2022-2023学年河北省“五个一”名校联盟高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年河北省“五个一”名校联盟高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|y= x−1}，B={y|y= x−1}，则下列结论正确的是( )
A. A=BB. A⊆BC. B⊆AD. A∩B=⌀
2.已知|a|=1,|b|=2，|2a−b|=4，则a与b夹角的余弦值为( )
A. −1B. −12C. 0D. 1
3.已知双曲线x225−y29=1与双曲线x225+k−y29−k=1(0A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等
4.已知f(x)=ax+a−x，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是( )
A. f(3)>f(−2)B. f(0)>f(3)C. f(−1)>f(−3)D. f(0)>f(−1)
5.一条长椅上有6个座位，3个人坐.要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为( )
A. 36B. 48C. 72D. 96
6.某学校有男生600人，女生400人.为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为n的样本.经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20.结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为( )
A. 96B. 110C. 112D. 128
7.过直线x+y−4=0上一点向圆O：x2+y2=1作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则sinα=( )
A. 4 29B. 2 29C. 74D. 78
8.设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(32−x)=f(x)，f(1)=2.数列{an}满足a1=−1，an+1n+1=ann+2n(n+1)(nϵN*)，则f(a22)=( )
A. 0B. −1C. 2D. −2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是( )
A. 若事件A、B相互独立，则事件A、B也互斥
B. 若事件A、B相互独立，则事件A、B不互斥
C. 若事件A、B互斥，则事件A、B也相互独立
D. 若事件A、B互斥，则事件A、B不相互独立
10.函数y=f(x)由关系式x|x|+y|y|=1确定，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的零点为1
B. 函数的定义域和值域均为[−1,1]
C. 函数y=f(x)的图像是轴对称图形
D. 若g(x)=f(x)+x，则g(x)在定义域内满足g(x)>0恒成立
11.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发送信号0或1的概率是等可能的，则( )
A. 已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为(0.5)2⋅(0.96)2
B. 在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49
C. 在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.95
D. 在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为C32(0.49)2⋅0.51
12.已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边且长度是4.△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为直二面角，则下列说法正确的是( )
A. AB⊥CD
B. 三棱锥A−BCD的体积为8 63
C. 三棱锥A−BCD外接球的表面积为643π
D. 半径为12的球可以被整体放入以三棱锥A−BCD为模型做的容器中
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.方程(x−3)(x−5)+5=0在复数集C中的解为______.
14.sin20∘+2sin40∘cs20∘=______.
15.已知函数f(x)=csωx(ω>0)的图像关于点(3π4,0)对称，且在区间[0,π3]上单调，则ω=______.
16.如图所示，斜率为− 32的直线l交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于M、N两点，交x轴、y轴分别于Q、P两点，且MP=QN，则椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+5n，数列{bn}满足b1=8，bn=16bn+1.
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)是否存在常数p、q，使得对一切正整数n都有an=lgpbn+q成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，说明理由.
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(2b−c)csA=acsC.
(1)求角A的大小；
(2)设BC边上的高AD=1，求△ABC面积的最小值.
19.(本小题12分)
如图，圆锥PO的高为3，AB是底面圆O的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=2CD=2，点E在母线PB上，且BE=2EP.
(1)证明：平面AEC⊥平面POD；
(2)求平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为g(a).解不等式g(a)<2a−2.
21.(本小题12分)
已知B为抛物线y2=2x−2上一点，A(2,0)，B为AC的中点，设C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F(1,0)作直线交曲线E于点M、N，点P为直线l：x=−1上一动点.问是否存在点P使△MNP为正三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
22.(本小题12分)
航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展.某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩.经统计分析该市高中生竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x̄，σ2近似为样本方差s2，并已求得x̄=73和s2=37.5.
(1)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数；
(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过n.如果抽取次数的期望值不超过6，求n的最大值.
(附： 37.5≈6.1，0.9755≈0.881，0.9756=0.859，0.9757=0.838，0.9758=0.817，若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为集合A={x|y= x−1}={x|x≥1}，
又B={y|y= x−1}={y|y≥0}，
所以A⊆B.
故选：B.
先利用函数定义域和值域的解法求出集合A，B，然后由集合的关系进行判断即可．
本题考查了集合之间关系的判断，涉及了函数定义域和值域的解法，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵|a|=1,|b|=2,|2a−b|=4，
∴(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4+4−4a⋅b=16，
∴a⋅b=−2，
∴cs=a⋅b|a||b|=−21×2=−1.
