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专题08 点、线、面位置关系（向量法）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）
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这是一份专题08 点、线、面位置关系（向量法）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用），文件包含专题08点线面位置关系向量法-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测新高考专用原卷版docx、专题08点线面位置关系向量法-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共184页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题08 点、线、面位置关系向量法（新高考）
目录
【备考指南】2
【真题在线】3
【基础考点】8
【基础考点一】空间直角坐标系8
【基础考点二】空间向量及运算9
【基础考点三】求平面法向量10
【基础考点四】用空间向量求线面角12
【基础考点五】用空间向量求二面角14
【综合考点】15
【综合考点一】点到线（面）距离15
【综合考点二】已知线面角求参数17
【综合考点三】已知二面角求参数19
【培优考点】20
【培优考点一】探索性问题20
【培优考点二】最值与范围问题22
【总结提升】24
【专项检测】26
备考指南
预测：以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来求解；空间距离(特别是点到面的距离)也是高考题中的常见题型，多以解答题的形式出现，难度中等.以空间向量为工具，探究空间几何体中线面关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.近几年在立体几何客观的考察中，第2问用空间向量来处理对学生更加有利.在二轮复习时建议加强对基础性的考点训练，同时也要强化计算量.能够解决探索性的基本问题与最值和范围与其他知识点的联系.
真题在线
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
2．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
4．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
5．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
8．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
9．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
10．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
11．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
12．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
13．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
14．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
基础考点
【考点一】空间直角坐标系
【典例精讲】（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）直角中是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时（ ）
A．
B．
C．直线与的夹角余弦值为
D．四面体的外接球的表面积为
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·河南·校联考模拟预测）在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·校联考三模）在平面直角坐标系中，为圆上的动点，定点．现将轴左侧半圆所在坐标平面沿轴翻折，与轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点翻折至，仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则，两点间距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面为矩形，，，且，、分别为、的中点，与底面所成的角为，过点作，垂足为．下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
三、填空题
4．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）某同学参加课外航模兴趣小组活动，学习模型制作.将一张菱形铁片进行翻折，菱形的边长为1，，E是边上一点，将沿着DE翻折到位置，使平面面，则点A与之间距离最小值是 .
【考点二】空间向量及运算
【典例精讲】（多选）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体 ，，是线段上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．该长方体外接球表面积为B．三棱锥的体积为定值
C．当时，D．的最大值为1
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．两个非零向量与任何一个向最都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
二、多选题
3．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
4．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【考点三】求平面法向量
【典例精讲】（多选）（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则（ ）
A．平面B．平面平面
C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京昌平·统考二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
二、多选题
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，设，，则（ ）
A．当时，
B．，使得平面
C．，使得平面
D．当时，与平面所成角为
三、填空题
4．（2021上·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期中）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为 ．
【考点四】用空间向量求线面角
【典例精讲】（2023上·广西·高二桂林中学校联考阶段练习）如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值.
【变式训练】
1．（2023·浙江·统考一模）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．
(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点，且，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2023·全国·模拟预测）如图，在体积为的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是边长为2的正三角形．
(1)求证：平面平面．
(2)求与平面所成角的正弦值．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱的中点，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【考点五】用空间向量求二面角
【典例精讲】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.
(1)在线段上找一点，使平面，并说明理由；
(2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.
【变式训练】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
2．（2023·江西景德镇·统考一模）如图，三棱锥中，与均为等边三角形，，M为的中点.
(1)求证：；
(2)，求二面角的余弦值.
3．（2023·海南·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2023·全国·模拟预测）如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．
(1)证明：平面FND；
(2)若P为FC的中点，求二面角的正弦值．
综合考点
【考点一】点到线（面）距离
【典例精讲】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．
(1)证明：；
(2)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的正弦值．
【变式训练】
1．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）如图，在长方体中，和交于点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点A到平面的距离.
2．（2022上·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期末）如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面.
(1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；
(2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台中，平面，，且，，是的中点．
(1)求三角形重心到直线的距离；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2017·贵州贵阳·统考一模）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.
(1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）；
(2)若，求平面与平面的距离.
【考点二】已知线面角求参数
【典例精讲】（2023·江苏·统考一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
【变式训练】
1．（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.
