高三数学高考高分突破之概率统计专题29 自主选科问题（解析版）45

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（Ⅰ）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；
（Ⅱ）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望.
【解析】
解：（Ⅰ）记“某同学选修物理、化学和生物”为事件，
因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等
则，
答：该同学选修物理、化学和生物的概率为.
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.
因为，
，
，
，
所以的分布列为
所以数学期望.
例2．材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“”模式，所谓“”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为、、、、五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．
（1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分；
①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪．
附：；；.
【解析】
（1）设事件A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”；
则从剩余生物、思想政治、地理三个科目中选择一个有.
从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门的方案有种，
所以.
（2）设此次网络测试的成绩记为.
①由题意可知，
因为，且，
所以；
而，
且，
所以前400名学生成绩的最低分高于，
而考生甲的成绩为270分，所以甲同学能够获得荣誉证书.
②假设考生乙所说为真，则，
，
而，所以，
从而，
而，
所以为小概率事件，即丙同学的成绩为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.
例3．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.
举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；
（ii）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，）
【解析】
（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
数学期望.
例4．为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.
（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；
（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为，求的分布列和数学期望．
【解析】
（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有种不同选择.
（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数服从二项分布，所以分布列为
所以的数序期望.
例5．在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：
（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？
（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.
附：
（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.
【解析】
（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，7．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．
（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：
则，
有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．
（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．
用频率估计概率，则，分布列如下：
数学期望为．
例6．河北省高考综合改革从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“3+1+2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校2018级入学的高一学生选科情况如下表：
（1）完成下面的列联表，并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关”？
（2）以频率估计概率，从该校2018级高一学生中随机抽取3名同学，设这三名同学中选择物理的人数为，求的分布列和数学期望.
附表及公式：
【解析】
（1）依题意可得列联表
将列联表中的数据代入公式计算得
，
所以，不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”.
（2）由（1）可知，从该校2018级高一学生中任取一名同学，该同学选择物理的概率，
可取0，1，2，3.
，，
，.
的分布列为：
.
例7．2017年被称为“新高考元年”，随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案，新一轮的高考改革还将继续在全国推进．辽宁地区也将于2020年开启新高考模式,今年秋季入学 的高一新生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等6科中任选三科(共20种选法)作为 自己将来高考“语数外+3 ”新高考方案中的“3”．某地区为了顺利迎接新高考改革，在某学校理科班的200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程 组合选择一种学习．模拟选课数据统计如下表：
为了解学生成绩与学生模拟选课情之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.
(1)样本中选择组合12号“化生历”的有多少人？样本中选择学习物理的有多少人？
(2)从样本选择学习地理且学习物理的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有1人还要学习生物的概率；
【解析】
(1)化生历有8人；物理有18人
(2)学习地理且学习物理的学生共有5人，其中学习生物的有2人记为另外三人记作.
空间为共10个.
∵这3人中至少有1人还要学习生物9个
∴这3人中至少有1人还要学习生物的概率
例8．随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：
为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.
（1）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；
（2）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】
（1）由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，
则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，
这3人中至少有2人要学习生物的概率
.
（2）由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，
则可取0，1，2.
.
例9．随着高考制度的改革，我省将于2021年开启“语数外+3”新高考模式，2018年秋季入学的高一新生从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考要考的“语数外＋3”中的“3”．某市为了顺利迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种，得到学生模拟选课数据统计如下表：
为了解学生学习成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析．
（1）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；
（2）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为，学习政治的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】
解：（1）由题意可知，
样本中选择学习物理且学习化学的学生共有人，
其中还学习生物的有人，
则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，
这3人中至少有2人要学习生物的概率
（2）由题意可知，
样本中选择学习物理且学习化学的学生共有人，
其中还学习地理的有人，学习政治的有人.
则的所有可能取值为0，1，2. 的所有可能取值为0，1
所以的所有可能取值为
所以

的分布列为
则
例10．山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分。根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩。举例说明1：甲同学化学学科原始分为65分，化学学科 等级的原始分分布区间为，则该同学化学学科的原始成绩属等级，而等级的转换分区间为那么，甲同学化学学科的转换分为：设甲同学化学科的转换等级分为 ，求得.四舍五入后甲同学化学学科赋分成绩为66分。举例说明2：乙同学化学学科原始分为69分，化学学科等级的原始分分布区间为则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为这时不用公式，乙同学化学学科赋分成绩直接取下端点70分。现有复兴中学高一年级共3000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布。且等级为 所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为
（1）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，小红同学在这次考试中物理原始分为72分，求小明和小红的物理学科赋分成绩；（精确到整数）.
（2）若以复兴中学此次考试频率为依据，在学校随机抽取4人，记这4人中物理原始成绩在区间 的人数，求的数学期望和方差.（精确到小数点后三位数）.
附：若随机变量满足正态分布，给出以下数据，
【解析】
解（1）小明同学且等级为,设小明转换后的物理等级分为，