故选：A.
对|2a−b|=4两边平方可求出a⋅b的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出a与b夹角的余弦值．
本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由双曲线x225−y29=1，得c1= 25+9= 34，
由双曲线x225+k−y29−k=1(0∴两双曲线的焦距相等．
故选：D.
由两双曲线方程分别求其焦距得结论．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，f(x)=ax+a−x，其定义域为R，
有f(−x)=ax+a−x=f(x)，则f(x)为偶函数，
设t=ax，则有y=t+1t，
当a>1时，在区间[0,+∞)上，t=ax，为增函数，且t≥1，
y=t+1t在[1,+∞)上也是增函数，
故f(x)在[0,+∞)上为增函数，
当0y=t+1t在(0,1)上是减函数，
故f(x)在[0,+∞)上为增函数，
综合可得：函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，
依次分析选项：
对于A，有f(3)>f(2)=f(−2)，A正确；
对于B，有f(0)对于C，有f(3)>f(1)=f(−1)，C错误；
对于D，f(0)故选：A.
根据题意，分析函数f(x)的奇偶性和单调性，由此分析选项，即可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①先让3人全排列，坐在3个位置上，有A33=6种排法，
②将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，
再将2个元素插入3个人形成的4个“空当”之间，有A42=6种插法，
故所求的坐法数为6×6=36种．
故选：A.
根据题意，分2步进行分析：可先让3人全排列坐在3个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入3个人形成的4个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，按分层抽样方式抽取样本，且该校女、男学生比例为400600=23，
不妨设抽取女、男学生分别为2n，3n，则总数为5n，
则所有样本平均值为15n×(80×3n+60×2n)=72，
所以方差为3n5n×[10+(80−72)2]+2n5n×[[20+(60−72)2]=110.
故选：B.
根据男、女学生比例，不妨设女、男学生分别为2n，3n，则总数为5n，求得所有样本的平均值，代入方差公式，即可得答案．
本题考查了求加权平均数与方差和标准差的问题，记住平均数与方差、标准差的公式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由圆O：x2+y2=1，可得圆心为(0,0)，半径为r=1，
设P是直线x+y−4=0的动点，自P向圆作切线，
当OP长最短时，两切线所成的角α最大，
即OP是圆心O到直线的距离时，两切线所成的角α最大，
由点到直线的距离公式可得d=|0+0−4| 2=2 2，
∴sinα2=12 2，∵0<α2<π2，∴csα2= 1−18= 72 2，
∴sinα=2sinα2csα2=2×12 2× 72 2= 74.
故选：C.
设P是直线x+y−4=0的动点，由题意可得OP是圆心O到直线的距离时，两切线所成的角α最大，计算可得sinα.
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，数列{an}满足a1=−1，且an+1n+1=ann+2n(n+1)(nϵN*)，
变形可得an+1n+1−ann=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
则有ann=(ann−an−1n−1)+(an−1n−1−an−2n−2)+...+(a22−a11)+a11
=2(1n−1−1n)+2(1n−2−1n−1)+...+2(1−12)−1=1−2n，
则an=n−2，故a22=22−2=20；
又由f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=−f(−x)，
又由f(x)满足f(32−x)=f(x)，则有−f(−x)=f(32−x)，得f(x+32)=−f(x)，
则有f(x+3)=−f(x+32)=f(x)，f(x)是周期为3的周期函数，
则有f(a22)=f(20)=f(2)=f(−1)=−f(1)=−2.
故选：D.
由已知数列递推式结合累加法求得数列{an}的通项公式，可得a22，再由已知求得函数的周期，进一步可得f(a22)的值．
本题考查函数与数列的综合应用，涉及函数奇偶性和周期的性质和应用以及数列的递推公式，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：若事件A、B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)>0，若事件A、B互斥，则有P(AB)=0，
所以事件A、B相互独立，事件A、B一定不互斥，A错误，B正确；
若事件A、B互斥，即不可能同时发生，相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生，所以事件A、B一定不独立，C错误，D正确．
故选：BD.
