高三数学高考高分突破之概率统计专题02 非线性回归方程（解析版）59

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模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．精确到个位，精确到．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
②刻画回归效果的相关指数．
③参考数据：，．
表中．
【解析】解：（1）对取对数，得，
设，，先建立关于的线性回归方程．
，
，．
模型②的回归方程为；
（2）由表格中的数据，有，即，
即，，
模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．
2021年时，，预测旅游人数为（万人）．
例2． 近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的以上，居世界第一位．如表截取了年中国高铁密度的发展情况（单位：千米万平方千米）．
已知高铁密度与年份代码之间满足关系式，为大于0的常数）．若对两边取自然对数，得到，可以发现与线性相关．
（1）根据所给数据，求关于的回归方程，保留到小数点后一位）；
（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米万平方千米．
参考公式：设具有线性相关系的两个变量，的一组数据为，，2，，
则回归方程的系数：，．
参考数据：，，，，，．
【解析】解：（1）对两边取自然对数，得；
令，，，2，3，，；
得与具有线性相关关系，
计算，，
，，
，
故关于的回归方程为，
即；
（2）在（1）的回归方程中，，高铁密度超过30千米万平方千米；
即，
，．，
即时，高铁密度超过30千米万平方千米；
所以预测2019年，高铁密度超过30千米万平方千米．
例3． 某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的质量指数在的为三等品，在的为二等品，在的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
表中，，，
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.
（ⅰ）建立关于的回归方程；
（ⅱ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）
参考公式：对于一组数据：，，，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为，
【解析】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5,3.5,5.5
由直方图可得：一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15，
所以，
，
,
所以：随机变量的分布列为：
所以，
故每件产品的平均销售利润为4元.
（2）（ⅰ）由得，，
令，，，则，
由表中数据可得，，
则
所以，，即
因为，所以
故所求的回归方程为
（ⅱ）设年收益为万元，则
设，，则
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减.
所以，当，即时，有最大值为768
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
例4． 近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图
（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列；
（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（结果保留一位小数）
（3）若一年按天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额入住率收费标准）
参考数据：
【解析】（1）的所有可能取值为.
则 ，
的分布列
（2）由散点图可知更适合于此模型.
其中，
所求的回归方程为
（3）
令
若一年按天计算，当收费标准约为元/日时，年销售额最大，最大值约为元.
例5． 已知某种细菌的适宜生长温度为，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：）变化的规律，收集数据如下：
对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：
其中，.
（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型（结果精确到0.1）；
（2）当温度为时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
参考公式：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：.
【解析】（1）绘出的散点图如图所示，根据散点图判断更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；
（2）∵，∴，
∴，，
∴，，当温度为时，该种细菌的繁殖数量的预报值为.
例6． 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量（=1，2…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.
表中，。
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.己知点的声音能量等于声音能量与之和。请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由。
附：对于一组数据.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
【解析】（1）更适合.
（2）令，先建立关于的线性回归方程.
由于，
∴
∴关于的线性回归方程是，
即关于的回归方程是.
（3）点的声音能量,
∵，
∴
,
根据（1）中的回归方程，点的声音强度的预报值
，
∴点会受到巢声污染的干扰.
例7． 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α,β,λ,t均为常数，e为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i=1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令ui=xi2,vi=lnyi(i=1,2,⋯,12)，经计算得如下数据：
（1）设ui和yi的相关系数为r1，xi和vi的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？
附：①相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，回归直线y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx；
② 参考数据：308=4×77，90≈9.4868，e4.4998≈90．
【解析】解：（1）r1=i=112(ui−u)(yi−y)i=112(ui−u)2i=112(yi−y)2=215003125000×200=2150025000=4350=0.86，
r2=i=112(xi−x)(vi−v)i=112(xi−x)2i=112(vi−v)2=14770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，
则r1