C．y=2xcsxx2+1D．y=2sinxx2+1
6．（2022·全国·统考高考真题）设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．53,136B．53,196C．136,83D．136,196
7．（2022·全国·统考高考真题）函数y=3x−3−xcsx在区间−π2,π2的图象大致为（ ）