根据相互独立事件和互斥事件的联系与区别，即可判断正误．
本题考查相互独立事件和互斥事件的概念，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：函数y=f(x)由关系式x|x|+y|y|=1确定，
y=f(x)=− x2−1,x≥1 1−x2,0≤x<1 x2+1,x<0，作出f(x)的图象如图所示：
由图可知，函数f(x)的零点为1，故A正确；
函数的定义域和值域均为R，故B错误；
函数y=f(x)的图像是轴对称图形，对称轴方程为y=x，故C正确；
若g(x)=f(x)+x，由图可知，g(x)在定义域内满足g(x)>0恒成立，故D正确．
故选：ACD.
由题意写出分段函数解析式，画出图象，结合图象依次分析四个选项得答案．
本题考查曲线与方程，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：A.已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为(0.96)2，A错误；
B.在单次发送信号中，接收到0的概率为0.5×0.94+0.5×0.04=0.49，B正确；
C.在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.5×0.96+0.5×0.94=0.95，C正确；
D.在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为C32×0.492×0.51，D正确．
故选：BCD.
根据相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
12.【答案】ACD
【解析】解：取AB的中点E，连接DE，EC，
∵△ABC为等腰直角三角形，△ABD为等边三角形，
∴CE⊥AB，DE⊥BA，CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，
∵CD⊂平面CDE，∴AB⊥DE，故A正确；
∴∠DEC为二面角C−AB−D的平面角，
∵二面角C−AB−D为直二面角，∴∠DEC=90∘，
∴DE⊥平面ABC，
∴VA−BCD=VD−ABC=13×S△ABC⋅DE=13×12×2 2×2 2×2 3=8 33，故B错误；
又E是三角形ABC的外心，
故三棱锥A−BCD的外接球的球心在DE上，
设外接球的半径为R，则(DE−R)2+BE2=R2，
即(2 3−R)2+22=R2，解得R=4 3，
∴三棱锥A−BCD外接球的表面积为4πR2=643π，故C正确；
设三棱锥A−BCD的内切球半径为r，
易得CD=BD=DB=4，
则13(S△ABC⋅r+S△ABD⋅r+S△BDC⋅r+SACD⋅r)=VA−BCD，
∴13(4+12×4×4× 32+12×2 2× 42−( 2)2×2)=2 31+ 3+ 7>12，
∴半径为12的球可以被整体放入以三棱锥A−BCD为模型做的容器中，故D正确．
故选：ACD.
利用空间几何体的性质，结合每个选项的条件逐项分析计算可得结论．
本题考查空间几何体的体积的计算，外接球的半径的求法，内切球半径的求法，属中档题．
13.【答案】4±2i
【解析】解：(x−3)(x−5)+5=0，即x2−8x+20=0，
故(x−4)2=−4=4i2，解得x=4±2i.
故答案为：4±2i.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：原式=sin(30∘−10∘)+sin(30∘+10∘)+sin40∘cs20∘
=2sin30∘cs10∘+sin40∘cs20∘=cs10∘+sin40∘cs20∘
=sin(60∘+20∘)+sin(60∘−20∘)cs20∘
=2sin60∘cs20∘cs20∘= 3.
故答案为： 3.
由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】23或2
【解析】解：因为f(x)=csωx(ω>0)的图象关于点(3π4,0)对称，
所以3πω4=π2+kπ，k∈Z，
所以ω=2+4k3，
因为函数f(x)在区间[0,π3]上是单调函数，
所以T2≥π3−0，即πω≥π3，
所以0<ω≤3，
当k=0时，ω=23，k=1时，ω=2，符合题意．
故答案为：23或2.
由已知结合余弦函数的对称性及单调性可求ω.
本题主要考查了余弦函数的对称性及单调性的应用，属于中档题．
16.【答案】12
【解析】解：由题知，直线l的方程为：y=− 32x+t(t≠0)，
∴P(0,t)，Q(2 33t,0)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程y=− 32x+tx2a2+y2b2=1，
消y得：(34a2+b2)x2− 3a2tx+a2t2−a2b2=0，
∴x1+x2= 3a2t34a2+b2，①
∵MP=QN，MP=(−x1,y1−t)，QN=(x2−2 33t,y2)，
∴−x1=x2−2 33t，∴x1+x2=2 33t，②
∴由①②得： 3a234a2+b2=2 33，化简得：b2=34a2，
∴c2=a2−b2=14a2，∴c=12a，
∴e=ca=12.
故答案为：12.
