专题01 平面向量-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）

这是一份专题01 平面向量-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用），文件包含专题01平面向量原卷版docx、专题01平面向量解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
01平面向量（新高考）
目录
【备考指南】2
【真题在线】2
【基础考点】3
【基础考点一】平面向量线性运算3
【基础考点二】平面向量共线定理4
【基础考点三】平面向量的数量积与夹角5
【基础考点四】平面向量数量积与模长、投影向量6
【基础考点五】平面向量数量积与平行、垂直7
【综合考点】8
【综合考点一】平面向量基本定理8
【综合考点二】平面向量三点共线9
【综合考点三】平面向量中范围与最值10
【培优考点】11
【培优考点一】平面向量等和线定理11
【培优考点二】平面向量极化恒等式12
【总结提升】13
【专项检测】14
备考指南
预测：近三年全国卷一共考了10次以上，主要考察平面向量数量积运算及应用，2021年考察向量与三角函数综合问题，2022年考察向量的线性运算.近3年试题考察难度相对基础.建议在二轮复习时，重点放在基础知识的查缺补漏，同时向量问题已经几年没有出现难度较大的试题.二轮复习时也要注重综合性的应用问题.
真题在线
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
6．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
10．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则 ．
11．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，， ．
13．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则 ．
14．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则 .
15．（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则 ．
基础考点
【考点一】平面向量线性运算
【典例精讲】（多选）（2023·安徽黄山·统考二模）如图，为圆的一条直径，点是圆周上的动点，是直径上关于圆心对称的两点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知为△所在平面内一点，，为边的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（2023·四川宜宾·统考二模）在中，是的中点，，点为的中点，则 .
【考点二】平面向量共线定理
【典例精讲】（多选）（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与向量共线，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，与相交于点，，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2021下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则与同向
C．若，则D．若，则
三、填空题
4．（2023下·重庆·高一校联考阶段练习）已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，请写出一个符合题意的的值： ．
【考点三】平面向量的数量积与夹角
【典例精讲】（多选）（2023·广东·统考二模）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若a⊥b，则的最小值为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
二、多选题
3．（2021下·广东揭阳·高二揭阳第一中学校考期中）已知向量，，则（ ）
A．当时，∥B．的最小值为
C．当时，D．当时，
三、填空题
4．（2023·全国·模拟预测）已知，是单位向量，且，的夹角为60°，向量与向量的夹角为，则 .
【考点四】平面向量数量积与模长、投影向量
【典例精讲】（多选）（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若向量，且，则（ ）
A．1B．5C．D．
2．（2023·浙江金华·校考三模）已知向量，向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
3．（2023·浙江·统考二模）已知向量，是单位向量，且，则以下结论正确的是（ ）．
A．若，则B．
C．向量，的夹角为D．向量在向量上的投影向量为
三、填空题
4．（2023·四川攀枝花·统考一模）若平面向量与的夹角为，，，则 .
【考点五】平面向量数量积与平行、垂直
【典例精讲】（多选）（2023·山东滨州·统考二模）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若∥，则
C．若a⊥b，则D．若，则向量，的夹角为钝角
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知为等比数列且各项均不为0，向量，且，则（ ）
A．4B．2C．8D．6
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，的夹角为锐角，则且
三、填空题
4．（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知向量，且，则 ．
综合考点
【考点一】平面向量基本定理
【典例精讲】（多选）（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
3．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）

A．B．
C．存在最小值D．的最大值为
三、填空题
4．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）在菱形中，，的中点分别为，．已知，，则 ．
【考点二】平面向量三点共线
【典例精讲】（多选）（2022下·重庆江北·高一校考阶段练习）下列四个结论正确的是（ ）
A．若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线
B．已知向量，若，则为钝角.
C．若G为△ABC的重心，则
D．若，△ABC一定为等腰三角形
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）已知、为不共线的向量，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
4．（2023·高一单元测试），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数 .
【考点三】平面向量中范围与最值
【典例精讲】（多选）（2023·山西忻州·统考模拟预测）若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·浙江湖州·高三期末）已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020下·山西阳泉·高三统考阶段练习）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点（，不取端点），且．设，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是
C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是
三、填空题
4．（2023·河北·校联考模拟预测）已知平面向量满足且，当向量与向量的夹角最大时，向量的模为 ．
培优考点
【考点一】平面向量等和线定理
平面向量等和线定理
平面内一组基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝eq \f(|OP|,|OF|)＝eq \f(|OB1|,|OB|)＝eq \f(|OA1|,|OA|)，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0.
【典例精讲】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
【变式训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A.1 B.eq \f(3,4)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)
2．给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的弧eq \(AB,\s\up8(︵))上运动，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________.
3．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OC,\s\up6(→))＋μeq \(OD,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围为________.
【考点二】平面向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4).
(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：
①eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|eq \(PQ,\s\up6(→))|2－|eq \(NM,\s\up6(→))|2](平行四边形模式)；
②eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(NM,\s\up6(→))|2(三角形模式).
【典例精讲】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值为________.
【变式训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝________.
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
3．如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))，若F为DE的中点，则eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))的值为________.
4．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝5，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的最大值是________.
总结提升
1.平面向量加减求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.
2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
3.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.
4.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.
5.三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.
6.向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
7.数量积的表示一般有三种方法：
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；
(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.
8.求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
9. 向量系数的最值、范围一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解.
专项检测
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则BD的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，且，，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
4．（2023·全国·模拟预测）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）设平面向量，，且，则=（ ）
A．1B．14C． D．
6．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足，则（ ）
A．36B．－36C．－8D．8
7．（2023·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·浙江宁波·统考一模）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量.下列命题中的真命题有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且与的夹角为，则
10．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为
D．若，则
11．（2023·江西景德镇·统考一模）已知向量，，以下结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
12．（2023·全国·校联考模拟预测）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．
C．的最小值为D．的最大值为
三、填空题
13．（2023·江西·校联考二模）平面向量满足，则的取值范围为 .
14．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）已知向量满足，的夹角为，则 .
15．（2023·广东·统考二模）已知是坐标原点，点，且点是圆：上的一点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围是 .
16．（2023·上海浦东新·统考二模）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是 ．
考点
考情分析
考频
平面向量数量积运算及应用
2023年新高考Ⅰ卷T3
2023年新高考Ⅱ卷T13
2022年新高考Ⅱ卷T4
2022年全国甲卷T13
2022年全国乙卷T3
2021年新高考Ⅱ卷T15
2021年全国甲卷T14
2021年全国乙卷T14
3年8考
向量的线性运算
2022年新高考Ⅰ卷T3
向量与三角函数综合
2021年新高考Ⅰ卷T10