2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合 A={x||x|<1}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=( )
A. {−1,1,2}B. {−1,0,1}C. {0,1}D. {0}
2.从集合{1,2,3,4,5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
3.已知a=lge，b=e2，c=ln110(e=2.71828⋯)，那么( )
A. b4.如图，曲线y=f(x)在点(2,2)处的切线为直线l，直线l经过原点O，则f′(2)+f(2)=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.在(x−2)10的展开式中，x6的系数为( )
A. 16C104B. 32C104C. −8C106D. −16C106
6.如图(1)、(2)、(3)分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为( )
A. r37.已知等比数列{an}的首项和公比相等，那么数列{an}中与a3a7一定相等的项是( )
A. a5B. a7C. a9D. a10
8.已知x=1是函数f(x)=(x−1)2(x−a)的极小值点，那么a的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)
9.在函数y=xlnx，y=csx，y=2x，y=x−lnx中，导函数值不可能取到1的是( )
A. y=xlnxB. y=csxC. y=2xD. y=x−lnx
10.已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为( )
A. 47B. 23C. 13D. 16
11.声压级(SPL)是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB(分贝).人类产生听觉的最低声压为20μPa(微帕)，通常以此作为声压的基准值.声压级的计算公式为：SPL=20×lgPPref，其中P是测量的有效声压值，Pref声压的基准值，Pref=20μPa.由公式可知，当声压P=20μPa时，SPL=0dB.若测得某住宅小区白天的SPL值为50dB，夜间的SPL值为30dB，则该小区白天与夜间的有效声压比为( )
A. 53B. 10C. 32D. 20
12.已知函数f(x)=aex−12x2(a∈R)，
①当a≤0时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递减；
②当0③当a≥1e时，f(x)有最大值.
那么上面说法正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an−1(n∈N,n>1)，那么a3=______；数列{an}的通项公式为an=______.
14.若函数f(x)=lg(x2−mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围是______.
15.设函数f(x)=x3+ax(a为常数)，若f(x)在(0,+∞)单调递增，写出一个可能的a值______.
16.幸福感是个体的一种主观情感体验，生活中的多种因素都会影响人的幸福感受.为研究男生与女生的幸福感是否有差异，一位老师在某大学进行了随机抽样调查，得到如下数据：
由此计算得到χ2=1184×(638×46−128×372)21010×174×766×418≈7.022，已知P(χ2≥6.635)=0.01，P(χ2≥7.879)=0.005.根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，______(填“可以”或“不能”)认为男生与女生的幸福感有差异；根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验，______(填“可以”或“不能”)认为男生与女生的幸福感有差异.
17.盲盒，是一种新兴的商品.商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买时不知道自己买到的是哪一款商品.现有一商家设计了同一系列的A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售卖，已知A、B、C三款玩偶的生产数量比例为6：3：1.以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买4个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为______.
18.设f(x)=sinx+mx(m∈R)，给出下列四个结论：
①不论m为何值，曲线y=f(x)总存在两条互相平行的切线；
②不论m为何值，曲线y=f(x)总存在两条互相垂直的切线；
③不论m为何值，总存在无穷数列{an}，使曲线y=f(x)在x=an(n=1,2,3,⋯)处的切线互相平行；
④不论m为何值，总存在无穷数列{an}，使曲线y=f(x)在x=an(n=1,2,3,⋯)处的切线为同一条直线.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛.某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.
(Ⅰ)一共有多少种不同的出场阵容？
(Ⅱ)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
20.(本小题10分)
已知y=f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，当x∈[−3,0]时，f(x)=19x+a4x(a∈R).
(Ⅰ)求y=f(x)在(0,3]上的解析式；
(Ⅱ)当x∈[−1,−12]时，不等式f(x)≤m3x−14x−1恒成立，求实数m的取值范围.
21.(本小题10分)
近年来，为改善城市环境，实现节能减排，许多城市出台政策大力提倡新能源汽车的使用.根据中国汽车流通协会的发布会报告，将2023年1月、2月新能源乘用车市场销量排名前十的城市及其销量统计如表：
表1
表2
(Ⅰ)从1月、2月这两个月中随机选出一个月，再从选出这个月中新能源乘用车市场销量排名前十的城市中随机抽取一个城市，求该城市新能源汽车销量大于10000的概率；
(Ⅱ)从表1、表2的11个城市中随机抽取2个不同的城市，设这两个城市中2月排名比1月上升的城市的个数为X，求X的分布列及数学期望.
22.(本小题10分)
已知函数f(x)=(m−x)ex，m∈R.
(Ⅰ)若m=2，求f(x)在区间[−1,2]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)设g(x)=xf(x)，求证：g(x)恰有2个极值点；
(Ⅲ)若∀x∈[−2,1]，不等式kex≥x+2恒成立，求k的最小值.