由题意写出直线l的方程，联立消元得x1+x2= 3a2t34a2+b2①，求出P，Q的坐标，再由MP=QN得到x1+x2=2 33t②，由①②可得b2=34a2，，再由椭圆的离心率公式即可求得．
本题考查直线与椭圆得位置关系及椭圆的离心率，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：由Sn=2n2+5n，
得n=1时，a1=S1=2+5=7，
当n≥2时，Sn−1=2(n−1)2+5(n−1)，
∴an=Sn−Sn−1=2n2+5n−2(n−1)2−5(n−1)=4n+3.
a1=7适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an=4n+3.
∴an+1−an=4(n+1)+3−4n−3=4，n∈N*.
∴{an}是等差数列；
(2)解：∵bn=16bn+1，∴bn+1bn=116，
∴数列{bn}是以8为首项，116为公比的等比数列，
∴bn=8⋅(116)n−1=27−4n.
要使对一切正整数n都有an=lgpbn+q成立，
即4n+3=lgp27−4n+q=(7−4n)lgp2+q=−4nlgp2+7lgp2+q.
∴4=−4lgp23=7lgp2+q，解得p=12，q=10.
故存在常数p=12、q=10，使得对一切正整数n都有an=lgpbn+q成立．
【解析】(1)由Sn=2n2+5n，利用an=Sn−Sn−1求出数列通项公式，即可证明{an}是等差数列；
(2)由bn=16bn+1，得数列{bn}是以116为公比的等比数列，求其通项公式，再由an=lgpbn+q，利用系数相等求得p与q值得答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合运用，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)因为(2b−c)csA=acsC，由正弦定理可得2sinBcsA=sinCcsA+sinAcsC=sin(A+C)，
在三角形中，sinB=sin(A+C)，且sinB≠0，
所以csA=12，而A∈(0,π)，
可得A=π3；
(2)因为AD=1，由(1)可得：S△ABC=12bcsinA= 34bc=12a⋅AD=12a，
所以a= 32bc，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA≥2bc−bc=bc，
即34b2c2≥bc，可得bc≥43，
所以S△ABC≥43× 34= 33，
所以△ABC面积的最小值为 33.
【解析】(1)由题意及正弦定理可得csA的值，再由A角的取值范围，可得A角的大小；
(2)由题意和(1)可得a= 32bc，再由余弦定理可得bc的最小值，进而求出该三角形的面积．
本题考查正弦定理，余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：由已知可得CD//AO，且AO=CD=1，所以四边形OADC为平行四边形，
又因为OA=OC=1，所以平行四边形OADC为菱形，所以OD⊥AC，
在圆锥PO中，因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
因为PO∩OD=0，PO⊂平面POD，OD⊂平面POD，所以AC⊥平面POD.
又因为AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面POD.
(2)取CD中点M，易知OM⊥平面PAB，OM= OC2−CM2= 32，
以O为坐标原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,−1,0)，B(0,1,0)，P(0,0,3)，C( 32,12,0)，
因为BE=2EP，所以BE=23BP=23(0,−1,3)=(0,−23,2)，
所以E(0,13,2)，所以AE=(0,43,2)，AC=( 32,32,0)，
设平面AEC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=43y+2z=0n⋅AC= 32x+32y=0，令y=3，则x=−3 3，z=−2，
所以平面AEC的一个法向量为n=(−3 3,3,−2)，
易知平面EAB即平面yOz，所以平面EAB的一个法向量为m=(1,0,0)，
所以cs=n⋅m|n|⋅|m|=3 3 27+9+4×1=3 3020，
所以平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值为3 3020.