求得 ．
小明转换后的物理成绩为82
小红同学且等级为，且等级为所在原始分分布区间为，
小红为本等级最低分72,则转换后的物理成绩为70分。
（2）物理考试原始成绩等级为所在原始分分布区间为，人数所占比例为24%，
又因为物理考试原始成绩基本服从正态分布，
当原始分时，人数所占比例为
则随机抽取一个物理原始成绩在区间的概率为
由题可得

例11．《山东省高考改革试点方案》规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.
某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下
（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;
（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注: ).
【解析】
解：（1）设物理成绩获得等级的学生原始成绩为，其等级成绩为.
由转换公式，得.
由，得.
显然原始成绩满足的同学有人，获得等级的学生有人，
恰好有名同学的等级分数不小于的概率为：.
（2）由题意得，随机抽取人，其等级成绩为或的概率为.
学生个数的可能取值为；
，，
，；
其数学期望是：
其中：
①
②
应用错位相减法“①式-②式”得：
故.
例12．从2021年起，重庆市将进行新高考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化．在数学学科上，有如下变化：新高考不再分文理科数学，而是采用一套试题测评；新高考增加了多选题，给各种层次的学生更大的发挥空间；新高考引入开放性试题，能有效地考查学生建构数学问题、分析问题、解决向题的能力．已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项．为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为．现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．
（1）在已知某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲乱猜该题，求他不得0分的概率；
（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试比较两个同学的策略，谁的策略能得更高的分数？并说明理由．
【解析】
解：（1）分两类：乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分．
①猜一个选项得3分的概率为；
②猜两个选项得5分的概率为，
故学生甲不得0分的概率．
（2）设甲、乙两人的得分分别为，，
两人的得分期望分别为，，
学生甲：，，
学生甲的得分的分布列为
故．
学生乙：，，，
学生乙的得分的分布列为
故，
因为，所以学生甲的策略最好
0
1
2
3
0
1
2
3
4
序号
选科情况
序号
选科情况
序号
选科情况
序号
选科情况
1
134
11
236
21
156
31
235
2
235
12
234
22
235
32
236
3
235
13
145
23
245
33
235
4
145
14
135
24
235
34
135
5
156
15
236
25
256
35
156
6
245
16
236
26
156
36
236
7
256
17
156
27
134
37
156
8
235
18
236
28
235
38
134
9
235
19
145
29
246
39
235
10
236
20
235
30
156
40
245
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
选物理
不选物理
合计
选化学
19
5
24
不选化学
6
10
16
合计
25
15
40
0
1
2
3

0.343
0.441
0.189
0.027
选科组合
物化生
物化政
物化地
物生政
物生地
物政地
史政地
史政化
史生政
史地化
史地生
史化生
合计
男
130
45
55
30
25
15
30
10
40
10
15
20
425
女
100
45
50
35
35
35
40
20
55
15
25
20
475
合计
230
90
105
65
60
50
70
30
95
25
40
40
900
选择物理
不选择物理
合计
男
425
女
475
合计
900
0.150
0.100
0.050
0.010
2.072
2.706
3.841
6.635
选择物理
不选择物理
合计
男
300
125
425
女
300
175
475
合计
600
300
900
0
1
2
3
序号
1
2
3
4
5
6
7
组合学科
物化生
物化政
物化历
物化地
物生政
物生历
物生地
人数
20人
5人
10人
10人
10人
15人
10人
序号
8
9
10
11
12
13
14
组合学科
物政历
物政地
物历地
化生政
化生历
化生地
化政历
人数
5人
0人
5人
...
40人
...
...
序号
15
16
17
18
19
20
组合学科
化政地
化历地
生政历
生政地
生历地
政历地
总计
人数
...
...
...
...
...
...
200人
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
组合学科
物
化
生
物
化
政
物
化
历
物
化
地
物
生
政
物
生
历
物
生
地
物
政
历
物
政
地
物
历
地
人数
20人
5人
10人
10人
5人
15人
10人
5人
0人
5人
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
合计
化
生
政
化
生
历
化
生
地
化
政
历
化
政
地
化
历
地
化
政
历
生
政
地
生
历
地
政
历
地
5人
…
…
…
…
…
10人
5人
…
25人
200人
0
1
2
序号
1
2
3
4
5
6
7
组合学科
物化生
物化政
物化历
物化地
物生政
物生历
物生地
人数
20人
5人
10人
10人
5人
15人
10人
序号
8
9
10
11
12
13
14
组合学科
物政历
物政地
物历地
化生政
化生历
化生地
化政历
人数
5人
0人
5人
5人
…
…
…
序号
15
16
17
18
19
20
组合学科
化政地
化历地
生政历
生政地
生历地
政历地
总计
人数
…
…
10人
5人
…
25人
200人

0
1
2
P
成绩
93
91
90
88
87
86
85
84
83
82
人数
1
1
4
2
4
3
3
3
2
7
0
3
0
3
5