23.(本小题8分)
已知数列{an}满足a1=1，an=2an−1+1(n>1,n∈N).
(Ⅰ)求a2，a3，a4的值；
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an；
(Ⅲ)若数列{bn}满足b1=1，bn=bn−12+2bn−1(n>1,n∈N).对任意的正整数n，是否都存在正整数m，使得am=bn？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={x||x|<1}={x|−1∴A∩B={0}.
故选：D.
解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B.
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用．
2.【答案】D
【解析】解：平面坐标系中坐标的横坐标和纵坐标位置不同，
横坐标有5种，纵坐标有5种，则共有5×5=25种不同的点．
故选：D.
利用分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：已知lg1所以0又b=e2>e0，
所以b>1，
因为c=ln110=−ln10<0，
所以b>a>c.
故选：D.
由题意，根据对数函数和指数函数的性质进行求解即可．
本题考查对数值的大小比较，考查了逻辑推理和运算能力．
4.【答案】C
【解析】解：∵曲线y=f(x)在点(2,2)处的切线l经过原点O，
∴f′(2)=2−02−0=1，又f(2)=2，
∴f′(2)+f(2)=1+2=3.
故选：C.
由已知利用两点求斜率公式可得f′(2)，由题意知f(2)=2，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：T5=∁104x6(−2)4=16∁104x6，
∴x6的系数为16∁104，
故选：A.
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由散点图可知，图(1)和图(3)是正相关，相关系数大于0
图(2)是负相关，相关系数小于0
又图(1)和图(2)的点相对集中，
所以相关性更强，
此时r1接近于1，r2接近于−1，
所以r1>r3>r2.
故选：B.
由题意，根据所给散点图，先判断是正相关还是负相关，再根据点的集中程度分析相关系数的大小．
本题考查了相关系数，考查了逻辑推理和数据分析．
7.【答案】D
【解析】解：等比数列{an}中，首项和公比相等，则有a1=q≠0，
a3a7=a1q2⋅a1q6=q10，a5=a1q4=q5，
a7=a1q6=q7，a9=a1q8=q9，a10=a1q9=q10，
则a3a7=a10.
故选：D.
直接代入通项公式即可判断各个选项．
本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：已知f(x)=(x−1)2(x−a)，函数定义域为R，
可得f′(x)=(x−1)(3x−2a−1)，
解得x=1或x=2a+13，
当1<2a+13，即a>1时，
当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1当x>2a+13时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
易知当x=1时，函数f(x)取得极大值，不符合题意；
当1=2a+13，即a=1时，f′(x)=3(x−1)2≥0恒成立，
所以函数f(x)在R上单调递增，无极值点，不符合题意；
当1>2a+13，即a<1时，
当x<2a+13时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当2a+13当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
易知当x=1时，函数f(x)取得极小值，符合题意，
综上，a的取值范围为(−∞,1).
故选：A.
由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论当1<2a+13，1=2a+13和1>2a+13这三种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=xlnx，y′=lnx+1，当x=1时，有y′=1；
对于B，y=csx，y′=−sinx，当x=2kπ+32π(k∈Z)时，有y′=1；
对于C，y=2x，y′=2xln2，存在x的值，使得y′=1，符合题意；
对于D，y=x−lnx，y′=1−1x，由于x>0，则有y′<1，导函数值不可能取到1.
故选：D.
根据题意，依次求出4个函数的导数，分析可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：设事件A表示“第一次取得次品”，事件B表示“第二次取得正品”，
则P(A)=C31C71=37，P(AB)=14C31C16C71C=27，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=2737=23.
故选：B.
利用条件概率公式求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意知，SPL=20×lgPPref中，P是测量的有效声压值，Pref=20μPa；
当声压P=20μPa时，SPL=0dB，所以SPL20=lgP20，所以P=20×10SPL20，
白天的SPL值为50dB，夜间的SPL值为30dB，
则该小区白天与夜间的有效声压比为20×10502020×103020=1052−32=10.
故选：B.
根据题意得出Pref=20μPa，求出声压P的解析式，再利用指数与对数的关系求解即可．
本题考查了指数与对数的运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
12.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=aex−12x2(a∈R)，
∴f′(x)=aex−x，
a≤0，x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，①正确；
令f′(x)=0，得a=xex，
令g(x)=xex，则g′(x)=1−xex，
令g′(x)>0，解得x<1，令g′(x)<0，解得x>1，
故g(x)在(−∞,1)递增，在(1,+∞)递减，
故g(x)max=g(1)=1e，
且x→−∞时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→0，
画出函数g(x)的图像，如图示：
，
当0则f′(x)=0有2个零点，f(x)有两个极值点，②正确；
当a≥1e时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，没有最大值，故③错误．
故选：C.
