河南省洛阳市偃师高级中学2024届高三上学期1月阶段测试数学试题（学生版）

这是一份河南省洛阳市偃师高级中学2024届高三上学期1月阶段测试数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. 2
3 已知平面单位向量，，满足，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
4. 已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数的定义域为D，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，可得到（ ）
A 0B. 2023C. 4046D. 4047
6. 函数的图象向右平移个单位长度后，所得的函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为－1的直线与相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（ ）
A. 6B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知，，设，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则有最小值B. 若，则有最大值2
C. 若，则D. 若，则有最小值
10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 在上的值域为
11. 已知正四棱柱底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱上的动点（包括端点），平面．下列说法正确的有（ ）
A. 异面直线与可能垂直
B. 直线与平面可能垂直
C. 与平面所成角的正弦值的范围为
D. 若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
12. 已知，，若与图像的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知平面向量，若与垂直，则实数___________.
14. 已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
15. 已知函数（，）有且仅有两个零点，则实数的取值范围是______．
16. 已知数列中，，，，数列的前n项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.
（1）设函数，，求函数的值域；
（2）若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.
18. 已知数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，，.
（1）求，；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.
（1）证明：F为PD的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
条件①：三角形BCF的面积为；
条件②：三棱锥的体积为1.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
20. 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．
（1）若，求；
（2）若，求点到直线的距离的最小值．
21. 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．
（1）现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．
①若，求P关于k的函数关系式；
②已知，以检验总次数期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：．
22. 已知函数，为的导函数．
（1）当时，讨论函数的单调性
（2）已知，，若存在，使得成立，求证：．