2024年广东省深圳市中考数学适应性试卷

这是一份2024年广东省深圳市中考数学适应性试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．﹣5B．﹣7C．5D．7
3．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．30C．D．
4．（3分）用配方法解方程x2+2x＝3时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝7B．（x+2）2＝5C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝2
5．（3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46B．0.50C．0.55D．0.61
6．（3分）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（ ）
A．20cmB．25cmC．30cmD．
7．（3分）击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点C处接住，将球所经过的路径视为直线，此时∠AOB＝∠COD．若点A距地面的高度AB为1.5m，点C距地面的高度CD为1m，传球选手与接球选手之间的距离BD为5m，则OB的长度为（ ）
A． mB．2mC．2.5mD．3m
8．（3分）据报道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由6.49万元增长至7.27万元，设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．6.49（1+x）2＝7.27B．6.49（1+2x）＝7.27
C．6.49（1+x2）＝7.27D．7.27（1﹣x）2＝6.49
9．（3分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（ ）
A．15cmB．14.4cmC．13.5cmD．9cm
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E．已知AE＝4，EC＝6，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知5a＝2b，则a：b＝ ．
12．（3分）为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根6m高的灯柱的影长为3m，在同一时刻，他们测得树的影长为2m，则该树的高度为 m．
13．（3分）深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝ ．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
17．（7分）深圳蕴藏丰富的旅游文化资源．为促进深港两地学生交流，某校开展“美丽深圳，深港同行”主题活动，景点有三个：A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点．
（1）参加此次交流活动的小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率．
18．（8分）已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y．
（1）y与x之间的函数表达式为 ；
（2）在图中画出该函数的图象；
列表：
上面表格中m的值是 ；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
（3）若点A（a，b）与点B（a+1，c）是该函数图象上的两点，试比较b和c的大小．
19．（8分）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
20．（8分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得OE＝OF，并说明理由；
（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长．
21．（9分）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝ m；
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；
③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6）
22．（10分）已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC＝90°．
【初步探究】
（1）如图1，延长CE交AD于点P．求证：△BEC∽△CDP；
【深入探究】
（2）如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接DE并延长交BC于点F，DF把∠BEC分成两个角，当这两个角的度数之比为1：2时，请直接写出的值．
2024年广东省深圳市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．【分析】根据主视图是从物体正面看所看到的图形解答即可．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故选：B．
【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答的前提．
2．【分析】先根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．
3．【分析】先根据菱形的性质证明AB＝BC＝CD＝AD，在根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，从而求出菱形周长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长为：
AB+BC+CD+AD
＝6+6+6+6
＝24，
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质．
4．【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2+2x＝3，
两边同时加1，得：x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
5．【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．
6．【分析】由平行线分线段成比例可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，
∵BE∥AD，
∴，
∵AC＝50cm，
∴BC＝30cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．
7．【分析】先根据两角分别相等的两个三角形相似证得△ABO∽△CDO，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OB的长．
【解答】解：由题意得∠ABO＝∠CDO，∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
设OB＝x m，
则OD＝（5﹣x） m，
∴，
∴x＝3，即OB＝3m，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
8．【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，
6.49（1+x）2＝7.27，
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【分析】先证△CAE∽△COF得出，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出CD的长．