求出函数的导数，提供讨论a的范围，判断函数的单调性，从而判断极值点的个数以及函数的最值问题．
本题考查了函数的单调性，极值点，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论，考查转化思想，是中档题．
13.【答案】42n−1
【解析】解：由a1=1，且an=2an−1(n∈N,n>1)，
得数列{an}是首项a1=1，公比为2的等比数列，
则a3=22=4，an=1×2n−1=2n−1.
故答案为：4；2n−1.
由已知可得数列{an}是首项a1=1，公比为2的等比数列，则答案可求．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，是基础题．
14.【答案】(−2,2)
【解析】解：因为函数f(x)=lg(x2−mx+1)的定义域为R，
所以对于∀x∈R，x2−mx+1>0恒成立，
所以Δ=(−m)2−4<0，
解得−2即实数m的取值范围是(−2,2).
故答案为：(−2,2).
由题意可知，对于∀x∈R，x2−mx+1>0恒成立，再结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：令a=−1，
则f(x)=x3−1x，则f′(x)=3x2+1x2>0，
故a=−1时，f(x)在(0,+∞)单调递增．
故答案为：1.
对a赋值，求出函数的导数，判断函数的单调性，从而确定正误即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．
16.【答案】可以 不能
【解析】解：由题意，χ2=1184×(638×46−128×372)21010×174×766×418≈7.022>6.635，
所以根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验可以认为男生与女生的幸福感有差异；
χ2=1184×(638×46−128×372)21010×174×766×418≈7.022<7.879，
根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验，不能认为男生与女生的幸福感有差异．
故答案为：可以；不能．
根据教材中的观测值表，结合题意，即可得出正确的结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
17.【答案】0.216
【解析】解：由题意得，买到A的概率为0.4，买到B的概率为0.3，买到C的概率为0.1，
则某位消费者随机一次性购买4个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为C41×0.6×C31×0.3×C22×0.12+C41×0.6×C32×0.32×0.1+C42×0.62×C21×0.3×0.1=0.216.
故答案为：0.216.
根据古典概型概率公式和相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查古典概型概率公式，考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．
18.【答案】①③④
【解析】【分析】本题考查导数的运用，求切线方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
求得f(x)的导数，结合余弦函数的性质和数列的定义、两条直线的位置关系，可得结论．
【解答】解：f(x)=sinx+mx的导数为f′(x)=csx+m，
由x1+x2=2kπ(k∈Z)，可得f′(x1)=f′(x2)，
即有不论m为何值，曲线y=f(x)总存在两条互相平行的切线，故①正确；
若m=1，由f′(x)=csx+1≥0，曲线y=f(x)不存在两条互相垂直的切线，故②错误；
由①的分析，可得不论m为何值，总存在无穷数列{an}，使曲线y=f(x)在x=an(n=1,2,3,⋯)处的切线互相平行，故③正确；
不论m为何值，总存在无穷数列{an}，设an=t(t为常数)，使曲线y=f(x)在x=an(n=1,2,3,⋯)处的切线为同一条直线，故④正确．
故答案为：①③④．
19.【答案】解：(I)出场阵容可以分两步确定：第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有A52=20种，
第2步，从剩下的3名运动员中选出2人参加男双比赛，共有C32=3种，
则不同的出场阵容数量为20×3=60种．
(II)队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案，
第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出2人分别参加前两场单打比赛，共有A42=12种，
第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：
第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种：
第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种：
第3步，从剩下的3名队员中，选出2人参加男双比赛，共有C32=3种，
根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有2×4×C32=24种，
根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容数量为N=12+24=36种．
【解析】(Ⅰ)利用分步计数原理进行计算即可．
(Ⅱ)讨论队员A不参加任务比赛和队员A参加单打比赛，两种情况，利用分类计数和分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理和分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为y=f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，当x∈[−3,0]时，f(x)=19x+a4x(a∈R)，
所以f(0)=1+a=0，解得a=−1，
所以当x∈[−3,0]时，f(x)=19x−14x，
所以当x∈(0,3]时，−x∈[−3,0),
f(−x)=19−x−14−x=9x−4x，
即−f(x)=9x−4x，
所以f(x)=4x−9x；
(Ⅱ)因为f(x)≤m3x−14x−1恒成立，
即19x−14x≤m3x−14x−1在[−1,−12]上恒成立，
所以m≥3x[19x−14x+14x−1]在[−1,−12]上恒成立，
即m≥(13)x+3×(34)x在[−1,−12]上恒成立，
因为y=(13)x与y=3×(34)x在[−1,−12]上单调递减，
所以y=(13)x+3×(34)x在[−1,−12]上单调递减，
所以y=(13)x+3×(34)x在[−1,−12]上的最大值为：(13)−1+3×(34)−1=3+4=7，
所以m≥7，
故m的取值范围为：[7,+∞).
