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热点7-4 抛物线及其应用（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份热点7-4 抛物线及其应用（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含热点7-4抛物线及其应用6题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、热点7-4抛物线及其应用6题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点7-4 抛物线及其应用
抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。
【题型1 抛物线的定义及概念辨析】
【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 抛物线标准方程的求解】
【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式3-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）点M为抛物线上点，抛物线焦点为F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若是以为底边的等腰三角形，且，则抛物线方程为 .
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）若点A，B在抛物线上，O是坐标原点，正三角形OAB的面积为，则该抛物线的方程是 ．
【题型4 抛物线的中点弦问题】
【例4】（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【变式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ．
【变式4-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .
【变式4-4】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【题型5 抛物线的弦长问题】
【例5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式5-2】（2022·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
【变式5-3】（2022·四川内江·统考模拟预测）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
（1）若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
【变式5-4】（2023·湖南邵阳·高三邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
【题型6 直线与抛物线综合应用】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围．
【变式6-1】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
（1）求抛物线C的方程：
（2）当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【变式6-2】（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.
（1）求的方程；
（2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的准线经过点 ．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-4】（2023·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点A作垂直于C的准线于点D．若，则p的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）设为抛物线的焦点，点为上第四象限的点．若直线的方程为，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A． B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
9．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）（多选）直线与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．拋物线的焦点为
C．若为原点，则 D．若，则
10．（2023上·山东·高三校联考开学考试）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（ ）
A． B．当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C． D．
11．（2023·天津北辰·高三统考期中）一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且该直线与圆相交于A，两点，则 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ．
13．（2023上·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ．
14．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.
（1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.
15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
（1）设为抛物线上的动点，求的取值范围；
（2）记的面积为的面积为，求的最小值．满分技巧
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2).
满分技巧
与抛物线有关的最值问题的转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
满分技巧
1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
2、待定系数法
（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
满分技巧
设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：
满分技巧
1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，
（为直线的斜率，且）.
2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
满分技巧
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点7-4 抛物线及其应用
抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。
【题型1 抛物线的定义及概念辨析】
【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 抛物线标准方程的求解】
【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式3-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）点M为抛物线上点，抛物线焦点为F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若是以为底边的等腰三角形，且，则抛物线方程为 .
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）若点A，B在抛物线上，O是坐标原点，正三角形OAB的面积为，则该抛物线的方程是 ．
【题型4 抛物线的中点弦问题】
【例4】（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【变式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ．
【变式4-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .
【变式4-4】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【题型5 抛物线的弦长问题】
【例5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式5-2】（2022·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
【变式5-3】（2022·四川内江·统考模拟预测）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
（1）若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
【变式5-4】（2023·湖南邵阳·高三邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
【题型6 直线与抛物线综合应用】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围．
【变式6-1】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
（1）求抛物线C的方程：
（2）当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【变式6-2】（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.
（1）求的方程；
（2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的准线经过点 ．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-4】（2023·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点A作垂直于C的准线于点D．若，则p的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）设为抛物线的焦点，点为上第四象限的点．若直线的方程为，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A． B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
9．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）（多选）直线与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．拋物线的焦点为
C．若为原点，则 D．若，则
10．（2023上·山东·高三校联考开学考试）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（ ）
A． B．当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C． D．
11．（2023·天津北辰·高三统考期中）一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且该直线与圆相交于A，两点，则 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ．
13．（2023上·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ．
14．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.
（1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.
15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
（1）设为抛物线上的动点，求的取值范围；
（2）记的面积为的面积为，求的最小值．满分技巧
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2).
满分技巧
与抛物线有关的最值问题的转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
满分技巧
1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
2、待定系数法
（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
满分技巧
设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：
满分技巧
1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，
（为直线的斜率，且）.
2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
满分技巧
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
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