(1)求二面角的余弦值；
(2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，平面ABC，，侧面ABFE为正方形，，M为AB的中点，．
(1)证明：；
(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为，求实数λ的值．
3．（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．
(1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【考点三】已知二面角求参数
【典例精讲】（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.
(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
【变式训练】
1．（2017·安徽黄山·校联考二模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，M在PC上，且PA∥平面MBD．
(1)求证：M是PC的中点.
(2)在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．
(1)求证：；
(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．
4．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
培优考点
【考点一】探索性问题
【典例精讲】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在四面体中，分别是线段的中点，.
(1)证明：平面；
(2)是否存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由.
2．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.
(1)求证：；
(2)求点到侧面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
3．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．
(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
【考点二】最值与范围问题
【典例精讲】（2023·新疆·校联考二模）如图，在直四棱柱中，，，为等边三角形．
(1)证明：；
(2)设侧棱，点E在上，当的面积最小时，求AE与平面所成的角的大小．
【变式训练】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.
(1)求证：；
(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2023·四川乐山·统考三模）如图，正方形ABCD的边长为4，PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，，M为棱PD上一点．
(1)是否存在点M，使得直线平面BPQ?若存在，请指出点M的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)当的面积最小时，求二面角的余弦值．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）在中，对应的边分别为，且．且
(1)求；
(2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围．
4．（2022·江西萍乡·统考三模）如图，在水平放置的直角梯形中，.以所在直线为轴，将向上旋转角得到，其中.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角余弦值不超过，求的范围.
总结提升
1.利用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定就是两异面直线所成的角，也可能是其补角.
2.用向量法时，要注意向量夹角与异面直线所成角的范围不同.
3.求直线与平面所成角的方法
方法一：几何法.步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.
方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量eq \(AB,\s\up6(→))；②计算cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·n,|\(AB,\s\up6(→))||n|)；③利用sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|，以及θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求出角θ.
4.几何法求线面角的关键是找出线面角(重点是找垂线与射影)，然后在三角形中应用余弦定理(勾股定理)求解；
5.向量法求线面角时要注意：线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝eq \f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq \f(π,2)，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.
6.求平面与平面的夹角方法
方法一：几何法.步骤为：
①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；
②证明所找的角就是要求的角；
③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.
方法二：空间向量法.步骤为：
①求两个平面α，β的法向量m，n；
②计算cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m|·|n|)；③设两个平面的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈m，n〉|.
7.用几何法求解二面角的关键是：先找(或作)出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.
8.利用法向量的依据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在求二面角的大小时，一定要判断出二面角的平面角是锐角还是钝角，否则解法是不严谨的.
9.空间中点、线、面距离的相互转化关系
10.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.
11.探究问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或平面与平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.解题思路：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
12.解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的应用.
专项检测
一、单选题
1．（2023·山东聊城·统考模拟预测）在三棱锥中，，，，二面角的大小为．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．两个非零向量与任何一个向最都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
3．（2021·浙江·校联考二模）如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（ ）
A．当增大时，先增大后减小B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小D．当增大时，先减小后增大
4．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在正方体中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：
①；
②异面直线与所成角的取值范围为；
③有且仅有一个点P，使得平面；
④三棱锥的体积是定值．
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023·全国·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论：
①在M，N两点的运动过程中，⊥平面；
②在平面上存在一点P，使得平面；
③三棱锥的体积为定值；
④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．②③④
7．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）直角中是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时（ ）
A．
B．
C．直线与的夹角余弦值为
D．四面体的外接球的表面积为
10．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在长方体中，，点在底面的边界及其内部运动，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点满足，则
B．点到平面的距离范围为
C．若点满足，则不存在点使得
D．当时，四面体的外接球体积为
11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点A到直线的距离为
B．点B到平面的距离为
C．若点在直线上，则
D．若点在平面内，则
12．（2022上·江苏淮安·高三校考阶段练习）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，与所成夹角可能为
B．当时，的最小值为
C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为
三、填空题
13．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和： .
