广东省中山市第一中学2024届高三第一次调研数学试题（学生版）

这是一份广东省中山市第一中学2024届高三第一次调研数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A B. C. 1D.
4. 已知向量，，满足，，，则的最大值等（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A B. C. D.
6. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，）
A. 20B. 16C. 12D. 7
7. 已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A. 的长度为B. 的长度为
C. 的长度为D. 的长度为
8. 已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A. B. 1C. 16D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，得部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 己知事件A，B是相互独立事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）．

A. 函数的最小正周期为
B. 函数图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线垂直
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递增
11. 已知双曲线C：上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）
A. B.
C. 可以是直角D. 直线OA的斜率为
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 中常数项是________．（写出数字）
14. 已知数列，，则在数列的前50项中最大项是第________项.
15. 设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是______.
16. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积.
19. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点．
（1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置．
20. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
（1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练概率为，求．
21. 已知椭圆的方程为（），离心率为，点在椭圆上.其左右顶点分别为、，左右焦点分别为、.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过轴上的定点（点不与、重合），且交椭圆于、两点（，），当满足时，求点的坐标.
22. 已知函数.
（1）当时，讨论极值点的个数；
（2）讨论函数的零点个数的情况.