【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴CD＝13.5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，即可求出CO的长，再证△CDE∽△COD即可得出CD的长，于是得出AB的长，再证△AFE∽△CDE，即可求出AF的长，从而求出BF的长，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，
∴∠AFD＝∠CDF，
∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∴∠CDE＝∠COD＝90°，
又∵∠DCE＝∠OCD，
∴△CDE∽△COD，
∴，
即CD2＝CO•CE，
∵AE＝4，EC＝6，
∴AC＝AE+CE＝4+6＝10，
∴AO＝CO＝5，
∴OE＝AO﹣AE＝5﹣4＝1，
∴CD2＝5×6＝30，
即，
∴，
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】依据比例的性质进行变形即可．
【解答】解：∵5a＝2b，
∴a：b＝2：5．
故答案为：2：5．
【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．【分析】先设该树的高度为x m，根据同一地点，同一时刻物高与影长成正比例得x：2＝6：3，由此解出x即可．
【解答】解：设该树的高度为x m，
依题意得：x：2＝6：3，
解得：x＝4．
答：该树的高度为4m．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平行投影，理解根据同一地点，同一时刻物高与影长成正比例是解决问题的关键．
13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：“香港回归”和“改革开放”发生于新中国成立以后．
将“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”分别记为A，B，C，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果有：（B，C），（C，B），共2种，
∴八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．【分析】延长CA交x轴于点D，设OD＝a，则a≠0，依题意得CD⊥OB，根据AO＝AB＝2，得OD＝BD＝2a，再由翻折的性质得OC＝OB＝2a，AC＝AB＝2，进而由勾股定理得CD＝，则点C，由此得k＝，在Rt△OAD中，AD＝，OD＝a，OA＝2，由勾股定理得，由此解出a的值，进而可得k的值．
【解答】解：延长CA交x轴于点D，如图所示：

设OD＝a，则a≠0，
∵CA∥y轴，
∴CD⊥OB，
∴AO＝AB＝2，
∴OB＝OD+BD＝2a，
由翻折的性质得：OC＝OB＝2a，AC＝AB＝2，
在Rt△OCD中，OD＝a，OC＝2a，
由勾股定理得：CD＝＝，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数y＝k/x的图象上，
∴k＝＝√3a2，
∴AD＝CD﹣AC＝，
在Rt△OAD中，AD＝，OD＝a，OA＝2，
由勾股定理得：AD2+OD2＝OA2，
∴，
解得：a＝，或a＝0（不合题意，舍去），
∴k＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，等腰三角形的性质，图形的翻折变换及其性质，勾股定理等，熟练掌握反比例函数的图象，等腰三角形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
15．【分析】AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，可得△ABC为等边三角形．作BM⊥AC于点M，可得M为AC的中点，可求得BM的长，连接DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM为AC的一半．作DN⊥BM于点N，则BD 为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得MN的长，利用勾股定理可得DN的长，进而根据勾股定理可得BD的长．
【解答】解：过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BM于点N，连接DM．
∴∠BMC＝∠BND＝90°，
∴CM∥DN．
∵BE＝3DE，
∴BM＝3MN．
∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝6．
∵BM⊥AC，
∴CM＝AC＝3．
∴BM＝＝＝＝3．
∴MN＝．
∴BN＝4．
∵∠ADC＝90°，
∴DM＝AC＝3．
∴DN＝＝．
∴BD＝＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．若图中有等边三角形，常用辅助线作法是做出一边上的高．把所求线段放在一个直角三角形中当斜边也是常用辅助线作法．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0或x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
17．【分析】（1）在A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪三个选项中，小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率为，于是得到问题的答案；
（2）根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果，而小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的结果有1种，则小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率为．
【解答】解：（1）∵有A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪三个选项，
∴小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率为，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的结果有1种，
∴P（小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”）＝，
∴小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率为．
【点评】此题重点考查随机事件的概率及有关知识的应用，正确地画出树状图列举出所有可能出现的结果是解题的关键．
18．【分析】（1）利用矩形的面积公式可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）将x＝3代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描点，再用光滑的曲线顺次连接即可画出图象；
（3）根据反比例函数的单调性即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得：xy＝6，
所以y＝，
则y与x之间的函数表达式为y＝．
故答案为：y＝．
（2）
（3）由图象可知，在第一象限内y随着x的增大而减小，
∵a+1＞a，
∴b＞c．
【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，图象的画法以及性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点并能灵活运用．
19．【分析】（1）由题意即可求出结论；
（2）根据公式“每件的销售利润×每天的销售数量＝销售利润”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可知，每天的销售量为（100+10x）本．
故答案为：（100+10x）．
（2）由题意可得，
（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，
