广东省南粤名校2023-2024学年高三下学期2月联考数学试题

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数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
3．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
5．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．4C．D．12
5．在中，点在边上，且．点满足．若，，则（ ）
A．B．C．12D．11
6．已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知抛物线的焦点为，准线为，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．13．C．D．
8．已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B，C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．是递增数列D．
12．已知函数，若函数恰有5个零点，，，，，且，，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个满足“图象关于点对称”的函数______．
14．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，设抛物线上的动点到直线和的距离分别为，，则的最小值为______．
15．已知函数的图象关于原点对称，其中，，且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围为______．
16．已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）若，证明：；
（2）若，求周长的最大值．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，，底面为菱形，，，点为的中点，点在上，直线平面．
（1）确定点的位置，并证明；
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面所成角的余弦值．
20．（本题满分12分）
第五代移动通信技术（5th Generatin Mbile Cmmunicatin Technlgy，简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，5G通讯设施是实现人机物互联的网络基础设施。2023年5月17日，中国电信、中国移动、中国联通、中国广电宣布正式启动全球首个5G异网漫游试商用。此前，中国移动、中国联通和中国电信三大运营商分别公布了其5G套餐价格．下面是中国移动公布的5G套餐价格：
中国移动公司某营业厅随机统计了100名近4个月使用5G套餐客户实际月使用流量情况，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（假设每位客户每月使用流量一样，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）求这100名5G套餐客户月使用流量的平均值；
（2）由频率分布直方图可以认为，中国移动5G套餐客户月使用流量近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算得，若从中国移动所有5G套餐客户中随机抽取1000人，记为这1000人中月使用流量小于95GB的人数，求的数学期望；
（3）针对5G套餐客户，中国移动根据客户订购的套餐，将客户分为以下四种：
假设月使用流量在GB的客户有一半人订购30GB套餐流量，另一半人订购60GB套餐流量，月使用流量在GB的客户都订购100GB套餐流量，月使用流量在GB的客户都订购150GB套餐流量，月使用流量在GB的客户都订购300GB套餐流量．
中国移动根据以上统计的100名客户情况，准备今年年底针对这些客户举办返利活动，有以下两种方案：
方案一：按分层抽样在银卡客户、金卡客户、钻石卡客户中共抽取24人，对这些客户免收一个月套餐费（超出套餐流量的部分也免费，客户不改变自己已经订购的套餐且每月使用流量不变）；
方案二：通过参与摸球游戏直接反现金给客户，规则如下：每次游戏客户从一个装有1个红球、3个白球（球的大小、形状一样）的不透明箱子中，有放回的摸3次球，每次摸一个球；若摸到红球的次数为1，则可得50元现金，若摸到红球的次数为2，则可得100元现金，摸到红球的次数为3，则可得150元现金，若没有摸到红球，则不返现；每位普卡客户可参与1次游戏，每位银卡客户可参与2次游戏，每位金卡客户可参与3次游戏，每位钻石卡客户可参与4次游戏（每次摸球的结果相互独立）．
试问，中国移动应选择哪种方案，投资更少？
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
21．（本题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点为，，到的渐近线的距离为，过作轴的垂线与在轴的上半部分交于点，且．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若圆的切线与曲线交于，两点，且恒成立，求的值．
22．（本题满分12分）
已知函数，，．
（1）求的极值；
（2）若与的图象有两个交点，求实数的取值范围．月费（元人民币）
128
198
298
398
598
流量（GB）
30
60
100
150
300
语音通话（分钟）
200
500
800
1200
3000
备注
超出套餐流量5元/GB，满15元后按照3元/GB计费
订购套餐流量（GB）
30
60
100
150
300
对应客户名称
普卡客户
银卡客户
金卡客户
钻石卡客户