高三数学高考高分突破之概率统计专题24 纳税问题（解析版）35

这是一份高三数学高考高分突破之概率统计专题24 纳税问题（解析版）35，共18页。试卷主要包含了随着经济的发展，个人收入的提高等内容，欢迎下载使用。

第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利，也可能亏损．（只有这两种可能），且获利的概率为．
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．
第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为，存款利息税率为．
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．
【解析】解：若按方案一执行，设收益为万元，则其分布列为
（万元），
若按方案二执行，设收益为万元，则其分布列为：
（万元）；
若按方案三执行，收益万元，
又．
由上知．说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．
建议李师傅家选择方案二投资较为合理．
例2．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：
随机抽取某市2020名同一收入层级的从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元月，子女教育每孩1000元月，赡养老人2000元月等．
假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求在旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税；
（2）设该市该收入层级的从业者2019年月缴个税为元，求的分布列和期望；
（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入？
【解析】解：（1）旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税为：
．
（2）依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：
，
月缴个税，
只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应缴纳税所得额为：
，
月缴个税，
只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为：
，
月缴个税，
既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：
，
月缴个税，
的分布列为：
．
（3）在新政策下该收入层的从业者2019年月缴个税为1830，
该收入层级从业者每个月少缴交的个税为，
设经过个月，该收入层级的从业者少缴交的个税的总和就超过24000，
则，
，，
经过11个月，该收入层级的从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入．
例3．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题．例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题．①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子．
（Ⅰ）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？
（Ⅱ）若从该地区中学生中随机抽取一个班人），设其中恰有个人存在早恋的现象，求的分布列及数学期望．
【解析】解：（Ⅰ）摸到同色球的概率为，摸到异色球的概率为，
由此可估计300人中有人摸到同色球，160人摸到异色球，
有140人回答了问题①，160人回答了问题②，
学生学籍号的后四位是顺序号，最后一位是奇数的概率为，
因此回答问题①的140人有70人回答了“是”，
据此估计有8人在问题②中回答了“是”，
估计中学生的早恋人数的百分比为．
（Ⅱ）依题意，
分布列为，，1，2，，40．
．
例4．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：
（1）假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？
（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
先从收入在，及，的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量表示抽到作为宣讲员的收入在，元的人数，求的分布列与数学期望．
【解析】解：（1）按调整起征点前应纳税为：；
按调整起征点后应纳税为：；；
所以小明实际收入增加了220元；
（2）由频数分布表可知抽取的7人，中占4人，，中占3人，
的取值可能值0，1，2，3；
；
；
；
；
所以的分布列为：
；
例5．随着经济的发展和个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率依法进行调整调整如下：纳税人的工资、薪金所得；以每月全部收入额减5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：
（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？
（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表
先从收入在，以及，的人群中方按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳视法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在，的人数，用表示抽到作为宣讲员的收入在，的人数．随机变量，求的分布列与数学期望．
【解析】解：（1）依题意．调整前小李的纳税额为：，
调整后小李的纳税额为：，
故小李的实际收入比调整前增加元；
（2）依题意，收入在，以及，的人数比为，故抽取的7人中，收入在，的有3人，收入在，的有4人，
随机变量的所有可能的取值分别为：0，2，4，
，，，
所以随机变量的分布列为：
所以．
例6．随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．
新个税政策的税率表部分内容如下：
（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？
（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．
【解析】解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：元
不超过3000的部分税额为元
超过3000元至12000元的部分税额为元，
超过12000元至25000元的部分税额为元
所以李某月应缴纳的个税金额为元，
（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：元，
月应缴纳的个税金额为：元
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：元，
月应缴纳的个税金额为：元；
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：元，
月应缴纳的个税金额为：元；
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：元，
月应缴纳的个税金额为：元；
，，，．
所以随机变量的分布列为：
．
例7．随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：
（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；
（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
①先从收入在，及，的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在，元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在，元的人数，随机变量，求的分布列与数学期望；
②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？
【解析】解：（1）调整前关于的解析式为；
调整后关于的解析式为；
（2）①由频率分布表可知，从收入在，及，的人群中抽取7人，
其中在，元的人数为3人，
在，元的人数为4人，
再从这7人中选4人，所以的取值可能为0，2，4；
则，，
，，，
，，
所以的分布列为，
数学期望为；
②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，
按调整前起征点应纳个税为（元；
按调整后起征点应纳个税为（元，
比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交（元，
即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入比调整前增加了220元．
例8．2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115为通过，并引进项目投资．大于115为未通过，并进行治理．现统计如下．
（Ⅰ）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；
（Ⅱ）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．在（Ⅰ）的前提下，记为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】解：（Ⅰ）甲区通过监测的概率约为．
乙区通过监测的概率约为．
（Ⅱ）随机变量的所有取值为90，45，30，．
；；；；
随机变量的分布列为：
（百万元）．
例9．某城市个人家庭用车的月均消费汽油费（单位：元），试求：
（Ⅰ）该城市个人家庭用车的月均消费汽油费在（单位：元）范围内的人数所占的百分比；
