2024届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考数学试卷

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1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D
4.【答案】A由，得，即，
所以.
5.【答案】C；6.【答案】B
7.【答案】D【详解】丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队
与丙比赛，丙输，，例如是丙甲，
若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲
的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情
况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.
若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不
能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率是，如平乙，输丁，则乙丁比
赛时，丁不能赢，概率是，
两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是.
综上，概率为，D正确．
8.【答案】C【详解】因为为偶函数，，所以，
对两边同时求导，得，所以有
所以函数的周期为，在中，令，所以，
因此，因为为偶函数，
所以有，
，
由可得：，所以.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
9.【答案】AD【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确；
对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，
这组数据的方差是，故B错误；
对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；
对于D，依题意，，则，
所以数据的标准差为16，D正确.
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD【详解】对于A项，如图所示，连接对应面对角线，
根据正方体的性质可知：，
平面，平面，
∴平面，同理可知平面，
又平面，
∴平面平面，
又，∴平面，
∴平面，故A正确;
对于B项，易知面，
面，则，
又平面，
∴平面，而平面，
∴，同理，
又平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面，故B正确;
对于C项，因为为定直线，是定角，到的距离为定值，
所以时，在以为旋转轴，到的距离为半径的圆锥上，
又平面，故平面截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C错误；
对于D项，设中点分别为N，Q，
则点A的运动轨迹是平面内以N为圆心，为半径的圆(如图)，

易知平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
而，
设与圆的交点分别为E，F(点E位于点F，Q之间，如上图所示)，
易知当点A分别位于点E，F时，点A到平面的距离分别取到最小值和最大值，
且距离的最小值，
距离的最大值，
∵的面积，
故选项D正确．综上，正确选项为ABD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】【详解】二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，故所求系数为.
13.【答案】.
14.【答案】.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15.(13分)解(1)由题可得：CD=2BD，故…………………2分
又,即，
，即………………4分
在中，根据余弦定理得
即…………………6分
，即，…………………7分
(2)，…………………8分
，即
又，①…………………11分
又②，由①②得：…………………12分
…………………13分
16.(15分)(1)证明：在中，………1分
过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，则
，∴≌，即OD=OB=3………………3分
又
又OD⊥AC，………………5分
又∴平面ACD⊥平面ABC…………………6分
(2)由(1)知，OA、OB、OD两两垂直，以O为原点建立坐标系，
，
………………8分
设是平面ABE的一个法向量
则
，…………………12分
而是平面ABC的一个法向量，………………14分
设二面角平面角的大小为，则
………………15分
17.(15分)解(1)设，由题可知，………………2分
又，由…………………4分
，，………………… 5分
………………6分
（2)由题可知，直线MA的方程为：
联立方程可得：
=45>0………………7分
，………………8分
又，，
同理可得点D的坐标为………………9分
(i)当直线CD垂直于x轴时，，即,
，此时直线CD的方程为………………10分
(ii)当直线CD不垂直于x轴时，
………………11分
故直线的方程为………………12分
令 y=0，则
整理得，此时直线经过定点……………14分
综上，直线经过定点………………15分
另解：(ii)当直线CD不垂直于x轴时，由对称性知定点在轴上，设
由C、D、Q三点共线知
化简得：，则
此时直线经过定点……………14分
综上，直线经过定点………………15分
解法二：
(1)设，则，
∵A、C、M三点共线，∴，…………………2分
同理：，∴…………………4分
又点在曲线E上，∴，代入上式得：………………6分
(2)由
又，∴…………………8分
由题可得直线CD显然不与x轴平行
设直线CD的方程为：
由得…………………9分
…………………11分
又
…………………13分
由…………………14分
∴直线CD：，∴直线经过定点…………………15分
18.(17分)解(1)若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，…………………1分
则P（X=0，Y=0）=，…………………2分
P（X=0，Y=1）=…………………3分
P（X=0，Y=2）=，P（X=1，Y=0）=…………………4分
P（X=1，Y=1）=P（X=2，Y=0）=…………………5分
P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=0…………………6分
故（X，Y）的联合分布列为
…………………7分
(2)当…………………9分
故…………………11分
=…………………13分
所以，…………………15分
由二项分布的期望公式可得.…………………17分
19.(17分)解(1)若，则，所以，
所以，又，………………2分
所以的图象在处的切线方程为，即.………………3分
(2)(i)由题意知.
令，则.
因为有两个极值点，，所以有两个不等正实根，.
若，，则在上递增，
所以在上至多有一个零点，不符合题意；………………5分
若，令，解得，
所以当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减.
所以时，取得极大值，即最大值为，………………6分
所以，解得.………………7分
当时，，又，所以，
由零点存在性定理知：存在唯一的，使得.………………8分
又，
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以，所以，
由零点存在性定理知：存在唯一的，使得.………………10分
所以当时，有两个不等正实根，.
综上，的取值范围是.………………11分
(ii)证明：由①知，且，所以，
因为在上为增函数，及，所以，…………………12分
又，所以.………………13分
因为，，所以，，
所以，所以.………………14分
令，所以，
所以在上递增，因为，所以，所以，
即，所以，………………16分
所以，即.
所以.………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
C
B
D
C
题号
9
10
11
答案
AD
BCD
ABD
（X，Y）
0
1
2
0
1
0
2
0
0