整理得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵要求每本售价不低于55元，
∴x＝4符合题意．
故每本画册应降价4元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．【分析】（1）利用三角形全等可以说明；
（2）根据勾股定理先求出AC的长度，再根据三角形全等得出AO＝CO＝5，然后根据三角函数得出关于EO的方程，最后即可求得EF．
【解答】解：（1）AO＝CO；
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
又∵AO＝CO，
∴△AOF≌COE（ASA），
∴OE＝OF．
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
又∵EO＝FO，
∴△AOF≌COE（AAS），
∴AO＝CO＝5，
在Rt△COE中，tan∠OCE＝＝，
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，
∴，
∴，
∴EF＝．
【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角函数，解决本题的关键的是灵活运用这些知识点．
21．【分析】（1）延长内侧交外侧于点B′，则BB′⊥AB′，由勾股定理可求得AB的长；
（2）由图形可知△ACD是等腰直角三角形，进而可得结论；
（3）如图3，设AB与MN相交于点G，根据题意得∠ANM＝∠NAG＝45°，易证△AGM≌△AGN，所以GM＝GN，则MN＝2AG＝8﹣4，求出MN的估算值即可得出结论；
（4）过点A作AA′⊥x轴于点A′，由勾股定理可得OA′＝AA′＝，可得A（，），进而可得反比例函数的解析式为y＝；设直线AB与MN的交点为P，则BP＝2，过点P作PP′⊥x轴于点P′，可得PP′＝OP′＝4，由此可得点P的坐标，进而可求得直线MN的解析式，联立直线MN和反比例函数的解析式，可得M，N的坐标，进而可求出MN的长度，即可得出b的最大整数值．
【解答】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点B′，则BB′⊥AB′，
∴AB′＝BB′＝4，
∴AB＝＝4，
故答案为：4；
（2）由图形可知△ACD是等腰直角三角形，则∠ADC＝45°，
故答案为：45°；
（3）解法一、如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°，
∴∠AGN＝∠AGM＝90°，
又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°，
∴△AGM≌△AGN（ASA），
∴GM＝GN，
∴MN＝2AG，
又∵AB＝4，NP＝BG＝2，
∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝8﹣4
∵≈1.4，
∴8﹣4＝7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H，
根据题意得：
∵NPQM为矩形，
∴PQ∥MN，
∴∠IHA＝∠MNA＝45°，
又∵∠MAN＝90°，
∴IH＝2AB＝8，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2，
∴PQ＝HI﹣IQ﹣PH＝8﹣4，
∵≈1.4，
∴8﹣4＝7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7m．
（4）如图4，过点A作AA′⊥x轴于点A′，
由勾股定理可得OA′＝AA′＝，
∴A（，），
∴反比例函数的解析式为y＝；
设直线AB与MN的交点为P，则BP＝2，
过点P作PP′⊥x轴于点P′，则OP＝OA+AB＝BP＝4，
∴PP′＝OP′＝4，
∴P（4，4），
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+8；
令＝﹣x+8，
解得x＝4±，
∴M（4﹣，4+），N（4+，4﹣，
∴MN＝＝，
∵10＜＜11，
∴b＝MN的最大整数值为10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法等内容，类比得出MN的长是解题关键．
22．【分析】（1）可得出∠CPD＝∠BCE，∠BEC＝∠D，从而得出结论；
（2）作EG⊥BC于G，可证得△FGE∽△FCD，从而，不妨设EF＝BF＝CF＝1，则CD＝BC＝2，DF＝，进而得出EG，FG，可证得△BGE∽△EGC，
从而得出；
（3）当∠BEF：∠CEF＝1：2时，以BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴建立坐标系，设BC＝CD＝6，E（x，y），
以BC的中点W为圆心，BC为直径作圆W，可得出（x+3）2+y2＝32①，（x﹣）2+（y﹣3）2＝（2）2②，求得x的值，进一步得出结果；当∠BEF：∠CEF＝2：1时，同样方法得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠CPD＝∠BCE，
∵∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠D，
∴△BEC∽△CDP；
（2）解：如图1，
作EG⊥BC于G，
∴∠BGE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，CD＝BC，
∴△FGE∽△FCD，
∴，
∵∠BEC＝90°，点F是BC的中点，
∴EF＝BF＝CF＝BC，
不妨设EF＝BF＝CF＝1，则CD＝BC＝2，DF＝，
∴，
∴EG＝，FG＝，
∴CG＝CF﹣FG＝1﹣＝，
∵∠EGB＝∠EGC＝90°，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠CEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEG＝∠ECG，
∴△BGE∽△EGC，
＝；
（3）解：（方法一）如图2，
当∠BEF：∠CEF＝1：2时，即∠CEF＝60°，
∴∠DEC＝120°，
以BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴建立坐标系，设BC＝CD＝6，E（x，y），
以BC的中点W为圆心，BC为直径作圆W，
∵∠BEC＝90°，
∴点E在⊙W上，则W（﹣3，0），B（﹣6，0），
∴（x+3）2+y2＝32①，
作等边三角形CDG，作△CDG的外接圆V，则点E⊙V上，
则V（，3），CV＝2，
∴（x﹣）2+（y﹣3）2＝（2）2②，
由①②得，
x＝﹣，x+y＝﹣6x，
∴，
如图3，
当∠BEF：∠CEF＝2：1时，即∠BEF＝60°，∠CEF＝30°，则∠DEC＝150°，
同上作⊙W，作等边三角形CDV，设BC＝CD＝2，则W（﹣1.0），B（﹣2，0），V（，1），
以V为圆心，2为半径作⊙V，则点E在⊙V上，
同理上可得：，
∴x2+y2＝﹣2x，x＝﹣，
∴＝，
综上所述：＝或．
（方法二）如图4，
当∠BEF：∠CEF＝1：2时，即∠BEF＝30°，
设BC＝CD＝a，
分别延长CE，BE，分别交AD于G，交CD于H，
∵∠ADC+∠HE180°，
∴G、D、H、E共圆，
∴∠DGH＝∠DEH＝∠BEF＝30°，
∴DG＝DH，
∵BG⊥BH，
∴△BCH≌△CDG，
∴CH＝DG，
∴CH＝（a﹣CH），
∴CH＝，
∴tan∠CBH＝＝，
当∠BEF：∠CEF＝2：1时，即∠BEF＝60°，
同理可得：∠DGH＝∠DEH＝∠ABE＝60°，
∴DH＝DG，
∴a﹣CH＝CH，
∴CH＝，
∴，
综上所述：＝或．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力．
试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形线”内部的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
3
m
1.5
1
…
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）