（Ⅱ）该城市个人家庭用车的月汽油消费超过940元的人数所占的百分比；
（Ⅲ）如果该城市个人家庭用车的人数是10万人，市政府想利用经济手段控制汽油消耗，制定了下列专项税收如表：
请用数据说明该城市在此税收上设计是否合理．
【解析】解：（Ⅰ）因为，所以，，
因此，城市个人家庭用车的月均消费汽油费在范围内的概率为0.6826，城市个人家庭用车的月均消费汽油费在的概率为0.3413，即该城市个人家庭用车的月均消费汽油费在（单位：元）范围内的人数所占的百分比是；
（Ⅱ），即该城市个人家庭用车的月汽油消费超过940元的人数所占的百分比是；
（Ⅲ）设计合理，因为约占15.87，即15870人没有纳税，约占，即68260人为多数人纳了较低的0.01的税，约占，即13590人纳税为0.02，约占，即2280人为少数人纳了较高的0.05的税．
例10．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中户型每套面积100平方米，均价1.1万元平方米，户型每套面积80平方米，均价1.2万元平方米．下表是这18套住宅平方米的销售价格：（单位：万元平方米）
求，的值；
张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：，
解得，
，解得．（4分）
（Ⅱ）户型小于100万的有2套，设为，，
户型小于100万的有4套，设为，，，（6分）
买两套售价小于100万的房子所含基本事件总数为，（9分）
令事件 “至少有一套面积为100平方米住房”，
则中所含基本事件有，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共9个（11分）
（A），
至少有一套面积为100平方米的概率为．（12分）．
例11．某地区共有100万人，现从中随机抽查800人，发现有700人不吸烟，100人吸烟．这100位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图．将频率视为概率，回答下列问题：
（Ⅰ）在该地区随机抽取3个人，求其中至少1人吸烟的概率；
（Ⅱ）据统计，烟草消费税大约为烟草消费支出的，该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元．问：当地烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用？说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的，
抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为；
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为（万元），
又该地区吸烟者人数为万，
该地区年均烟草消费税为（万元），
该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，
当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．
例12．某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得的频率分布直方图．工资薪金个人所得税税率表如表所示．表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分元为个税起征点，不到3500元不缴税）．
工资个税的计算公式为：“应纳税额” “全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”．
例如：某人某月“工资薪金所得”为5500元，则“全月应纳税所得额”为元，应纳税额为（元
在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间的频率作为取该区间中点值的概率
（Ⅰ）试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；
（Ⅱ）设该市居民每月从工资薪金所得交完税后，剩余的为其月可支配额（元，试求该市居民月可支配额不超过7000元的概率．
【解析】解：（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000，5000，7000，9000，11000，
取这些值的概率依次为0.15，0.3，0.4，0.1，0.05，
算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0，1500，3500，5500，7500（元，
按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元，（元，
（元，（元，（元；
该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为：
（元；
（Ⅱ）这5组居民月可支配额取的值分别是，，，，
（元；（元；（元；
（元；（元；
可看出的有，，，．
例13．某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得的频率分布直方图．工资薪金个人所得税税率表如表所示．表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分元为个税起征点，不到3500元不缴税）．工资个税的计算公式为：“应纳税额” “全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”．
例如：某人某月“工资薪金所得”为5500元，则“全月应纳税所得额”为元，应纳税额为（元
在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间的频率作为取该区间中点值的概率．
（Ⅰ）试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；
（Ⅱ）设该市居民每月从工资薪金所得交完税后，剩余的为其月可支配额（元，试求该市居民月可支配额的数学期望．
【解析】解：（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000，5000，7000，9000，11000，
取这些值的概率依次为0.15，0.3，0.4，0.1，0.05，
算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0，1500，3500，5500，7500（元，
按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元，（元，
（元，（元，（元；
该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款为：
（元；
（Ⅱ）这5组居民月可支配额取的值分别是，，，，
（元；（元；（元；
（元；（元；
的分布列为：
该市居民月可支配额的数学期望为：
（元．
例14．美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”，若四人商定在圈定的6只股票中各自随机购买一只（假定购买时每只股票的基本情况完全相同）．
（1）求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率；
（2）由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋“回暖”．若某人今天按上一交易日的收盘价20元股，买入某只股票1000股，且预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨（涨停）的概率为0.6．持平的概率为0.2，否则将下跌（跌停），求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金、印花税等交易费用）．
【解析】解：（1）．解法一：四人中有两人买到同一只股票的概率
四人中每人买到不同的股票的概承率
所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率．（6分）
解法二：四人中有三人恰好买到同一只股票的概率
四个人中都买同一支股票的概率是
所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率
（2）设每股今天获利钱数，根据题意可得可能取的数值为：，0，2，
所以，，，
所以的分布列为：（9分）
所以1000股股票在今日交易中获利钱数的数学期望为： （12分）
例15．2009年初国务院公布1.6升及以下的小排量乘用车购置税率由降为的政策后，使得1.6升及以下减税受益车型也日渐“受宠”，小张计划购买一辆1.6升及以下小型汽车．根据小型汽车车牌可以采取“自编自选”方式进行选号的规定，小张计划从1到5这5个数字中确定自己车牌号码的后四位数字，记为四位数字中各位上出现重复数字的个数．
（理（1）求的概率；
（2）求的分布到与数学期望．
（文（1）求车牌号码的最后一位是奇数的概率；
（2）求的概率．
【解析】解：（理（1）由题知车牌号码最后四位数字所有可能情况为种，的取法种数有，
所以
（2）的所有取值为0，2，3，4
，
，
，
，
的分布列为
（文（1）车牌号码的最后一位是奇数的概率只需考虑最后一位，从1到5这5个数字中取到奇数的概率为
（2）由题知车牌号码最后四位数字所有可能情况为种，的取法种数有，
所以
4
2
0
旧个税税率表（个税起征点3500元）
新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税基数
每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点
税率
每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除
税率
1
不超过1500元的部分
3
不超过3000元的部分
3
2
超过1500元至4500元的部分
10
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
超过12000元至25000元的部分
20
4
超过9000元至35000元的部分
25
超过25000元至35000元的部分
25
5
超过35000元至55000元的部分
30
超过35000元至55000元的部分
30