14．（2022·辽宁·校联考三模）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，上，且，，平面与交于点H，则＝ ．
15．（2023·全国·模拟预测）如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
16．（2023·北京西城·统考一模）如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．
给出下列四个结论：
①的最小值为；
②四面体的体积为；
③有且仅有一条直线与垂直；
④存在点，，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
17．（2022·山东德州·统考二模）《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”，底面为边长为2的正方形，侧棱⊥面，，E、F为边、上的点，，，点M为AD的中点．
(1)若，证明：面PBM⊥面PAF；
(2)是否存在实数，使二面角的大小为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线与面所成角的正弦值．
18．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：
(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(2)求锐二面角的余弦值的取值范围．
19．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
20．（2022上·江苏·高三校联考开学考试）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
21．（2024·浙江温州·统考一模）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
22．（2023·广西南宁·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角.
(1)当时，求证：；
(2)当时，求二面角的正弦值.考点
考情分析
考频
空间几何体的表面积、体积
2023年新高考Ⅰ卷T14
2023年新高考Ⅱ卷T9
2023年新高考Ⅱ卷T14
2023年全国乙卷T3
2023年全国乙卷T8
2022年新高考Ⅰ卷T4
2022年新高考Ⅱ卷T11
2022年全国甲卷T4
2022年全国甲卷T9
2021年新高考Ⅰ卷T3
2021年新高考Ⅱ卷T4
2021年新高考Ⅱ卷T5
3年12考
球与多面体的切接
2023年全国乙卷T16
2022年新高考Ⅰ卷T8
2022年新高考Ⅱ卷T7
2022年全国乙卷T9
2021年全国甲卷T11
3年5考
线面位置关系
2023年全国乙卷T9
2022年新高考Ⅰ卷T9
2022年全国甲卷T7
2022年全国乙卷T7
2021年新高考Ⅱ卷T10
2021年全国乙卷T5
3年6考
空间角与线面位置关系综合
2023年新高考Ⅰ卷T18
2023年新高考Ⅱ卷T20
2023年全国甲卷T18
2023年全国乙卷T19
2022年新高考Ⅰ卷T19
2022年新高考Ⅱ卷T20
2022年全国甲卷T18
2022年全国乙卷T18
2021年新高考Ⅱ卷T19
2021年全国甲卷T19
2021年全国乙卷T18
3年11考
立体几何综合
2023年新高考Ⅰ卷T12
2021年新高考Ⅰ卷T12
2021年新高考Ⅰ卷T20
2年3考
最短距离、截面、截线
2023年新高考Ⅱ卷T14
2023年全国甲卷T15
1年2考
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题08 点、线、面位置关系向量法（新高考）
目录
【备考指南】2
【真题在线】3
【基础考点】8
【基础考点一】空间直角坐标系8
【基础考点二】空间向量及运算9
【基础考点三】求平面法向量10
【基础考点四】用空间向量求线面角12
【基础考点五】用空间向量求二面角14
【综合考点】15
【综合考点一】点到线（面）距离15
【综合考点二】已知线面角求参数17
【综合考点三】已知二面角求参数19
【培优考点】20
【培优考点一】探索性问题20
【培优考点二】最值与范围问题22
【总结提升】24
【专项检测】26
备考指南
预测：以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来求解；空间距离(特别是点到面的距离)也是高考题中的常见题型，多以解答题的形式出现，难度中等.以空间向量为工具，探究空间几何体中线面关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.近几年在立体几何客观的考察中，第2问用空间向量来处理对学生更加有利.在二轮复习时建议加强对基础性的考点训练，同时也要强化计算量.能够解决探索性的基本问题与最值和范围与其他知识点的联系.
真题在线
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
2．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
4．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
5．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
8．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
9．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
10．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
11．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
12．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
13．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
14．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
基础考点
【考点一】空间直角坐标系
【典例精讲】（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）直角中是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时（ ）
A．
B．
C．直线与的夹角余弦值为
D．四面体的外接球的表面积为
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·河南·校联考模拟预测）在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·校联考三模）在平面直角坐标系中，为圆上的动点，定点．现将轴左侧半圆所在坐标平面沿轴翻折，与轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点翻折至，仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则，两点间距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面为矩形，，，且，、分别为、的中点，与底面所成的角为，过点作，垂足为．下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
三、填空题
4．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）某同学参加课外航模兴趣小组活动，学习模型制作.将一张菱形铁片进行翻折，菱形的边长为1，，E是边上一点，将沿着DE翻折到位置，使平面面，则点A与之间距离最小值是 .