【解析】(Ⅰ)由f(0)=0解得a=−1，从而得f(x)的解析式，再根据奇函数的性质求解即可；
(Ⅱ)将问题转化为m≥(13)x+3×(34)x在[−1,−12]上恒成立，由函数y=(13)x+3×(34)x在[−1,−12]上单调性，求出最大值即可得答案．
本题考查了奇函数的性质、转化思想及指数函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设抽到的城市该月新能源汽车销量大于10000”为事件A，“
选取表1”为事件B，“选取表2”为事件C，则
P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=12×210+12×610=25；
(2)两个月共有11个城市上榜，其中2月排名比1月上升的城市有杭州，广州，北京，苏州，
故X可取0，1，2所以P(X=0)=C72C112=2155，P(X=1)=C71C41C112=2855，P(X=2)=C42C112=655，所以X的分布列为：
故随机变量X的数学期望E(X)=0×2155+1×2855+2×655=811.
【解析】(1)直接代入全概率公式计算即可；(2)依题意可得X可取0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
本题考查全概率公式，考查期望的计算，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)m=2时，f(x)=(2−x)ex，
则f′(x)=(1−x)ex，
令f′(x)>0，解得x<1，令f′(x)<0，解得x>1，
故f(x)在[−1,1)递增，在(1,2]递减，
∴f(x)max=f(1)=e，而f(−1)=3e，f(2)=0，
∴f(x)min=0.
(Ⅱ)证明：g(x)=xf(x)=(mx−x2)ex，
则g′(x)=(m−2x)ex+(mx−x2)ex=[−x2+(m−2)x+m]ex，
令h(x)=[−x2+(m−2)x+m,
则Δ=(m−2)2+4m=m2+4>0，
故h(x)有2个零点，即g′(x)有2个零点，
故g(x)恰有2个极值点．
(Ⅲ)若∀x∈[−2,1]，不等式kex≥x+2恒成立，
则k≥(x+2ex)max在x∈[−2,1]恒成立，
令p(x)=x+2ex，x∈[−2,1]，
则p′(x)=ex−(x+2)exe2x=−x−1ex，
令p′(x)>0，解得x<−1，令p′(x)<0，解得x>−1，
故p(x)在[−2,−1)递增，在(−1,1]递减，
故p(x)max=p(−1)=e，
∴k≥e，k的最小值是e.
【解析】(Ⅰ)代入m的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可；
(Ⅱ)求出函数的导数，根据函数的零点个数证明即可；
(Ⅲ)问题转化为k≥(x+2ex)max在x∈[−2,1]恒成立，令p(x)=x+2ex，x∈[−2,1]，根据函数的单调性求出函数的最大值，求出k的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
23.【答案】解：(Ⅰ)由a1=1，an=2an−1+1(n>1,n∈N)，
可得a2=2a1+1=3；a3=2a2+1=7，a4=2a3+1=15；
(Ⅱ)由an=2an−1+1，可得an+1=2(an−1+1)，
则{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则an+1=2n，即an=2n−1；
(Ⅲ)若数列{bn}满足b1=1，bn=bn−12+2bn−1(n>1,n∈N)，
可得bn+1=(bn−1+1)2>0，
两边取以2为底的对数，可得lg2(bn+1)=2lg2(bn−1+1)，
则lg2(bn+1)=lg22⋅2n−1=2n−1，
即有bn+1=22n−1，即bn=22n−1−1.
对任意的正整数n，假设都存在正整数m，使得am=bn，
可得2m−1=22n−1−1，即m=2n−1，
则对任意的正整数n，都有正整数m存在．
【解析】(Ⅰ)由数列的递推式和代入法，可得所求值；
(Ⅱ)将递推式两边加上1，结合等比数列的通项公式可得所求通项公式；
(Ⅲ)由数列的递推式可得bn+1=(bn−1+1)2>0，两边取以2为底的对数，由等比数列的通项公式和方程思想可得结论．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．幸福
不幸福
总计
男生
638
128
766
女生
372
46
418
总计
1010
174
1184
2023年1月
排名
城市
销量
1
上海
12370
2
深圳
12132
3
成都
8755
4
杭州
8718
5
郑州
8673
6
广州
8623
7
重庆
7324
8
西安
6851
9
天津
6649
10
苏州
6638
2023年2月
排名
城市
销量
1
上海
17707
2
杭州
15001
3
深圳
13873
4
广州
12496
5
郑州
11934
6
成都
11411
7
重庆
8712
8
北京
8701
9
苏州
8608
10
西安
7680
X
0
1
2
P
2155
2855
655