【解析】(1)由已知可得四边形OADC为平行四边形，进而可证OD⊥AC，PO⊥AC，可证AC⊥平面POD，可证结论；
(2)取CD中点M，以O为坐标原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量与平面EAB的一个法向量，利用向量法可求平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
20.【答案】解：(1)已知f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a≠0)，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=a+1x2−a+1x=ax2−(a+1)x+1x2=(ax−1)(x−1)x2，
当a<0时，ax−1<0，
当00，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当a>0时，
若1a>1，即0当00，f(x)单调递增；
当1当x>1a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
若1a=1，即a=1时，f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增；
若1a<1，即a>1时，
当00，f(x)单调递增；
当1a当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上所述，当a<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；
当0当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>1时，f(x)在(0,1a)和(1,+∞)上单调递增，在(1a,1)上单调递减；
(2)若f(x)既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为g(a)，
由(1)知，需满足a>0且a≠1，
而g(a)=f(1a)+f(1)=1−a+(a+1)lna+a−1=(a+1)lna，
要解不等式g(a)<2a−2，
等价于解不等式lna−2(a−1)a+1<0，
不妨设g(a)=lna−2(a−1)a+1，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(a)=1a−4(a+1)2=(a−1)2a(a+1)2>0，
所以g(a)在定义域上单调递增，
又g(1)=0，
所以g(a)即不等式的解集为{a|0【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，对a<0，1a>1，1a=1和1a<1这四种情况进行讨论，结合导数的几何意义即可得到函数f(x)的单调性；
(2)结合(1)中所得，可知当a>0且a≠1时满足条件，得到g(a)的表达式，将问题转化成解不等式lna−2(a−1)a+1<0，构造函数g(a)=lna−2(a−1)a+1，对g(a)进行求导，利用导数的几何意义得到g(a)的单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21.【答案】解：(1)不妨设C(x,y)，
因为B为AC的中点，A(2,0)，
所以B(2+x2,y2)，
又B为抛物线y2=2x−2上一点，
所以(y2)2=2×2+x2−2，
整理得y2=4x，
故曲线E的方程为y2=4x；
(2)假设存在点P使△MNP为正三角形，
设点P(−1,m)，
当过点F(1,0)的直线与x轴垂直时，
即斜率不存在时，
可得M(1,2)，N(1,−2)，|MN|=4，
此时|MP|=|NP|=|MN|，
即 (−1−1)2+(y−2)2= (−1−1)2+(y+2)2，
解得y=0，
可得|MP|=|NP|=2 2，
则△MNP不是正三角形，舍去；
当斜率存在时，不妨设直线MN的方程为x=ty+1，
联立y2=4xx=ty+1，消去x并整理得y2−4ty−4=0，
此时Δ=16t2+16，
由韦达定理得y1+y2=4t，y1y2=−4，
所以|MN|= 1+t2 (y1+y2)2−4y1y2=4(t2+1)，
不妨设MN的中点为Q(a,b)，
此时a=2t2+1，b=y1+y22=2t，
所以|PQ|= 1+(−t)2|2t2+1−(−1)|
= 1+t2|2t2+2|，
因为△MNP为正三角形，
所以 32|MN|=|PQ|，
即 32×4(t2+1)= 1+t2|2t2+2|，
解得t=± 2，
所以直线PQ的方程为y−2t=−t(x−2t2−1)，
令x=−1，
解得m=t(2t2+2)+2t=t(2t2+4)=±8 2，
故存在点P(−1,±8 2)使△MNP为正三角形．
【解析】(1)由题意，设出点C的坐标，将点B的坐标表示出来，代入抛物线方程中，即可求出曲线E的方程；
(2)假设存在点P使△MNP为正三角形，设点P(−1,m)，对直线斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设直线MN的方程为x=ty+1，将该方程与曲线E联立，结合正三角形的性质以及韦达定理进行求解即可．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
22.【答案】解：(1)由题意，X∼N(μ,σ2)，μ=73，σ=6.1，
则P(66.9这些高中生中竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数为40000×0.815=32600.
(2)P(X>85.2)=1−0.952=0.025，即任取一人优秀的概率为0.025，
设抽取次数为Y，则Y的分布列如下：
E(Y)=1×0.025+2×(1−0.025)×0.025+3×(1−0.025)2×0.025+n(1−0.025)n−1①，
(1−0.025)E(Y)=1×0.025×(1−0.025)+2×(1−0.025)2×0.025+3×(1−0.025)3×0.025+n(1−0.025)n②，
①-②整理得，E(Y)=1−(1−0.025)n0.025，n∈N*单调递增，
n=6时，E(Y)=5.64，n=7时，E(Y)=6.48，
所以n的最大值为6.
【解析】(1)根据正态分布求得竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的概率，进而求得竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数；
(2)求得Y的数学期望E(Y)，根据题意E(Y)≤6，解不等式即可．
本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查正态分布，是中档题．Y
1
2
3
...
n
P
0.025
(1−0.025)×0.025
(1−0.025)2×0.025
...
(1−0.025)n−1

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