【考点二】空间向量及运算
【典例精讲】（多选）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体 ，，是线段上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．该长方体外接球表面积为B．三棱锥的体积为定值
C．当时，D．的最大值为1
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．两个非零向量与任何一个向最都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
二、多选题
3．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
4．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【考点三】求平面法向量
【典例精讲】（多选）（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则（ ）
A．平面B．平面平面
C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京昌平·统考二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
二、多选题
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，设，，则（ ）
A．当时，
B．，使得平面
C．，使得平面
D．当时，与平面所成角为
三、填空题
4．（2021上·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期中）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为 ．
【考点四】用空间向量求线面角
【典例精讲】（2023上·广西·高二桂林中学校联考阶段练习）如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值.
【变式训练】
1．（2023·浙江·统考一模）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．
(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点，且，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2023·全国·模拟预测）如图，在体积为的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是边长为2的正三角形．
(1)求证：平面平面．
(2)求与平面所成角的正弦值．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱的中点，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【考点五】用空间向量求二面角
【典例精讲】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.
(1)在线段上找一点，使平面，并说明理由；
(2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.
【变式训练】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
2．（2023·江西景德镇·统考一模）如图，三棱锥中，与均为等边三角形，，M为的中点.
(1)求证：；
(2)，求二面角的余弦值.
3．（2023·海南·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2023·全国·模拟预测）如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．
(1)证明：平面FND；
(2)若P为FC的中点，求二面角的正弦值．
综合考点
【考点一】点到线（面）距离
【典例精讲】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．
(1)证明：；
(2)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的正弦值．
【变式训练】
1．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）如图，在长方体中，和交于点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点A到平面的距离.
2．（2022上·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期末）如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面.
(1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；
(2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台中，平面，，且，，是的中点．
(1)求三角形重心到直线的距离；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2017·贵州贵阳·统考一模）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.
(1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）；
(2)若，求平面与平面的距离.
【考点二】已知线面角求参数
【典例精讲】（2023·江苏·统考一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
【变式训练】
1．（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.
(1)求二面角的余弦值；
(2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，平面ABC，，侧面ABFE为正方形，，M为AB的中点，．
(1)证明：；
(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为，求实数λ的值．
3．（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．
(1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【考点三】已知二面角求参数
【典例精讲】（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.
(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
【变式训练】
1．（2017·安徽黄山·校联考二模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，M在PC上，且PA∥平面MBD．
(1)求证：M是PC的中点.
(2)在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．
(1)求证：；
(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．
4．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
培优考点
【考点一】探索性问题
【典例精讲】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在四面体中，分别是线段的中点，.
(1)证明：平面；
(2)是否存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由.
2．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.
(1)求证：；
(2)求点到侧面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
3．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．
(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
【考点二】最值与范围问题
【典例精讲】（2023·新疆·校联考二模）如图，在直四棱柱中，，，为等边三角形．
(1)证明：；
(2)设侧棱，点E在上，当的面积最小时，求AE与平面所成的角的大小．
【变式训练】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.
(1)求证：；
(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2023·四川乐山·统考三模）如图，正方形ABCD的边长为4，PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，，M为棱PD上一点．
(1)是否存在点M，使得直线平面BPQ?若存在，请指出点M的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)当的面积最小时，求二面角的余弦值．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）在中，对应的边分别为，且．且
(1)求；
(2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围．
4．（2022·江西萍乡·统考三模）如图，在水平放置的直角梯形中，.以所在直线为轴，将向上旋转角得到，其中.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角余弦值不超过，求的范围.
总结提升
1.利用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定就是两异面直线所成的角，也可能是其补角.
2.用向量法时，要注意向量夹角与异面直线所成角的范围不同.
3.求直线与平面所成角的方法
方法一：几何法.步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.
方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量eq \(AB,\s\up6(→))；②计算cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·n,|\(AB,\s\up6(→))||n|)；③利用sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|，以及θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求出角θ.
4.几何法求线面角的关键是找出线面角(重点是找垂线与射影)，然后在三角形中应用余弦定理(勾股定理)求解；
5.向量法求线面角时要注意：线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝eq \f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq \f(π,2)，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.
6.求平面与平面的夹角方法
方法一：几何法.步骤为：
①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；
②证明所找的角就是要求的角；
③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.