2190
1990
1790
1590





个人所得税税率表（调整前）
个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元
免征额5000元
级数
全月应纳税所得额
税率
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1500元部分
3
1
不超过3000元部分
3
2
超过1500元至4500元的部分
10
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
3
超过12000元至25000元的部分
20
收入（元
，
，
，
，
，
，
人数
40
30
10
8
7
5

0
1
2
3




个人所得税税率表（调整前）
个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元
免征额5000元
级数
全月应纳税所得额
税率
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1500元的部分
3
1
不超过3000元的部分
3
2
超过1500元至4500元的部分
10
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
3
超过12000至25000元的部分
20
收入（元
，
，
，
，
，
，
人数
30
40
10
8
7
5
0
2
4
级数
一级
二级
三级
四级
每月应纳税所得额（含税）
不超过3000元的部分
超过3000元至12000元的部分
超过12000元至25000元的部分
超过25000元至35000元的部分
税率
3
10
20
25

990
1190
1390
1590



个人所得税税率表（调整前）
个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元
免征额5000元
级数
全月应纳税所得额
税率
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1500元的部分
3
1
不超过3000元的部分
3
2
超过1500元至4500元的部分
10
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
3
超过12000元至25000元的部分
20
收入（元
，
，
，
，
，
，
人数
30
40
10
8
7
5
0
2
4
空气质量指数
，
，
，
，
，
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
甲区天数
13
20
42
20
3
2
乙区天数
8
32
40
16
2
2
90
45
30
个人家庭用车消费汽油费
元月
元月
元月
元月
税 率
不纳税
0.01
0.02
0.05
房号户型
1
2
3
4
5
6
7
8
9
户型
0.98
0.99
1.06
1.17
1.10
1.21
1.09
1.14
户型
1.08
1.11
1.12
1.26
1.27
1.26
1.25
1.28
全月应纳税所得额
适用税率
速算扣除数
不超过1500元
3
0
超过1500元至4500元
10
105
超过4500元至9000元
20
555
全月应纳税所得额
适用税率
速算扣除数
不超过1500元
3
0
超过1500元至4500元
10
105
超过4500元至9000元
20
555
3000
4955
6755
8455
10055
0.15
0.3
0.4
0.1
0.05
2
0
0.6
0.2
0.2
0
2
3
4