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湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题（学生版）
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这是一份湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. “函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是等差数列前n项和，是数列的前n项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B. 一组数据的第60百分位数为14
C. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差
10. 如图，点是函数图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A
B.
C. 函数在上单调递减
D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
11. 已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（ ）
A. 2B. 0C. D.
12. 已知函数，，则（ ）
A. 与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素
B. 在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反
C. 的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点
D. 函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________．
14. 已知数列满足，设数列的前项和为，则=________
15. 在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为______．
16. 已知函数，若，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的周长.
18. 记为数列的前项和，已知，且，.
（1）证明：等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
19. 如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足．
（1）求证：平面平面；
（2）若，且平面，求长．
20. 某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（）
（1）用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；
（2）用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？
21. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右和上顶点，直线交直线于点，且点的横坐标为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于第二象限内两点，且在之间，与直线交于点，试判断直线与是否平行，并说明理由．
22. 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. “函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是等差数列前n项和，是数列的前n项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B. 一组数据的第60百分位数为14
C. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差
10. 如图，点是函数图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A
B.
C. 函数在上单调递减
D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
11. 已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（ ）
A. 2B. 0C. D.
12. 已知函数，，则（ ）
A. 与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素
B. 在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反
C. 的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点
D. 函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________．
14. 已知数列满足，设数列的前项和为，则=________
15. 在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为______．
16. 已知函数，若，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的周长.
18. 记为数列的前项和，已知，且，.
（1）证明：等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
19. 如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足．
（1）求证：平面平面；
（2）若，且平面，求长．
20. 某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（）
（1）用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；
（2）用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？
21. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右和上顶点，直线交直线于点，且点的横坐标为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于第二象限内两点，且在之间，与直线交于点，试判断直线与是否平行，并说明理由．
22. 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
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