广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题（学生版）

这是一份广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题（学生版），共6页。
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
考生注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；
2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A B. C. D.
5. 已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A. 4069B. 2023
C. 2024D. 4046
6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正六边形，把四边形沿直线翻折，使得点到达且二面角的平面角为.若点都在球的表面上，点都在球的表面上，则球与球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. D.
10. 设，是一个随机试验中两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ）
A. 线段长度的最小值为
B. 当直线斜率为时，中点坐标为
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 存在点，使得
12. 已知函数及其导函数的定义域为R，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A. 函数是周期为5的周期函数
B. 函数的图象关于点对称
C.
D. 函数的图象关于直线对称
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知的取值如下表：
根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________.
14. 若数列满足，（），则______.
15. 在三棱锥中，侧面底面是等腰直角三角形，且斜边，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
16. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为______．
四、解答题：木大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足，且对于任意m，，都有．
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18. 在中，内角对边分别为，向量，且．
（1）求；
（2）若的外接圆半径为2，且，求的面积．
19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立.
（1）证明：；
（2）当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值.
20. 已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
21. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．
（1）求的概率分布列并求；
（2）求证：（且）为等比数列，并求出（且）．
22. 已知函数.
（1）当时，讨论函数单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).
1
2
3
4
32
48
72
88