方法二：空间向量法.步骤为：
①求两个平面α，β的法向量m，n；
②计算cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m|·|n|)；③设两个平面的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈m，n〉|.
7.用几何法求解二面角的关键是：先找(或作)出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.
8.利用法向量的依据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在求二面角的大小时，一定要判断出二面角的平面角是锐角还是钝角，否则解法是不严谨的.
9.空间中点、线、面距离的相互转化关系
10.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.
11.探究问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或平面与平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.解题思路：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
12.解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的应用.
专项检测
一、单选题
1．（2023·山东聊城·统考模拟预测）在三棱锥中，，，，二面角的大小为．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．两个非零向量与任何一个向最都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
3．（2021·浙江·校联考二模）如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（ ）
A．当增大时，先增大后减小B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小D．当增大时，先减小后增大
4．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在正方体中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：
①；
②异面直线与所成角的取值范围为；
③有且仅有一个点P，使得平面；
④三棱锥的体积是定值．
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023·全国·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论：
①在M，N两点的运动过程中，⊥平面；
②在平面上存在一点P，使得平面；
③三棱锥的体积为定值；
④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．②③④
7．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）直角中是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时（ ）
A．
B．
C．直线与的夹角余弦值为
D．四面体的外接球的表面积为
10．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在长方体中，，点在底面的边界及其内部运动，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点满足，则
B．点到平面的距离范围为
C．若点满足，则不存在点使得
D．当时，四面体的外接球体积为
11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点A到直线的距离为
B．点B到平面的距离为
C．若点在直线上，则
D．若点在平面内，则
12．（2022上·江苏淮安·高三校考阶段练习）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，与所成夹角可能为
B．当时，的最小值为
C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为
三、填空题
13．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和： .
14．（2022·辽宁·校联考三模）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，上，且，，平面与交于点H，则＝ ．
15．（2023·全国·模拟预测）如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
16．（2023·北京西城·统考一模）如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．
给出下列四个结论：
①的最小值为；
②四面体的体积为；
③有且仅有一条直线与垂直；
④存在点，，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
17．（2022·山东德州·统考二模）《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”，底面为边长为2的正方形，侧棱⊥面，，E、F为边、上的点，，，点M为AD的中点．
(1)若，证明：面PBM⊥面PAF；
(2)是否存在实数，使二面角的大小为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线与面所成角的正弦值．
18．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：
(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(2)求锐二面角的余弦值的取值范围．
19．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
20．（2022上·江苏·高三校联考开学考试）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
21．（2024·浙江温州·统考一模）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
22．（2023·广西南宁·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角.
(1)当时，求证：；
(2)当时，求二面角的正弦值.考点
考情分析
考频
空间几何体的表面积、体积
2023年新高考Ⅰ卷T14
2023年新高考Ⅱ卷T9
2023年新高考Ⅱ卷T14
2023年全国乙卷T3
2023年全国乙卷T8
2022年新高考Ⅰ卷T4
2022年新高考Ⅱ卷T11
2022年全国甲卷T4
2022年全国甲卷T9
2021年新高考Ⅰ卷T3
2021年新高考Ⅱ卷T4
2021年新高考Ⅱ卷T5
3年12考
球与多面体的切接
2023年全国乙卷T16
2022年新高考Ⅰ卷T8
2022年新高考Ⅱ卷T7
2022年全国乙卷T9
2021年全国甲卷T11
3年5考
线面位置关系
2023年全国乙卷T9
2022年新高考Ⅰ卷T9
2022年全国甲卷T7
2022年全国乙卷T7
2021年新高考Ⅱ卷T10
2021年全国乙卷T5
3年6考
空间角与线面位置关系综合
2023年新高考Ⅰ卷T18
2023年新高考Ⅱ卷T20
2023年全国甲卷T18
2023年全国乙卷T19
2022年新高考Ⅰ卷T19
2022年新高考Ⅱ卷T20
2022年全国甲卷T18
2022年全国乙卷T18
2021年新高考Ⅱ卷T19
2021年全国甲卷T19
2021年全国乙卷T18
3年11考
立体几何综合
2023年新高考Ⅰ卷T12
2021年新高考Ⅰ卷T12
2021年新高考Ⅰ卷T20
2年3考
最短距离、截面、截线
2023年新高考Ⅱ卷T14
2023年全国甲卷T15
1年2考
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